經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型一元回歸模型(編輯修改稿)
2025-03-20 14:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 現(xiàn)模型的設(shè)定偏誤。 關(guān)于解釋變量的假設(shè) ? 假設(shè) 2 ：解釋變量 X是確定型變量，不是隨機變量，在重復抽樣中取固定值。 ? 假設(shè) 3：解釋變量 X在所抽取的樣本中具有變異性，而且隨著樣本容量的無限增加，解釋變量 X的樣本方差趨于一個非零的有限常數(shù)。 ????? nQnXX i ,/)( 2關(guān)于隨機項的假設(shè) ? 假設(shè) 4 ：隨機誤差項 181。具有給定 X條件下的零均值、同方差以及不序列相關(guān)性。 ( ) 0 , 1 , 2 , ,iiE X i n? ??2( ) , 1 , 2 , ,iiV a r X i n?? ??( , , ) 0 , , 1 , 2 , , ,i j i jC o v X X i j n i j?? ? ? ?? 假設(shè) 5：隨機誤差項與解釋變量之間不相關(guān)。 c o v ( , ) 0 , 1 , 2 , ,( ) 0 , 1 , 2 , ,iiiiX i nE X i n??????假設(shè) 6：隨機誤差項服從零均值、同方差的正態(tài)分布。 22~ ( 0 , ) ~ ( 0 , )iiN? ? ? ?? N I D167。 一元線性回歸模型的參數(shù)估計 (Estimation of Simple Linear Regression Model) 一、參數(shù)的普通最小二乘估計（ OLS） 二、參數(shù)估計的最大或然法 (ML) 三、最小二乘估計量的性質(zhì) 四、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干 擾項方差的估計 一、參數(shù)的普通最小二乘估計（ OLS） 最小二乘原理 ? 根據(jù)被解釋變量的所有觀測值與估計值之差的平方和最小的原則求得參數(shù)估計量。 220111?( ) ( ( ) )nni i i iM i n Q Y Y Y X??? ? ? ? ???? 為什么取平方和？ 正規(guī)方程組 ? 該關(guān)于參數(shù)估計量的線性方程組稱為 正規(guī)方程組 （ normal equations）。 ????????0100??????????????????????0)??(0)??(1010iiiiiXXYXY????參數(shù)估計量 ? 求解正規(guī)方程組得到結(jié)構(gòu)參數(shù)的普通最小二乘估計量 （ ordinary least squares estimators） 及其離差形式： ????????????????????????2212220)(?)(?iiiiiiiiiiiiiXXnXYXYnXXnXYXYX??? 分布參數(shù)的普通最小二乘估計量 ??????????XYxyxiii1021??????2?22?? ?ne i? “ 估計量 ” （ estimator）和 “ 估計值 ” (estimate)的區(qū)別 ? 如果給出的參數(shù)估計結(jié)果是由一個具體樣本資料計算出來的，它是一個 “ 估計值 ” ，或者“ 點估計 ” ，是參數(shù)估計量的一個具體數(shù)值； ? 如果把上式看成參數(shù)估計的一個表達式，那么，則是 Yi的函數(shù)，而 Yi是隨機變量，所以參數(shù)估計也是隨機變量，在這個角度上，稱之為 “ 估計量 ” 。 二、參數(shù)估計的最大似然法 (ML) 最大似然法 ? 最大似然法 (Maximum Likelihood,ML)，也稱最大或然法 ，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計方法，是從最大或然原理出發(fā)發(fā)展起來的其它估計方法的基礎(chǔ)。 ? 基本原理： 當從模型總體隨機抽取 n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計量應(yīng)該使得從模型中抽取該 n組樣本觀測值的概率最大。 ? ML必須已知隨機項的分布。 估計步驟 ),??(~ 210 ??? ii XNY ?2102 )??(2121)(ii XYi eYP?????????),(),?,?( 21210 nYYYPL ???????21022)??(21)2(1 iinXYne??????????Yi的分布 Yi的概率函數(shù) Y的所有樣本觀測值的聯(lián)合概率 —似然函數(shù) 2102*)??(21)2l n ()l n (ii XYnLL????? ??????????????????????0)??(?0)??(?21012100iiiiXYXY??????????????????????????????????2212220)(?)(?iiiiiiiiiiiiiXXnXYXYnXXnXYXYX??對數(shù)似然函數(shù) 對數(shù)似然函數(shù)極大化的一階條件 結(jié)構(gòu)參數(shù)的ML估計量 討論 ? 在滿足一系列基本假設(shè)的情況下，模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的 最大似然估計量 與 普通最小二乘估計量 是相同的。 ? 但是，分布參數(shù)的估計結(jié)果不同。 neML i??22?: ?2?:22?? ?neO L S i?三、最小二乘估計量的性質(zhì) 概述 ? 當模型參數(shù)估計出后，需考慮參數(shù)估計值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。 ? 準則： – 線性性 (linear)，即它是否是另一隨機變量的線性函數(shù)； – 無偏性 (unbiased)，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值； – 有效性 (efficient)，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。 ? 這三個準則也稱作估計量的 小樣本性質(zhì) 。 擁有這類性質(zhì)的估計量稱為 最佳線性無偏估計量（ best liner unbiased estimator, BLUE） 。 ? 當不滿足小樣本性質(zhì)時，需進一步考察估計量的 大樣本或漸近性質(zhì) (asymptotic properties)： – 漸近無偏性 ， 即樣本容量趨于無窮大時 ， 是否它的均值序列趨于總體真值； – 一致性 ， 即樣本容量趨于無窮大時 ， 它是否依概率收斂于總體的真值； – 漸近有效性 ， 即樣本容量趨于無窮大時 ， 是否它在所有的一致估計量中具有最小的漸近方差 。 高斯 —馬爾可夫定理 (GaussMarkov theorem) ? 在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量。 ? 下面分別對最小二乘估計量的線性性、無偏性和有效性進行證明，作為不熟悉的同學的自學內(nèi)容。 ★ 2 、無偏性 ， 即估計量 0?? 、 1?? 的均值（期望）等于總體回歸參數(shù)真值 ? 0 與 ? 1 證： ? ? ? ? ???????? iiiiiiiiii kXkkXkYk ??????? 10101 )(?易知 02 ??? ??iii xxk ? ? 1ii Xk故 ??? iik ??? 11??? ????? 1111 )()()?( ?????? iiii EkkEE同樣地，容易得出 ? ? ????? 0000 )()()()?( ?????? iiii EwEwEE3 、有效性（最小方差性） ， 即在所有線性無偏估計量中，最小二乘估計量 0?? 、 1?? 具有最小方差。 ( 1 ) 先 求 0?? 與 1?? 的 方 差 ? ?? ????? )v a r ()v a r ()v a r ()?v a r ( 21021 iiiiiii kXkYk ??????? ? ?????????? 22222iiixxx ??? ?? ?????? 221020 )/1()v a r ()v a r ()?v a r ( ????? iiiiii kXnXwY
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