[法學(xué)]24高階導(dǎo)數(shù)課件(已修改)
2025-01-31 13:44 本頁面
【正文】 第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) 一、高階導(dǎo)數(shù)的定義 二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例 三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 一、高階導(dǎo)數(shù)的定義 問題 :變速直線運(yùn)動的加速度 . ),( tfs ?設(shè) )()( tftv ??則瞬時速度為的變化率對時間是速度加速度 tva?.])([)()( ?????? tftvta定義 .)())((,)()(lim))((,)()(0處的二階導(dǎo)數(shù)在點為函數(shù)則稱存在即處可導(dǎo)在點的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx??????????? ???記作 .d )(ddd,),( 2222 x xfx yyxf 或????記作階導(dǎo)數(shù)的稱為函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)一般地,)(1)(,nxfnxf ?.d )(ddd,)( )()( nnnnnnxxfxyyxf 或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù) , 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為 高階導(dǎo)數(shù) . .)(。)(, 稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地 xfxf ?.dd,)( 33xyyxf ??????二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) , .dd,)( 44)4()4(xyyxf二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例 例 1 ).0(),0(,ar c t an ffxy ?????? 求設(shè)解 21 1 xy ??? )1 1( 2 ????? xy 22 )1( 2x x???))1( 2( 22 ??????? x xy 322)1()13(2xx???022 )1(2)0(???????xxxf0322)1()13(2)0(???????xxxf。0? .2?? :由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù) . 例 2 。)1:)(baxyyn n??階導(dǎo)數(shù)求以下函數(shù)的。)1(。)2 ?? xyxy ???。)3 xx eyay ??。)(s i n。s i n)4 為常數(shù)kkxyxy ??.)1l n()5 xy ??注意 求 n 階導(dǎo)數(shù)時 ,求出 1－ 3 或 4 階后 , 分析結(jié)果的規(guī)律性 , 即可寫出 n 階導(dǎo)數(shù) . (數(shù)學(xué)歸納法證明 ) 例 2 .)1 階導(dǎo)數(shù)的求 nbaxy ??解 ,ay ??)( ???? ay ,0?.)2(0)( ??? ny n例 2 .,)()2 )( nyRxy 求設(shè) ?? ??解 ,1??? ?? xy)( 1 ???? ??? xy ,)1( 2??? ??? x??,)2)(1( 3???? ???? x? ??????? ? 2)1( ??? xy.)1()1()1()( ????? ? nxny nn ???? ?則為自然數(shù)若 ,)1( n?)()( )( nnn xy ? ,!n? )()( )( mnm xy ? .0?特別地 )( nm ?,1)2( 時當(dāng) ??? )(1)()(1 nnxx ???????? .!)1(1???nnxn例 2 .,)3 )( nx yey 求設(shè) ?解 ,xey ?? ,xey ??? ,xey ??????同理可得 xnxn eey ?? )()( )()10()( l n)( )( ??? aaaaa nxnx 且例 2 .,s i n)4 )( nyxy 求設(shè) ?解 xy c os?? )2s i n( ??? x)2c os ( ????? xy )22s i n( ????? x )22s i n( ???? x)22c o s ( ??????? xy 23s i n( ???? x??)2s i n()( ???? nxy n同理可得 )2c o s ()( c o s )( ???? nxx n例 2 .),1l n ()5 )( nyxy 求設(shè) ??解 xy ??? 1 1 2)1( 1 xy ?????3)1(!2xy ????? 4)4()1(!3xy ?????
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