柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)-文庫(kù)吧
2025-07-17 18:22 本頁(yè)面
【正文】 公式的作用 , 不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo) , 而在于利用求導(dǎo)計(jì)算積分 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 定義 1 若 ( , )u x y D則 稱(chēng) 實(shí) 函 數(shù) 為 區(qū) 域 內(nèi) 的 調(diào) 和 函 數(shù) 。內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在區(qū)域 Dyxu ),((稱(chēng)此為調(diào)和方程或 Laplace方程 ) 0x x y yu u u?? ??? ? ? ?且 滿(mǎn) 足復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 定理 1： 內(nèi)的解析函數(shù)是區(qū)域 Dyxivyxuzf ),(),()( ??內(nèi)的調(diào)和函數(shù)是區(qū)域與 Dvu?證明： ?內(nèi)解析在 Dzf )( ,x y x yu v v u? ? ?,x x y x x y y y x yu v v u v? ? ? ? ? x y yuu? ? ? 同樣可得 x y yvv??且 u, v有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 注： 逆定理顯然不成立，即 對(duì)區(qū)域 D內(nèi)的任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù) ()f z u iv f z v iu? ? ? ?及 （ ）不一定是解析函數(shù) . 例如： ? ? 2 2 2 2f z z x y i x yuv? ? ? ? 是 解 析 函 數(shù) ，故 ， 是 調(diào) 和 函 數(shù) ， 但? ? ? ?222f z v iu x y i x y? ? ? ? ?不 再 是 解 析 函 數(shù)uv， ，復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 定義 2 定理 2： ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y??函數(shù) 在區(qū)域 D內(nèi)解析 解析函數(shù)的虛部必為實(shí)部的共軛調(diào)和數(shù) 已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個(gè)，可利用 CR 方程求得另一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)。 x y y xu v D C Ru v u v v u?若 與 是 區(qū) 域 內(nèi) 的 調(diào) 和 函 數(shù) 且 滿(mǎn) 足 方 程= ， = ， 則 稱(chēng) 為 的 共 軛 調(diào) 和 函 數(shù) 。? vu是 的 共 軛 調(diào) 和 函 數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 例 1 已知調(diào)和函數(shù) ? ? 22,u x y x y x y???求一解析函數(shù) ? ? ? ?0 0 .f z u iv f? ? ?使解： （法一） 2 , 2xyu x y u y x? ? ? ? ?由 CR 方程 ? ?22yxv u x y v x y d y? ? ? ? ? ??? ?212 2x y y c x? ? ? ? ?2,xv y c x?? ? ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform ? ?22xyv u y c x y x?? ? ? ? ? ? ?由 ? ? 21 ,2c x x c? ? ?? ? 2211, 2 .22v x y y x y x c? ? ? ?所以于是 ? ?2 2 2 211 222f z x y x y i y x y x c??? ? ? ? ? ? ?????? ? 00 0 ( ) 00xfc y ??? ? ? ?? ??由? ? 2 2 2 2 211 212 2 2if z x y x y i y x y x z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform （法二） ? ?0, yxx x y y uuuu xy ???? ? ? ???因( NM M d x N d yxy?? ? ? ???已知 為某一二元函數(shù)的全微分)y x x yu d x u d y C R v d x v d y d v? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?,0,0, xy yxv x y u d x u d y c? ? ? ??? ? ? ?? ?? ?,0 , 0 22xy y x d x x y d y c? ? ? ? ??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform (0,0) (x,y) (x,0) ? ?00 2xyx d x x y d y c? ? ? ? ???2211 222x x y y c? ? ? ? ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform （法三） ? ? ? ?22x x x yf z u iv u iu x y i y x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 2 2x i y y ix x iy i x iy? ? ? ? ? ? ? ?? ?2 iz?? ? ? 21.2if z z c??? ? ? ?????? ?( 0 0 0)fc? ? ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 例 2 證明：函數(shù)
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