17-第17講高階導(dǎo)數(shù)(已修改)
2025-08-05 04:04 本頁(yè)面
【正文】 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 —— 一元微積分學(xué) 大 學(xué) 數(shù) 學(xué) （ 一 ） 第十七講 高階導(dǎo)數(shù) 腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛(ài)珍 劉開(kāi)宇 孟益民 第四章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 本章學(xué)習(xí)要求： ? 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的可 導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。 ? 熟悉一階微分形式不變性。 ? 熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則，能熟練運(yùn)用求導(dǎo)的基本公式、 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、隱函數(shù)求導(dǎo)法、反函數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程 求導(dǎo)法、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法等方法求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)和微 分。 ? 了解 n 階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求常見(jiàn)函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)。 ? 熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能較好運(yùn)用上述定理解決有關(guān)問(wèn)題（函數(shù)方 程求解、不等式的證明等）。 ? 掌握羅必塔法則并能熟練運(yùn)用它計(jì)算有關(guān)的不定式極限。 第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) 第四章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 一 . 高階導(dǎo)數(shù)的概念 二. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 三. 隱函數(shù)及參數(shù)方程 確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 一 . 高階導(dǎo)數(shù)的概念 ,c os)( s i n xx ??例 ,s i n)( c os x???. s in 連續(xù)求兩次導(dǎo)數(shù)的結(jié)果是 x , s i n 記為的二階導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù) xxxxx s in)( c os))( ( s i n)( s in ????????? )( )( , 仍然的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)一般說(shuō)來(lái) xfxf ?的二的導(dǎo)數(shù)為原來(lái)函數(shù)則稱可導(dǎo) )( )( , xfxf ? .))(()( , ????? xfxf記為階導(dǎo)數(shù)推而廣之 : , , 1 )( 的函數(shù)它仍是階導(dǎo)數(shù)存在的設(shè) xnxf ? . , 階導(dǎo)數(shù)數(shù)的則稱它的導(dǎo)數(shù)為原來(lái)函若它可導(dǎo) n : 階導(dǎo)數(shù)的記號(hào)為n .dd ,d )(d , ),( )()( nnnnnnxyxxfyxf ,))(()( )1()( ?? ? xfxf nn ,d )(dd dd )(d 11??? nnnnxxfxxxf ,dddddd11??? nnnnxyxxy ,)( )1()( ?? ?nn yy按照一階導(dǎo)數(shù)的極限形式 , 有 xxfxxfxfy nnxnn?????? ????)()(l i m)( )1()1(0)()(00)1()1(0)()( )()(lim)(00 xxxfxfxfy nnxxnxxn???? ????和 一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定再可導(dǎo) , 也不一定連 續(xù) . 如果函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 I 上 有直到 n 階的導(dǎo)數(shù) f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是連續(xù)的 (此時(shí)低于 n 階的導(dǎo) 數(shù)均連續(xù) ), 則稱 f (x) 在區(qū)間 I 上 n 階連續(xù)可導(dǎo) , 記為 .)( )I()( nn CxfCxf ?? 或 如果 f (x) 在區(qū)間 I 上的任意階的高階導(dǎo)數(shù)均存 在且連續(xù) , 則稱函數(shù) f (x) 是無(wú)窮次連續(xù)可導(dǎo)的 , 記為 .)( )I()( ?? ?? CxfCxf 或1)( ????? nn xnxy21 )1()()( ?? ????????? nn xnnxnyy3)2()1()( ??????????? nxnnnyy………………………… knkk xknnnnyy ?? ??????? )1()2()1()( )1()( ?. , 的高階導(dǎo)數(shù)求冪函數(shù) ??? Znxy n)1( nk ??解 例 1 注意 , 當(dāng) k = n 時(shí) !123)2()1()( )( nnnnx nn ?????? ?綜上所述： . 0)( , 1 , )( ???
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1