柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)-全文預(yù)覽
【正文】 原題 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?,220 , 0222 2 2003 2 2 34 4 24 2 43 3 6 33 3 .xyxyv x x y y x y x y dxx x y y x y x y dy Cx dx x x y y dy Cx x y x y y C??? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? 222222( 3 ) ( ) ( 4 )4 ( ) ( 2 4 )( 4 ) ( ) ( 4 2 )u x y x x y yux x y y x y x yxux x y y x y x yy? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??是 全 平 面 的 調(diào) 和 函 數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 3 2 2 3 4 3 3 ,f z x y x x y y i x x y x y y C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于 是? ? ? ?? ? ? ?3333 0 , ,y f x x i x C zf z z i z C? ? ? ? ?? ? ? ?令 得 代 回 ， 故? ?? ? ,xydyyvvRCyv2yxu42 ??????????????條件，有由 因?yàn)閺?fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform ? ?? ?? ? ? ?22 1 ,2 1 2 ,vxxvuxxyx x d x x x C C????????? ? ? ???? ? ? ? ??而 又 故 為 實(shí) 常 數(shù) 。 3 2 2 3 u a x b x y c x y d y? ? ? ?解 ： 因 為 , 所 以.2 cx6dyy u ,2 b y6axx u 2222????????令 2222 ( 6 2 ) ( 6 2 ) 0uu a c x d b yxy?? ? ? ? ? ? ???復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 故 ???????????????3db3ac 02b6d02c6a 即 的一般形式的調(diào)和函數(shù)為 u3223 dy3a x yy3d xaxu ??其中 為任意常數(shù)。但 ,不滿足 CR條件，所以 不是解析函數(shù)。內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在區(qū)域 Dyxu ),((稱(chēng)此為調(diào)和方程或 Laplace方程 ) 0x x y yu u u?? ??? ? ? ?且 滿 足復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 定理 1： 內(nèi)的解析函數(shù)是區(qū)域 Dyxivyxuzf ),(),()( ??內(nèi)的調(diào)和函數(shù)是區(qū)域與 Dvu?證明： ?內(nèi)解析在 Dzf )( ,x y x yu v v u? ? ?,x x y x x y y y x yu v v u v? ? ? ? ? x y yuu? ? ? 同樣可得 x y yvv??且 u, v有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 注： 逆定理顯然不成立，即 對(duì)區(qū)域 D內(nèi)的任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù) ()f z u iv f z v iu? ? ? ?及 （ ）不一定是解析函數(shù) . 例如： ? ? 2 2 2 2f z z x y i x yuv? ? ? ? 是 解 析 函 數(shù) ，故 ， 是 調(diào) 和 函 數(shù) ， 但? ? ? ?222f z v iu x y i x y? ? ? ? ?不 再 是 解 析 函 數(shù)uv， ，復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 定義 2 定理 2： ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y??函數(shù) 在區(qū)域 D內(nèi)解析 解析函數(shù)的虛部必為實(shí)部的共軛調(diào)和數(shù) 已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個(gè)，可利用 CR 方程求得另一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)。復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 柯西積分公式 000( ) ( )ddC z zf z f zzzz z z z??????? 閉路變形原理0 ,zD?設(shè)若 f (z) 在 D內(nèi)解析，則 分析： ? ? ? ? ? ?0 0f z f z ???00001( ) d 2 π ( ) .zzf z z if zzz??????DC
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