【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 因此 ,可通過該比值的大小對(duì)總體線性關(guān)系進(jìn)行推斷 。 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的知識(shí)，在原假設(shè) H0成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量 )1/(/??? knR SSkE SSF服從自由度為 (k , nk1)的 F分布 給定顯著性水平 ?，可得到臨界值 F?(k,nk1)，由樣本求出統(tǒng)計(jì)量 F的數(shù)值，通過 F? F?(k,nk1) 或 F?F?(k,nk1) 來拒絕或接受原假設(shè) H0，以判定原方程 總體上 的線性關(guān)系是否顯著成立。 R2 1R2 (nk1) (k) = 對(duì)于中國(guó)居民人均消費(fèi)支出的例子： 一元模型： F= 二元模型： F= 給定顯著性水平 ? =， 查分布表 ， 得到臨界值： 一元例： F?(1,21)= 二元例 ： F?(2,19)= 顯然有 F? F?(k,nk1) 即二個(gè)模型的線性關(guān)系在 95%的水平下顯著成立。 關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與方程顯著性檢驗(yàn)關(guān)系的討論 由 )1/()1/(12?????nT SSknR SSR )1/( / ??? knR SS kE SSF可推出： kFknnR??????1112與 或 )1/()1(/22???? knRkRF?在 中國(guó)居民人均收入 消費(fèi) 一元模型 中， ?在 中國(guó)居民人均收入 消費(fèi) 二元模型 中 ， 三、變量的顯著性檢驗(yàn)（ t檢驗(yàn)） 方程的 總體線性 關(guān)系顯著 ?每個(gè)解釋變量 對(duì)被解釋變量的影響都是顯著的 因此，必須對(duì)每個(gè)解釋變量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。 這一檢驗(yàn)是由對(duì)變量的 t 檢驗(yàn)完成的 。 t統(tǒng)計(jì)量 由于 12 )()?( ??? XXβ ?C o v 以 cii表示矩陣 (X’X)1 主對(duì)角線上的第 i個(gè)元素，于是參數(shù)估計(jì)量的方差為： iii cV a r 2)?( ?? ? 其中 ?2為隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，用它的估計(jì)量代替 : 11?22????????knkne i ee?),(~? 2 iiii cN ???因此，可構(gòu)造如下 t統(tǒng)計(jì)量 )1(~1??????????? kntkncStiiiiiiiee????? t檢驗(yàn) 設(shè)計(jì)原假設(shè)與備擇假設(shè)： H1： ?i?0 給定顯著性水平 ?，可得到臨界值 t?/2(nk1)，由樣本求出統(tǒng)計(jì)量 t的數(shù)值，通過 |t|? t?/2(nk1) 或 |t|?t?/2(nk1) 來拒絕或接受原假設(shè) H0，從而 判定對(duì)應(yīng)的解釋變量是否應(yīng)包括在模型中。 H0： ?i=0 （ i=1,2…k ） 注意： 一元線性回歸中， t檢驗(yàn)與 F檢驗(yàn)一致 一方面 ， t檢驗(yàn)與 F檢驗(yàn)都是對(duì)相同的原假設(shè)H0： ?1=0 進(jìn)行 檢驗(yàn) 。 另一方面 ，兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量之間有如下關(guān)系： 222212221222122212212?)2(?)2(?)2(?)2(?txnexnexnenexneyFiiiiiiiiii????????????????????????????????????????????在 中國(guó)居民人均收入 消費(fèi)支出 二元模型 例中 ，由應(yīng)用軟件計(jì)算出參數(shù)的 t值： 6 5 3 0 210 ??? ttt 給定顯著性水平 ?=，查得相應(yīng)臨界值： (19) =。 可見 ， 計(jì)算的所有 t值都大于該臨界值 ， 所以拒絕原假設(shè) 。 即 : 包括常數(shù)項(xiàng)在內(nèi)的 3個(gè)解釋變量都在 95%的水平下顯著 ， 都通過了變量顯著性檢驗(yàn) 。 四、參數(shù)的置信區(qū)間 參數(shù)的 置信區(qū)間 用來考察： 在一次抽樣中所估計(jì)的參數(shù)值離參數(shù)的真實(shí)值有多 “ 近 ” 。 在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道： )1(~1??????????? kntkncStiiiiiiiee?????容易推出 ：在 (1?)的置信水平下 ?i的置信區(qū)間是 ( , ) . . ? ? ? ? ? i t s i ? 2 ? i t s i . ? . 2 其中， t?/2為顯著性水平為 ? 、自由度為 nk1的臨界值。 在 中國(guó)居民人均收入 消費(fèi)支出 二元模型 例中 , 給定 ?=， 查表得臨界值： (19)= 計(jì)算得參數(shù)的置信區(qū)間： ?0 ： (, ) ?1 ： (, ) ?2 ： (, ) 1 7 5 1 0 6 2 1 2 0?210?2?1?0????????????sss 從回歸計(jì)算中已得到： 如何才能縮小置信區(qū)間？ ?增大樣本容量 n，因?yàn)樵谕瑯拥臉颖救萘肯拢?n越大， t分布表中的臨界值越小，同時(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減小； ?提高模型的擬合優(yōu)度 ，因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。 ?提高樣本觀測(cè)值的分散度 ,一般情況下，樣本觀測(cè)值越分散 ， (X’X)1的分母的 |X’X|的值越大，致使區(qū)間縮小。 167。 多元線性回歸模型的預(yù)測(cè) 一、 E(Y0)的置信區(qū)間 二、 Y0的置信區(qū)間 對(duì)于模型 βXY ?? ?給 定 樣 本 以 外 的 解 釋 變 量 的 觀 測(cè) 值X0=(1,X10,X20,… ,Xk0)， 可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值： βX ?? 00 ?Y 它可以是總體均值 E(Y0)或個(gè)值 Y0的預(yù)測(cè)。 但嚴(yán)格地說， 這只是被解釋變量的預(yù)測(cè)值的估計(jì)值，而不是預(yù)測(cè)值。 為了進(jìn)行科學(xué)預(yù)測(cè)，還需求出預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間，包括 E(Y0)和 Y0的 置信區(qū)間 。 一、 E(Y0)的置信區(qū)間 易知 )()?()?()?( 00 YEEEYE ???? βXβXβX 000))??()?()?( 20 ββ()Xββ(XβXβX 0000 ????? EEYVa r0102000)(??)??()?(XXXXX)ββ)(ββ(XX)ββ)(ββ(X00???????????????EEYV a r容易證明 ),(~? 020 XX)X(XβX 100 ?? ??NY)1(~????????knt)E ( YY 00010 XX)X(X?于是，得到 (1?)的置信水平下 E(Y0)的 置信區(qū)間 ： 010000100 )(??)()(?? 22 XXXXXXXX ?????????? ?? ?? ?? tYYEtY其中， t?/2為 (1?)的置信水平下的 臨界值 。 二、 Y0的置信區(qū)間 如果已經(jīng)知道實(shí)際的預(yù)測(cè)值 Y0，那么預(yù)測(cè)誤差為： 000 ?YYe ??容易證明 0))(())?(()?()(100000000????????????μXXXXββXβXβX???EEEeE))(1())(()()(01022100200XXXXμXXXX?????????????EeEeV a re0服從正態(tài)分布，即 )))(1(,0(~ 01020 XXXX ??? ??Ne)))(1(?? 01022 0 XXXX ???? ??? e構(gòu)造 t統(tǒng) 計(jì)量 )1(~??000 ???? kntYYte?可得給定 (1?)的置信水平下 Y0的 置信區(qū)間 ： 010000100 )(1??)(1?? 22 XXXXXXXX ???????????? ?? ?? ?? tYYtY 中國(guó)居民人均收入 消費(fèi)支出 二元模型 例中：2022年人均 GDP： ， 于是 人均居民消費(fèi)的預(yù)測(cè)值 為 ?2022=+ + =（元） 實(shí)測(cè)值 （ 90年價(jià)） =， 相對(duì)誤差： % 預(yù)測(cè)的置信區(qū)間 ： ???????????????? ?0 0 0 0 0 0 0 0 8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 8 0 0 8 2 0 2 8 8 9 5 )( 1XX3 9 3 ??? ? 010 XX)X(X于是 E(?2022） 的 95%的置信區(qū)間為 : ???或 （ ， ） 3 9 3 7 7 6 ???或 （ , ） 同樣，易得 ?2022的 95%的置信區(qū)間為 167。 回歸模型的其他函數(shù)形式 一、模型的類型與變換 二 、 非線性回歸實(shí)例 在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。 如著名的 恩格爾曲線 (Engle curves)表現(xiàn)為 冪函數(shù)曲線 形式、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的 菲利普斯曲線（ Pillips cuves）表現(xiàn)為 雙曲線 形式等。 但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運(yùn)用線性回歸的方法進(jìn)行計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的處理。 一、模型的類型與變換 倒數(shù)模型、多項(xiàng)式模型與變量的直接置換法 例如， 描述稅收與稅率關(guān)系的 拉弗曲線 ： 拋物線 s = a + b r + c r2 c0 s：稅收； r：稅率 設(shè) X1 = r， X2 = r2， 則原方程變換為 s = a + b X1 + c X2 c0 冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對(duì)數(shù)變換法 例如 ， CobbDauglas生產(chǎn)函數(shù) ：冪函數(shù) Q = AK?L? Q：產(chǎn)出量， K：投入的資本； L：投入的勞動(dòng) 方程兩邊取對(duì)數(shù)： ln Q = ln A + ? ln K + ? ln L 復(fù)雜函數(shù)模型與級(jí)數(shù)展開法 方程兩邊取對(duì)數(shù)后，得到： ??? ??? eLKAQ 1)( 21 ??? ?? (?1+?2=1) Q:產(chǎn)出量， K：資本投入， L：勞動(dòng)投入 ?：替代參數(shù)， ? ?2：分配參數(shù) ??? ??? ???? ?? )( 211 LKLnL n AL n Q例如 ， 常替代彈性 CES生產(chǎn)函數(shù) 將式中 ln(?1K? + ?2L?)在 ?=0處展開臺(tái)勞級(jí)數(shù) ,取關(guān)于?的線性項(xiàng)，即得到一個(gè)線性近似式。 如取 0階 、 1階 、 2階項(xiàng) ， 可得 22121 ln21lnlnlnln ???????? ??????????LKmLmKmAY ?????并非所有的函數(shù)形式都可以線性化 無法線性化模型的一般形式為 : ??? ),( 21 kXXXfY ?其中， f(x1,x2,…,X k)為非線性函數(shù)。如： ??? ?? LAKQ 二、非線性回歸實(shí)例 例 建立中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品消費(fèi)需