【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 差的來(lái)源主要是因?yàn)殡S著解釋變量值的增大，被解釋變量取值的差異性增大。 二、異方差引起的后果 ?我們從簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸模型入手，討論異方差對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，然后再針對(duì)一般回歸線(xiàn)性模型進(jìn)行討論。對(duì)模型 () ?當(dāng) ，為異方差時(shí)（ 是一個(gè)隨時(shí)間或序數(shù)變化的量），回歸參數(shù)估計(jì)量仍具有無(wú)偏性和一致性。針對(duì) 而言 iii XY ??? ??? 102)( iiεV a r ?? 2i?1??1212121)()()())(])()[(())())((()?(??????????????????????????XXEXXXXXXXXEXXYYXXEEiiiiiiiiii() ?但是回歸參數(shù)估計(jì)量不再具有有效性，即 1 1 12222222222222? ?( ) ( )()()()( ) ( )( ( ) )()( ( ) )()iiiiiiiiiiVar EXXEXXX X EXXXXXXXX? ? ?????????????????????????() ?在 ()和 ()式的推導(dǎo)中利用了 的非序列相關(guān)的假定。 ()式不等號(hào)左側(cè)項(xiàng)分子中的 不是一個(gè)常量，不能從累加式中提出，所以不等號(hào)左側(cè)項(xiàng)不等于不等號(hào)右側(cè)項(xiàng)。而不等號(hào)右側(cè)項(xiàng)是同方差條件下 ?1的最小二乘估計(jì)量 的方差。因此異方差條件下的 失去有效性。 ?另外回歸參數(shù)估計(jì)量方差的估計(jì)是真實(shí)方差的有偏估計(jì)量，即 E( ( )) ? iε2i?1??1???Var1?? )?(1?Var?針對(duì)一般線(xiàn)性回歸模型（ ）式 , ?因?yàn)?OLS估計(jì)量無(wú)偏性的證明只依賴(lài)于模型的一階矩，所以當(dāng) 以（ ）式所示時(shí)， OLS估計(jì)量 仍具有無(wú)偏性和一致性，即 () 但不具有有效性和漸近有效性。 )(εVarβ?βεXXXβεX βXXXYXXXβ???????????????)()()]()(])[()?(111EEEEεX βY ???而且 的分布將受到影響，即 () 由（ ）式知異方差條件下 是非有效估計(jì)量。 ?異方差性的存在，會(huì)對(duì)線(xiàn)性回歸模型正確的建立和統(tǒng)計(jì)推斷帶來(lái)嚴(yán)重的后果，因此在計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中，有必要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠翊嬖诋惙讲睢? β?11112 1 121? ? ?( ) [( )( ) ][( ) ( ) ]( ) ( ) ( )( ) ( )()V a r EEE??????????? ? ?? ? ???? ? ??? ? ?????β β β β βX X X X X XX X X Xε εε ε XXX X X Ω X X XXXβ? 異方差性的檢驗(yàn) 一、定性分析異方差 二、戈德菲爾德－昆茨檢驗(yàn) 三、格萊澤檢驗(yàn) 四、懷特檢驗(yàn) 五、自回歸條件異方差檢驗(yàn) 一、定性分析異方差 ?定性分析異方差的角度很多，我們可以根據(jù)實(shí)際建立模型依據(jù)的經(jīng)濟(jì)理論和實(shí)際經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象來(lái)分析是否存在異方差性，一般情形經(jīng)濟(jì)變量規(guī)模差別很大時(shí)容易出現(xiàn)異方差，如個(gè)人收入與支出關(guān)系，投入與產(chǎn)出關(guān)系。 ?另外，我們也可以利用散點(diǎn)圖（圖 ）和 殘差圖（圖 ），來(lái)初步判斷異方差的存在性。 01002003000 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 0 0XY圖 散點(diǎn)圖 二、戈德菲爾德－昆茨檢驗(yàn) ?戈德菲爾德－昆茨（ GoldfeldQuandt）檢驗(yàn)方法是戈德菲爾德－昆茨于 1965年提出的，所要檢驗(yàn)的問(wèn)題為 H0: 具有同方差 H1: 具有遞增型異方差 iεiε?其檢驗(yàn)的基本思想是： 第一，把原樣本分成兩個(gè)子樣本。具體方法是把成對(duì)（組）的觀測(cè)值按解釋變量的大小順序排列，略去 m個(gè)處于中心位置的觀測(cè)值（通常 n ? 30時(shí)，取 m ?n/4 ，余下的 n m個(gè)觀測(cè)值自然分成容量相等 (n m) / 2的兩個(gè)子樣本）。 X1, X2, …, Xi 1, Xi, Xi+1, …, Xn 1, Xn } n1 = (nm) / 2 m = n / 4 n2 = (nm) / 2 第二，用兩個(gè)子樣本分別估計(jì)回歸直線(xiàn)，并計(jì)算殘差平方和。相對(duì)于 n2 和 n1 分別用 SSE2 和 SSE1表示。 第三，構(gòu)建 F統(tǒng)計(jì)量 F = = ， （ k為模型中被估參數(shù)個(gè)數(shù)） ?在 H0成立條件下， F ? ),( 12 knknF ??)/()/(1122knS SEknS SE??12SSESSE 第四，判別規(guī)則如下， ?若 F ? , 接受 H0 （ ut 具有同方差） 若 F , 拒絕 H0 （遞增型異方差） ?這里我們應(yīng)該注意到，當(dāng)摸型含有多個(gè)解釋變量時(shí)，應(yīng)以每一個(gè)解釋變量為基準(zhǔn)檢驗(yàn)異方差。此法的基本思路也適用于遞減型異方差。另外，對(duì)于截面樣本，計(jì)算 F統(tǒng)計(jì)量之前，必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值從小到大排序。 ),( 12 knknF ???),( 12 knknF ???三、格萊澤檢驗(yàn) ?格萊澤（ Glejser）檢驗(yàn)的基本思想是，檢驗(yàn) ? ? 是否與解釋變量 Xi存在函數(shù)關(guān)系。若存在函數(shù)關(guān)系，則說(shuō)明存在異方差；若無(wú)函數(shù)關(guān)系，則說(shuō)明不存在異方差。通常應(yīng)檢驗(yàn)的幾種形式是 ? ? = a0 + a1 Xi ? ? = a0 + a1 /Xi ? ? = a0 + a1, …. i??i??i??i???格萊澤檢驗(yàn)的特點(diǎn)是不僅能對(duì)異方差的存在進(jìn)行判斷，而且還能對(duì)異方差隨某個(gè)解釋變量變化的函數(shù)形式進(jìn)行診斷。該方法既可檢驗(yàn)遞增型異方差，也可檢驗(yàn)遞減型異方差。應(yīng)該注意，當(dāng)原模型含有多個(gè)解釋變量值時(shí)，可以把 ? ? 擬合成多變量回歸形式。 i??四、懷特檢驗(yàn) ?懷特（ White）檢驗(yàn)由 H. White 1980年提出。 ?戈德菲爾德－昆茨檢驗(yàn)必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值從小到大排序。 ?格萊澤檢驗(yàn)通常要試擬合多個(gè)回歸式。 ?White檢驗(yàn)不需要對(duì)觀測(cè)值排序，也不依賴(lài)于隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，它是通過(guò)一個(gè)輔助回歸式構(gòu)造 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。 2??懷特檢驗(yàn)的具體步驟如下。 ?以二元回歸模型為例， Yi = ?0 +?1 X i1+?2 Xi2 + () 第一，首先對(duì)上式進(jìn)行 OLS回歸，求殘差 。并做如下輔助回歸式， = ?0+?1Xi1+?2Xi2+?3Xi12+?4Xi22+?5Xi1Xi2 + vi () ?即用 對(duì)原回歸式中的各解釋變量、解釋變量的平方項(xiàng)、交叉積項(xiàng)進(jìn)行 OLS回歸。注意，上式中要保留常數(shù)項(xiàng)。求輔助回歸 ()式的可決系數(shù)R2。 iεi??2?i?2?i? 第二，懷特檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)是 H0: ()式中的 不存在異方差， H1: ()式中的 存在異方差 第三，在不存在異方差假設(shè)條件下統(tǒng)計(jì)量 nR 2 ? ? 2(5) () 其中 n表示樣本容量， R2是輔助回歸 () 式的OLS估計(jì)式的可決系數(shù)。自由度 5表示輔助回歸() 式中解釋變量項(xiàng)數(shù)。 iεiε 第四，判別規(guī)則是 ?若 n R 2 ? ?2? (5), 接受 H0 （ 具有同方差） 若 n R 2 ?2? (5), 拒絕 H0 （ 具有異方差） ?懷特檢驗(yàn)的特點(diǎn)是，不僅能夠檢驗(yàn)異方差的存在，同時(shí)在多變量的情況下，還能夠判斷出是哪一個(gè)變量引起的異方差，通常適用于截面數(shù)據(jù)的情形。該方法不需要異方差的先驗(yàn)信息，但要求觀測(cè)值為大樣本。 iεiε五、自回歸條件異方差檢驗(yàn) ?異方差的另一種檢驗(yàn)方法稱(chēng)作自回歸條件異方差 (auto regressive conditional heteroscedasticity ) 檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)為 ARCH檢驗(yàn)。這種檢驗(yàn)方法不是把原回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng) ?i 2 看作是 Xi 的函數(shù)，而是把 ?i 2 看作誤差滯后項(xiàng) ， ， … 的函 數(shù)。 ?ARCH是誤差項(xiàng)二階矩的自回歸過(guò)程。 ?恩格爾（ Engle 1982）針對(duì) ARCH過(guò)程提出 LM檢驗(yàn)法。 21?iε22?iε?輔助回歸式定義為 = ?0 + ?1 + … + ? n , () ?LM統(tǒng)計(jì)量定義為 ARCH = n R 2 ? ? 2(m) 其中 R 2是輔助回歸式（ ）的可決系數(shù)。在 H0： ?1 = … = ?m = 0 成立條件下， ARCH漸近服從 ? 2(m) 分布。 2?i? 2?tu 21??i?2? ni?? 2?mtu??ARCH檢驗(yàn)的最常用形式是一階自回歸模型（ m = 1）， = ?0 + ?1 . 在這種情形下， ARCH漸近服從 ? 2(1) 分布。 ?ARCH檢驗(yàn)的特點(diǎn)是，要求變量的觀測(cè)值是大樣本，并且是時(shí)間序列數(shù)據(jù)；它只能判斷模型中是否存在異方差，而不能診斷出是哪一個(gè)變量引起的異方差。 2?tu21? ?tu 廣義最小二乘法及異方差性的克服 ?為了進(jìn)一步從理論上掌握克服異方差的方法，更好的開(kāi)拓建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的思路，這里我們將詳細(xì)的介紹廣義最小二乘法的基本理論和方法，然后討論異方差的克服。 一、廣義最小二乘法 ?設(shè)模型為 其中 E( )= 0， = E( ) = ? 2 已知。因?yàn)? ?I，違反了線(xiàn)性回歸模型的經(jīng)典假定條件，所以應(yīng)該對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)修正。 ?因?yàn)? 是一個(gè) n階正定矩陣，根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)的知識(shí)，必存在一個(gè)非退化 n?n 階矩陣 M使下式成立。 = I n?n ?從（ ）式得 = 1 εX βY ?? () () () ε )(εVar εε? ΩΩ ΩΩMM Ω ?MM? Ω?用 M左乘 ()式回歸模型兩側(cè)