南開大學(xué)計量經(jīng)濟(jì)學(xué)02一元線性回歸分析(編輯修改稿)
2025-06-14 20:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 數(shù)， 研究 Y與 X之間的關(guān)系及變化規(guī)律。 即，根據(jù) i i i i i e X e Y Y ? ? ? ? ? 1 0 ? ? ? ? ? 估計 i i i i i X X Y E Y u ? ? u ? ? ? ? ? 1 0 ) | ( i?? i?回歸分析的主要任務(wù)是采用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ浞掷脴颖拘畔?，使估計的樣本函?shù)盡可能地接近于真實總體回歸函數(shù)。 需要對解釋變量和隨機項作出假設(shè) 。 45 40608010 012 014 016 018 020 040 80 12 0 16 0 20 0 24 0 28 0XY總體回歸函數(shù) ?假設(shè)一個總體有 60個家庭構(gòu)成，其周收入 (X)和周消費 (Y)支出數(shù)據(jù)如下表。 表 周家庭收入與消費支出（美元） 46 樣本回歸函數(shù) 4060801 0 01 2 01 4 01 6 01 8 040 80 1 2 0 1 6 0 2 0 0 2 4 0 2 8 0XY1Y247 ? 注意：準(zhǔn)確區(qū)分 4個式子的關(guān)系 南開大學(xué) 48 167。 古典假定條件 49 古典線性回歸模型（ CLRM）的基本假定： Yi=?0+?1Xi+ui (i=1,2, …, n) （ 1） 隨機誤差項具有 ０均值 : E(ui)=0 （ 2） 隨機誤差項具有 同方差： Var (ui)=?2 （ 3） 隨機誤差項在不同樣本點之間是獨立的 ， 不存在序列相關(guān) ： Cov(ui, uj)=0 i≠j i , j = 1,2, …, n （ 4） 隨機誤差項與解釋變量之間不相關(guān) ： Cov(Xi, ui)=0 （ 5）隨機誤差項服從０均值、同方差的 正態(tài)分布 ： ui~N(0, ?2 ) 167。 古典假定條件 （第 3版教材第 9頁） 50 （ 1） 隨機誤差項具有 零均值 ： E(?i)=0 表明：平均地看，隨機誤差項有互相抵消的趨勢。 （ 2） 隨機誤差項具有 同方差 ： Var(?i)=?2 表明：對每個 Xi，隨機誤差項 ?i的方差等于一個常數(shù) ?2。即 Y取不同值時， ?i相對各自均值（零均值）的分散程度是相同的。 Yi具有與 ?i相同的方差。Yi可能取值的分散程度也是相同的。 ? ? 22i2iii )(E)(EE)(V a r ?????????X1 Xn X2 Y +?i ?i PRF： E(Y|Xi)= ?0+?1Xi 異方差 X1 X3 X2 Y +?i ?i PRF： E(Y|Xi)= ?0+?1Xi 同方差 51 Cov(?i, ?j)=0 (3) 隨機誤差項在不同樣本點之間是獨立的，不存在序列相關(guān)。 無自相關(guān)假定表明：產(chǎn)生誤差（干擾）的因素是完全隨機的，此次干擾與彼次干擾互不相關(guān)，互相獨立。由此 應(yīng)變量 Yi的序列值之間也互不相關(guān)。 0)(E)(E)(E jiji ??????因為 ?i與 ?j相互獨立，有： 0)(E)]Y(EY)][Y(EY[E)Y,Y(C o v jijjiiji ???????0)(E)](E)][(E[E),(Co vjijjiiji????????????? Xi X Y ?i ?j E(Y|Xi)= ?0+?1Xi Xj Yi Yj ?i ?i ?i ?j ?j ?j 無自相關(guān) 正的自相關(guān) 負(fù)的自相關(guān) 52 Cov(Xi, ?i)=0 （ 4）隨機誤差項與解釋變量之間不相關(guān) Xi與 ?i相互獨立，互不相關(guān)，即隨機誤差項 ?i和解釋變量 Xi是各自獨立對 應(yīng)變量 Yi產(chǎn)生影響。事實上，在回歸分析中， Xi在重復(fù)抽樣（觀測）中固定取值， 是確定性變量 ，該假定自動滿足。 （ 5）隨機誤差項服從正態(tài)分布 (在對回歸參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計檢驗時，須作此假定；并結(jié)合假定 2) ?i～ N(0, ?2) 隨機誤差項 ?i正態(tài)分布的假定對模型的統(tǒng)計檢驗是很重要的 。如果認(rèn)為每一個誤差很小且相互獨立，則正態(tài)分布的假定就是合理的。研究表明：如果一個隨機變量受到大量微小的、相互獨立的隨機因素的影響，則這個隨機變量就服從正態(tài)分布。如果誤差項 ?i服從正態(tài)分布，則 Yi也服從正態(tài)分布 (因 Xi在重復(fù)抽樣中是常數(shù) )。 yt ? N (?0+?1xt , ?? ) 53 重要提示 ? 幾乎沒有哪個實際問題能夠同時滿足所有基本假設(shè)； ? 通過模型理論方法的發(fā)展，可以克服違背基本假設(shè)帶來的問題； ? 違背基本假設(shè)問題的處理構(gòu)成了單方程線性計量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法的主要內(nèi)容： 異方差問題（違背同方差假設(shè)） 序列相關(guān)問題（違背序列不相關(guān)假設(shè)） 共線性問題（違背解釋變量不相關(guān)假設(shè)） 隨機解釋變量（違背解釋變量確定性假設(shè)） 54 167。 一元線性回歸模型的參數(shù)估計 167。 普通最小二乘法 167。 隨機誤差項及相關(guān)的一些分布 Yt = ?0 + ?1 Xt + ut ? 我們?nèi)绾螞Q定 ? 0 和 ? 1 ? ? 選擇能夠最接近這些點的擬合直線 。 y x南開大學(xué) 56 1. 確定回歸直線的方法 2. 普通最小二乘法 3. OLS回歸直線的性質(zhì) 167。 (Ordinary Least Square, OLS） 57 x y (Xn , Yn) (X1 , Y1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? (X2 , Y2) (Xi , Yi) ei = Yi Yi ＾ 01? ??YX???? 通過這些樣本點，可以得到很多條擬合直線，但是最佳的只有一條。從上圖可以看出擬合殘差（ Residual）： iiiiiii XYXYYYe 1010 ??)??(? ???? ????????58 ? 用 “ 殘差和最小 ” 確定直線位置 即， 達(dá)到最小。由于出現(xiàn)正負(fù)抵消，所以不能保證所求擬合直線為最佳。 ? 用 “ 殘差絕對值和最小 ” 確定直線位置 即， 達(dá)到最小。消除了正負(fù)抵消的缺陷，但絕對值在數(shù)學(xué)處理上帶來了不方便。 ? 以“ 殘差平方和最小 ”確定直線位置 即， 達(dá)到最小。既消除了正負(fù)抵消的影響，同時數(shù)學(xué)處理上是方便的，得到的估計量還具有優(yōu)良特性。 1. 確定回歸直線的方法 ?ie?ie? 2ie59 誰提出的 OLS估計方法？ （ C F Gauss, 17771855） C F Gauss 1809年提出 OLS估計方法 。 60 解此方程組便得到參數(shù)估計值： ? ? ? ?? ? ???? 210210 ???,? iii XYeQ ????? ? ? ?? ? ? ?0??2??,?0??2??,?1011010010????????????????iiiiiXXYQXYQ??????????ii XY 10 ??? ?? ??1 2( ) ( )?()iiiX X Y YXX?????? ?XY 10 ?? ?? ??從而得到樣本回歸方程： ? ? 0ie0?? ii eX（ OLS回歸線的性質(zhì)）
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