柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)-預(yù)覽頁
【正文】 0z ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 一、柯西積分公式 001 ( )( ) d .2 π Cfzf z zi z z? ??? ? ? ?12 C fo r f z diz ? ???????? ??? ?(1) 上述公式稱為柯西積分公式 .通過該公式可以把一個函數(shù)在 C內(nèi)部任何一點的值 ,用它在邊界上的值表示出來。d)1(co s)1225?5c os11( 1 )c oszCzzzC????解 ： ） 函 數(shù) 在 內(nèi) 的 處 不 解 析 ，但 在 內(nèi) 卻 是 處 處 解 析 的.12)(c os)!15( 2d)1( c os51)4(5 |izizzzzC???? ????? ??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 222) ( 1 )zCe dzz ?? 12CC?????? ??????212222)()()()(CzCzdzizizedzizize?????????? ????????????????????????? izzizzizeizei22 )()(2 ?)41s i n(2 ?? ?? i12CC????C2C1C 高階導(dǎo)數(shù)公式的作用 , 不在于通過積分來求導(dǎo) , 而在于利用求導(dǎo)計算積分 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 定義 1 若 ( , )u x y D則 稱 實 函 數(shù) 為 區(qū) 域 內(nèi) 的 調(diào) 和 函 數(shù) 。 2222 ,yxxvyxu????()f z u i v??證 由于 ? ? ? ?? ? ? ?222222222 2 2 22 3 2 2 2 333222 2 2 22 , 2 , 2 , 22, 2 6 6 2, u u u uxyx y x yv y x v x yxyx y x yv x x y v x y xxyx y x y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ??? ? ? ????? ??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 所以 0 ,0 22222222???????????? y vx vy ux u故 是全平面上的調(diào)和函數(shù)， 除原點外在全平面上調(diào)和。 3223 dycxyybxax ???并求其共軛調(diào)和函數(shù)及其對應(yīng)的解析函數(shù)。復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 2 , 2u v u vx y y xx y y x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?因 為 依 線 積 分 法 ， 有? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? C2 x y2y2xCdyy2xdxx Cdyy2xdxx2yCdyxudxxuv2y02x0y,x0,0y,x0,0??????????????????????????? ? ?是調(diào)和函數(shù)。復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 2()6 ( ) 3 ( )xv v dx g yx y dx g y x y g y??? ? ? ???故? ? 22224 ( 2 4 ) ( ) 2 ,( ) ( 4 ) ( ) ( 4 2 ) 2 ,xxxyu v u v x x y y x y x yu v x x y y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?,x x y yC R u v v u? ? ? ?由 條 件 ， 并 將 兩 式 相 加 得xyvyxv xy 6,233 22 ????復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 3 2 3323 2 2 3( ) 2 3 2 , ( ) 3 2( ) 3 2 ( 3 2 )g y y y C v x y y y Cu u v v x x y x Cf z x x y x C i x y y y C? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?于 是,2)(,0 3 iCCxxxfy ????? 得令).1(2)( 3 ???? iCzzzf所以2 2 223
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