【文章內(nèi)容簡介】 1．樣本回歸函數(shù)與樣本回歸曲線 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對總體回歸函數(shù)作出的估計稱為 樣本回歸函數(shù) 。 由樣本回歸函數(shù)繪制的曲線稱為 樣本回歸曲線 （樣本回歸線）。 例 22 假設(shè)沒有取得總體中所有家庭的可支配收入與消費支出數(shù)據(jù)，而是按可支 配收入水平的不同水平調(diào)查取得了一組有代表性的樣本，如表 23所示。 表 23 家庭月可支配收入與消費支出的一個樣本 單位：元 可支配收入 X 1300 1800 2300 2800 3300 3800 4300 4800 5300 5800 消費支出 Y 1126 1327 1439 1886 2206 2398 2677 2893 3065 3401 以例 21為例（ 假設(shè)一個由 100個家庭構(gòu)成的總體，并假設(shè)這 100個家庭的月可支配收入水平只限于 1300元、 1800元、 2300元、 2800元、 3300元、 800元、4300元、 4800元、 5300元、 5800元 10種情況，每個家庭的月可支配收入與消費數(shù)據(jù)如表 21所示，要研究這一總體的家庭月消費支出 Y與家庭月可支配收入 X之間的關(guān)系，以便根據(jù)已知的家庭月可支配收入水平測算該總體的家庭月消費支出平均水平。 ） 若將家庭月可支配收入 X與消費支出 Y的總體回歸函數(shù)設(shè)定為一元 線性回歸函數(shù)的形式 01/ iiE Y X X????（ ），從而得到樣本回歸函數(shù) 0? 1? 0?? 1??可采用適當(dāng)方法根據(jù) 表 23中的數(shù)據(jù)得到參數(shù) 、 的估計 、 01? ??iiYX????表 23 家庭月可支配收入與消費支出的一個樣本 單位：元 可支配收入 X 1300 1800 2300 2800 3300 3800 4300 4800 5300 5800 消費支出 Y 1126 1327 1439 1886 2206 2398 2677 2893 3065 3401 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)和樣本回歸方程可繪制不同可支配收入家庭的消費支出散點圖、家庭消費支出與可支配收入關(guān)系的樣本回歸線，如圖 22所示。 從圖中可以清晰地看出，樣本回歸線是通過對樣本數(shù)據(jù)的較好的擬合對總 體回歸線作出的一種估計。 圖22 不同可支配 收入家庭的 消費支出（ 單位:元 ）5001000150020222500300035001000 2022 3000 4000 5000 6000家庭月可支配收入家庭月消費支出散點圖 樣本回歸線2．樣本回歸模型 引入樣本回歸函數(shù)中的代表各種隨機因素影響的隨機變量， 稱為 樣本殘差項 、 回歸殘差項 或 樣本剩余項 、 回歸剩余項 ，簡稱 殘差項或剩余項 （ residual），通常用 ie表示 。 在樣本回歸函數(shù)中引入殘差項后，得到的是隨機方程，成為 了計量經(jīng)濟學(xué)模型，稱為 樣本回歸模型 。 對于例 22中的樣本回歸函數(shù) 01? ??iiYX????引入 殘差項 ie可得樣本回歸模型 01? ?i i iY X e??? ? ?例如： 3．線性樣本回歸模型 ?iY確定性部分 ie+ 隨機部分 = 樣本回歸模型 確定性部分是線性函數(shù)的樣本回歸模型稱為 線性樣本回歸模型 。 只含有一個解釋變量的線性樣本回歸模型稱為 一元線性樣本回歸模型 ， 其一般形式是 01? ?i i iY X e??? ? ? 12in? ， ， ， （ 210） 其中， Y為被解釋變量， X為解釋變量， 0?? 1??、 0? 1?、 的估計， 是參數(shù) i n為觀測值下標(biāo)， 為樣本容量。 e 為殘差項， 3．線性樣本回歸模型 ?iY確定性部分 ie+ 隨機部分 = 樣本回歸模型 確定性部分是線性函數(shù)的樣本回歸模型稱為 線性樣本回歸模型 。 含有多個解釋變量的線性樣本回歸模型稱為 多元線性樣本回歸模型， 其一般形式是 0 1 1 2 2? ? ? ?i i i k k i iY X X X e? ? ? ?? ? ? ? ? ?12in? ， ， ， （ 211） i n為觀測值下標(biāo)， 為樣本容量。 e 為殘差項， 其中， Y為被解釋變量， 為解釋變量， 1X 2XkX、 ? 、 、 、 0??1?? 2?? ?k?、 、 、 的估計， 是參數(shù) 0? 1? 2? k?、 、 、 、 ◆ 一元線性回歸模型的基本假設(shè) 第二節(jié) 一元線性回歸模型的參數(shù)估計 ◆ 參數(shù)的普通最小二乘估計 ◆ 參數(shù)的最大似然估計 ◆ 普通最小二乘參數(shù)估計量的性質(zhì) ◆ 普通最小二乘樣本回歸函數(shù)的性質(zhì) ◆ 隨機誤差項方差的估計 一、一元線性回歸模型的基本假設(shè) 一元線性回歸模型的基本假設(shè)包括 對解釋變量的假設(shè) 、 對隨機誤差項的 假設(shè) 、 對模型設(shè)定的假設(shè) 幾個方面，主要如下： 1） 解釋變量是確定性變量，不是隨機變量。 2） 隨機誤差項具有 0均值、同方差，且在不同樣本點之間是獨立的，不存在序列相關(guān)，即 0 1 2iE i n? ??（ ） ， ， ，2 12iV a r i n????（ ） ， ， ，0 1 2ijCo v i j i j n?? ? ? ?（ ， ） ， ， ， ，3） 隨機誤差項與解釋變量不相關(guān)。即 0 1 2iiC o v X i n? ??（ ， ） ， ， ，4） 隨機誤差項服從正態(tài)分布，即 2~ ( 0 , ) 1 , 2 , ,i N i n?? ?5） 回歸模型是正確設(shè)定的。 這 5條假設(shè)中的前 4條是線性回歸模型的 古典假設(shè) ，也稱為 高斯假設(shè) ，滿足古典 假設(shè)的線性回歸模型稱為 古典線性回歸模型 （ classical linear regression model）。 在這 5條假設(shè)中，若前兩條假設(shè)滿足，第 3條自然滿足，因為前兩條假設(shè)成立時有 {[ ] [ ] } [ ] [ ] 0i i i i i ii i i iCo v X E X E X EX E X E E? ? ???? ? ?? ? ??（ ， ） （ ） （ ）（ ） （ ） 且由第 2條假設(shè)有 22( ) 1 2iE i n?? ?? ， ，( ) 0 1 2ijE i j i j n?? ? ? ? ， ， ，因為 22{[ ( ) ] } ( )i i i iV ar E E E? ? ? ?? ? ?（）( , ) {[ ] [ ] } ( )i j i i j j i jCo v E E E E? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?（ ） （ ）二、參數(shù)的普通最小二乘估計 普通最小二乘法（ ordinary least squares， OLS）的 基本思想 —— 使樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合樣本數(shù)據(jù) 最小二乘法以 21min n iie?? （ 212） 表示被解釋變量的估計值與實際觀察值的偏差總體上最小， 稱為 最小二乘準(zhǔn)則 。 對于一元線性回歸模型 01i i iYX? ? ?? ? ? 12in? ， ， ，01? ?? ()i i i i ie Y Y Y X??? ? ? ? ? 最小二乘參數(shù)估計就是要求使 2011? ?[ ( ) ]n iiiYX?????? （ 213） 01??、 01? ???、達到最小的參數(shù) 的估計 。 根據(jù)微積分中求極限的原理，要使式 （ 213）達到最小， 式 （ 213） 對 01? ???、 的一階偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于 0，即 （ 214） 011011? ?2 [ ( ) ] 0? ?2 [ ( ) ] 0niiini i iiYXX Y X??????? ? ? ? ????? ? ? ? ?????整理得 01112011 1 1? ? 0? ? 0nniiiin n ni i i ii i in X YX X X Y??????? ? ?? ? ? ????? ? ? ?????? ? ? （ 215） 解得 21 1 1 1022111 1 112211?()?()n n n ni i i i ii i i inniiiin n ni i i ii i inniiiiX Y X X Yn X Xn X Y X Yn X X??? ? ? ???? ? ??????? ??????? ????? ???? ? ? ???? ? ???（ 216） 這就是參數(shù) 01??、的 普通最小二乘估 計量 （ ordinary least squares estimators） 方程組（ 214）或（ 215）稱為 正規(guī)方程組 。 iix X X?? iiy Y Y??記 、 ， 由于 2 2 2 21 1 1 11( ) ( )n n n ni i i ii i i ix X X X Xn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 1 11( ) ( )n n n n ni i i i i i i ii i i i ix y X X Y Y X Y X Yn? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?式（ 216）可改寫為 011121? ??niiiniiYXxyx??? ??? ????????????? （ 217） 稱為參數(shù) 01??、的 普通最小二乘估 計量的離差形式 （ deviation form） 若一元線性回歸模型中沒有常數(shù)項，即模型為 1i i iYX???? 12in? ， ， ， 可得普通最小二乘參數(shù)估計量為 1121?niiiniiXYX? ????? （ 218） iY 這里需要明確兩個概念 —— 估計量 （ estimator）、 估計值 （ estimate）。 估計量指以公式表示的參數(shù)的估計，是隨機變量，其隨機性源于被解釋變量 。因為 等于其條件均值與隨機誤差項之和，是一個隨機變量。估計值指 iY把樣本數(shù)據(jù)代入?yún)?shù)估計公式得到的參數(shù)估計的具體數(shù)值，是確定的數(shù)字。 例 23 以例 22為例（ 假設(shè)一個由 100個家庭構(gòu)成的總體，并假設(shè)這 100個家庭的月可支配收入水平只限于 1300元、 1800元、 2300元、 2800元、 3300元、 800元、4300元、 4800元、 5300元、 5800元 10種情況，每個家庭的月可支配收入與消費數(shù)據(jù)如表 21所示，要研究這一總體的家庭月消費支出 Y與家庭月可支配收入 X之間的關(guān)系，以便根據(jù)已知的家庭月可支配收入水平測算該總體的家庭月消費支出平均水平。 ） 求關(guān)于家庭消費支出與可支配收入的關(guān)系的一元線性回歸模型 01i i iYX? ? ?? ? ?的 參數(shù) 的普通最小二乘估計值，寫出樣本回歸函數(shù)。 01??、? 4 1 4 . 0 4 5 0 . 5 1 5iiYX??三、參數(shù)的最大似然估計 基本思想 使從模型中取得樣本觀察數(shù)據(jù)的概率最大 對于一元線性回歸模型 01i i iYX? ? ?? ? ?若滿足基本假設(shè)，則 2~ ( 0 , ) 1 , 2 , ,i N i n?? ?0 1 2ijCo v i j i j n?? ? ? ?（ ， ） ， ， ， ，且 X為確定性變量，有 201~ ( , ) 1 , 2 , ,iiY N X i n? ? ???且 0 1 2ijCo v Y Y i j i j n? ? ?（ ， ） ， ， ， ，12 nY Y Y、 、 、的聯(lián)合概率密度函數(shù)是 201211 2 1 212 1