【文章內(nèi)容簡介】 因此 ,可通過該比值的大小對總體線性關系進行推斷 。 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學中的知識，在原假設 H0成立的條件下，統(tǒng)計量 )1/(/??? knR SSkE SSF服從自由度為 (k , nk1)的 F分布 給定顯著性水平 ?，可得到臨界值 F?(k,nk1)，由樣本求出統(tǒng)計量 F的數(shù)值，通過 F? F?(k,nk1) 或 F?F?(k,nk1) 來拒絕或接受原假設 H0，以判定原方程 總體上 的線性關系是否顯著成立。 R2 1R2 (nk1) (k) = 對于中國居民人均消費支出的例子： 一元模型： F= 二元模型： F= 給定顯著性水平 ? =， 查分布表 ， 得到臨界值： 一元例： F?(1,21)= 二元例 ： F?(2,19)= 顯然有 F? F?(k,nk1) 即二個模型的線性關系在 95%的水平下顯著成立。 關于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關系的討論 由 )1/()1/(12?????nT SSknR SSR )1/( / ??? knR SS kE SSF可推出： kFknnR??????1112與 或 )1/()1(/22???? knRkRF?在 中國居民人均收入 消費 一元模型 中， ?在 中國居民人均收入 消費 二元模型 中 ， 三、變量的顯著性檢驗（ t檢驗） 方程的 總體線性 關系顯著 ?每個解釋變量 對被解釋變量的影響都是顯著的 因此，必須對每個解釋變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。 這一檢驗是由對變量的 t 檢驗完成的 。 t統(tǒng)計量 由于 12 )()?( ??? XXβ ?C o v 以 cii表示矩陣 (X’X)1 主對角線上的第 i個元素，于是參數(shù)估計量的方差為： iii cV a r 2)?( ?? ? 其中 ?2為隨機誤差項的方差，在實際計算時，用它的估計量代替 : 11?22????????knkne i ee?),(~? 2 iiii cN ???因此，可構造如下 t統(tǒng)計量 )1(~1??????????? kntkncStiiiiiiiee????? t檢驗 設計原假設與備擇假設： H1： ?i?0 給定顯著性水平 ?，可得到臨界值 t?/2(nk1)，由樣本求出統(tǒng)計量 t的數(shù)值，通過 |t|? t?/2(nk1) 或 |t|?t?/2(nk1) 來拒絕或接受原假設 H0，從而 判定對應的解釋變量是否應包括在模型中。 H0： ?i=0 （ i=1,2…k ） 注意： 一元線性回歸中， t檢驗與 F檢驗一致 一方面 ， t檢驗與 F檢驗都是對相同的原假設H0： ?1=0 進行 檢驗 。 另一方面 ，兩個統(tǒng)計量之間有如下關系： 222212221222122212212?)2(?)2(?)2(?)2(?txnexnexnenexneyFiiiiiiiiii????????????????????????????????????????????在 中國居民人均收入 消費支出 二元模型 例中 ，由應用軟件計算出參數(shù)的 t值： 6 5 3 0 210 ??? ttt 給定顯著性水平 ?=，查得相應臨界值： (19) =。 可見 ， 計算的所有 t值都大于該臨界值 ， 所以拒絕原假設 。 即 : 包括常數(shù)項在內(nèi)的 3個解釋變量都在 95%的水平下顯著 ， 都通過了變量顯著性檢驗 。 四、參數(shù)的置信區(qū)間 參數(shù)的 置信區(qū)間 用來考察： 在一次抽樣中所估計的參數(shù)值離參數(shù)的真實值有多 “ 近 ” 。 在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道： )1(~1??????????? kntkncStiiiiiiiee?????容易推出 ：在 (1?)的置信水平下 ?i的置信區(qū)間是 ( , ) . . ? ? ? ? ? i t s i ? 2 ? i t s i . ? . 2 其中， t?/2為顯著性水平為 ? 、自由度為 nk1的臨界值。 在 中國居民人均收入 消費支出 二元模型 例中 , 給定 ?=， 查表得臨界值： (19)= 計算得參數(shù)的置信區(qū)間： ?0 ： (, ) ?1 ： (, ) ?2 ： (, ) 1 7 5 1 0 6 2 1 2 0?210?2?1?0????????????sss 從回歸計算中已得到： 如何才能縮小置信區(qū)間？ ?增大樣本容量 n，因為在同樣的樣本容量下， n越大， t分布表中的臨界值越小，同時，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標準差減??； ?提高模型的擬合優(yōu)度 ，因為樣本參數(shù)估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應越小。 ?提高樣本觀測值的分散度 ,一般情況下，樣本觀測值越分散 ， (X’X)1的分母的 |X’X|的值越大，致使區(qū)間縮小。 167。 多元線性回歸模型的預測 一、 E(Y0)的置信區(qū)間 二、 Y0的置信區(qū)間 對于模型 βXY ?? ?給 定 樣 本 以 外 的 解 釋 變 量 的 觀 測 值X0=(1,X10,X20,… ,Xk0)， 可以得到被解釋變量的預測值： βX ?? 00 ?Y 它可以是總體均值 E(Y0)或個值 Y0的預測。 但嚴格地說， 這只是被解釋變量的預測值的估計值，而不是預測值。 為了進行科學預測，還需求出預測值的置信區(qū)間，包括 E(Y0)和 Y0的 置信區(qū)間 。 一、 E(Y0)的置信區(qū)間 易知 )()?()?()?( 00 YEEEYE ???? βXβXβX 000))??()?()?( 20 ββ()Xββ(XβXβX 0000 ????? EEYVa r0102000)(??)??()?(XXXXX)ββ)(ββ(XX)ββ)(ββ(X00???????????????EEYV a r容易證明 ),(~? 020 XX)X(XβX 100 ?? ??NY)1(~????????knt)E ( YY 00010 XX)X(X?于是，得到 (1?)的置信水平下 E(Y0)的 置信區(qū)間 ： 010000100 )(??)()(?? 22 XXXXXXXX ?????????? ?? ?? ?? tYYEtY其中， t?/2為 (1?)的置信水平下的 臨界值 。 二、 Y0的置信區(qū)間 如果已經(jīng)知道實際的預測值 Y0，那么預測誤差為： 000 ?YYe ??容易證明 0))(())?(()?()(100000000????????????μXXXXββXβXβX???EEEeE))(1())(()()(01022100200XXXXμXXXX?????????????EeEeV a re0服從正態(tài)分布，即 )))(1(,0(~ 01020 XXXX ??? ??Ne)))(1(?? 01022 0 XXXX ???? ??? e構造 t統(tǒng) 計量 )1(~??000 ???? kntYYte?可得給定 (1?)的置信水平下 Y0的 置信區(qū)間 ： 010000100 )(1??)(1?? 22 XXXXXXXX ???????????? ?? ?? ?? tYYtY 中國居民人均收入 消費支出 二元模型 例中：2022年人均 GDP： ， 于是 人均居民消費的預測值 為 ?2022=+ + =（元） 實測值 （ 90年價） =， 相對誤差： % 預測的置信區(qū)間 ： ???????????????? ?0 0 0 0 0 0 0 0 8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 8 0 0 8 2 0 2 8 8 9 5 )( 1XX3 9 3 ??? ? 010 XX)X(X于是 E(?2022） 的 95%的置信區(qū)間為 : ???或 （ ， ） 3 9 3 7 7 6 ???或 （ , ） 同樣，易得 ?2022的 95%的置信區(qū)間為 167。 回歸模型的其他函數(shù)形式 一、模型的類型與變換 二 、 非線性回歸實例 在實際經(jīng)濟活動中，經(jīng)濟變量的關系是復雜的，直接表現(xiàn)為線性關系的情況并不多見。 如著名的 恩格爾曲線 (Engle curves)表現(xiàn)為 冪函數(shù)曲線 形式、宏觀經(jīng)濟學中的 菲利普斯曲線（ Pillips cuves）表現(xiàn)為 雙曲線 形式等。 但是，大部分非線性關系又可以通過一些簡單的數(shù)學處理，使之化為數(shù)學上的線性關系，從而可以運用線性回歸的方法進行計量經(jīng)濟學方面的處理。 一、模型的類型與變換 倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換法 例如， 描述稅收與稅率關系的 拉弗曲線 ： 拋物線 s = a + b r + c r2 c0 s：稅收； r：稅率 設 X1 = r， X2 = r2， 則原方程變換為 s = a + b X1 + c X2 c0 冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對數(shù)變換法 例如 ， CobbDauglas生產(chǎn)函數(shù) ：冪函數(shù) Q = AK?L? Q：產(chǎn)出量， K：投入的資本； L：投入的勞動 方程兩邊取對數(shù)： ln Q = ln A + ? ln K + ? ln L 復雜函數(shù)模型與級數(shù)展開法 方程兩邊取對數(shù)后，得到： ??? ??? eLKAQ 1)( 21 ??? ?? (?1+?2=1) Q:產(chǎn)出量， K：資本投入， L：勞動投入 ?：替代參數(shù)， ? ?2：分配參數(shù) ??? ??? ???? ?? )( 211 LKLnL n AL n Q例如 ， 常替代彈性 CES生產(chǎn)函數(shù) 將式中 ln(?1K? + ?2L?)在 ?=0處展開臺勞級數(shù) ,取關于?的線性項，即得到一個線性近似式。 如取 0階 、 1階 、 2階項 ， 可得 22121 ln21lnlnlnln ???????? ??????????LKmLmKmAY ?????并非所有的函數(shù)形式都可以線性化 無法線性化模型的一般形式為 : ??? ),( 21 kXXXfY ?其中， f(x1,x2,…,X k)為非線性函數(shù)。如： ??? ?? LAKQ 二、非線性回歸實例 例 建立中國城鎮(zhèn)居民食品消費需