【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3 。 綜上所述， 點(diǎn) P 到點(diǎn) D 的距離與到直線 AD 的距離之和的最小值為 3 。 【考點(diǎn)】 新定義，二次函數(shù)綜合題，平移、動(dòng)點(diǎn)和軸對(duì)稱問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn) 的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，正方形、菱形和等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)（線段最短問題），分類 思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1） ① 將點(diǎn) C（ 2， 0）的坐標(biāo)代入拋物線 F2的解析式，得 b=－ 2。 ② 對(duì)四邊形 ABCD的對(duì)角線進(jìn)行分析，結(jié)合特殊四邊形的判定方法得四邊形 ABCD 是正方形。故選 D。 （ 2）由 2y ax c??經(jīng)過變換后點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 2， c－ 1），根據(jù) A（ 0， c）在 F2上，可得 1a 4? ，即可表示出 △ ABD 的面積。 （ 3）分點(diǎn) C 在點(diǎn) A的左右側(cè)兩種情況討論。當(dāng)點(diǎn) C 在點(diǎn) A的右側(cè)時(shí)，求出 21 2 7y x x3 3 3? ? ?的頂 點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸，從而表示出 F2 的解析式，判斷出四邊形 ABCD 是菱形，要使 PD+PH 最小，即要使 PB+PH最小，進(jìn)而求出； 同理可得當(dāng)點(diǎn) C 在點(diǎn) A的左側(cè)時(shí)的情況。 7.（ 2020 年 浙江舟山、嘉興 14 分） 如圖，已知 A、 B 是線段 MN 上的兩點(diǎn)， MN=4， MA=1， MB＞ 1．以 A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn) M，以 B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn) N，使 M、 N 兩點(diǎn)重合成一點(diǎn) C，構(gòu)成 △ ABC，設(shè) AB=x． （ 1）求 x的取值范圍； （ 2）若 △ ABC 為直角三角形，求 x的值； （ 3）探究： △ ABC 的最大面積？ 【答案】 解：（ 1） ∵ 在 △ ABC 中， AC=1， AB=x， BC=3－ x， ∴ 1 x 3 x1 3 x x? ? ??? ? ? ??，解得 1 x 2?? 。 （ 2） ① 若 AC 為斜邊，則 221 x (3 x)? ? ? ，即 2x 3x 4 0? ? ? ，無(wú)解 ； ② 若 AB 為斜邊，則 22x (3 x) 1? ? ? ，解得 5x 3? ，滿足 1 x 2?? ． ③ 若 BC 為斜邊，則 22(3 x) 1 x? ? ? ，解得 4x 3? ，滿足 1 x 2?? 。 綜上所述， 若 △ ABC 為直角三角形， 則 5x 3? 或 4x 3? 。 （ 3）在 △ ABC 中，作 CD AB? 于 D， 設(shè) CD h? ， △ ABC 的面積為 S，則 1S xh2? ． ① 若點(diǎn) D 在線段 AB 上， 則 2 2 21 h ( 3 x ) h x? ? ? ? ?， ∴ 2 2 2 2 2( 3 x ) h x 2x 1 h 1 h? ? ? ? ? ? ?， 即 2x 1 h 3x 4? ? ?。 ∴ 2 2 2x (1 h ) 9 x 2 4 x 1 6? ? ? ?，即 2 2 2x h 8 x 2 4 x 1 6? ? ? ?。 ∴ 2 2 2 2 21 3 1 4S x h 2 x 6 x 4 2 ( x ) x 24 2 2 3??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 當(dāng) 3x 2? 時(shí)（滿足 4 x23??）， 2 S 取最大值 12 ，從而 S 取最大值 22 。 ② 若點(diǎn) D 在線段 MA上， 則 2 2 2( 3 x ) h 1 h x? ? ? ? ?， 同理可得， 2 2 23 1 4S 2 x 6 x 4 2 ( x ) 1 x2 2 3??? ? ? ? ? ? ? ? ?????， ∵ 4332 ，∴當(dāng) 41x3 ? 時(shí)， 2S 隨 x的增大而增大。 ∴ 當(dāng) 4x 3? 時(shí)， 2S 取最大值 49 ，從而 S 取最大值 23 。 綜合 ①② ， ∵ 2232 ，∴ △ ABC 的最大面積為 22 。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，線 旋轉(zhuǎn) 問題， 三角形三邊關(guān)系 ，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用 。 【分析】 （ 1）因?yàn)樗?AB 或 x在 △ ABC 中，所以可利用三角形三邊之間的關(guān)系即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊進(jìn)行解答 。 （ 2）應(yīng)該分情況討論，因?yàn)椴恢涝谌切沃心囊粋€(gè)是作為斜邊存在的 ， 所以有三種情況，即： ①若 AC 為斜邊 ，② 若 AB 為斜邊， ③ 若 BC 為斜邊 ，分別求解即可。 （ 3）在 △ ABC 中， AB 的值固定不變，即可視為底邊不變，但是因?yàn)槿切涡螤畈还潭?，高在發(fā)生變化，所以造成面積不固定，需分情況進(jìn)行討論．具體分 ① 若點(diǎn) D在線段 AB 上， ② 若點(diǎn) D 在線段 MA上兩種情況 。 8.（ 2020年 浙江金華 12分） 如 圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A（ 0， 6），點(diǎn) B是 x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) AB，取 AB 的中點(diǎn) M，將線段 MB繞著點(diǎn) B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90o，得到線段 B 作 x軸的垂線交直線 AC于點(diǎn) B 坐標(biāo)是（ t， 0） . （ 1）當(dāng) t=4 時(shí)，求直線 AB 的解析式； （ 2）當(dāng) t0 時(shí)，用含 t 的代數(shù)式表示點(diǎn) C 的坐標(biāo)及 △ ABC 的面積； （ 3）是否存在點(diǎn) B,使 △ ABD 為等腰三角形 ?若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn) B 的坐標(biāo)；若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由 . 【答案】 解：（ 1）當(dāng) t=4 時(shí)， B(4， 0)， 設(shè)直線 AB 的解析式為 y= kx+b ， 把 A(0， 6)， B(4， 0) 代入得： b64k b 0??? ???, 解得： 3k = 2b=6? ?????。 ∴ 直線 AB 的解析式為： 3y= x+62? 。 （ 2） 過點(diǎn) C 作 CE⊥ x軸于點(diǎn) E， ∵ ∠ AOB=∠ CEB=90176。， ∠ ABO=∠ BCE， ∴ △ AOB∽△ BEC。 ∴ B E C E B C 1A O B O A B 2? ? ?。 ∴ 1 1 tB E = A O = 3 , C E = O B =2 2 2 。 ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 tt+32??????， 。 ∵ ? ? ? ? 2A O E C 1 1 t 1 1 5S = O E A O + E C = t + 3 6 + = t + t + 92 2 2 4 4???? ????， A O B B E C1 1 1 1 t 3S A O O B 6 t 3 t S B E C E 3 t2 2 2 2 2 4??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 22A B C A O E C A O B B E C 1 1 5 3 1S = S S S = t + t + 9 3 t t = t + 94 4 4 4? ? ?? ? ? ?梯 形。 （ 3） 存在，理由如下： ① 當(dāng) t≥0時(shí) ， Ⅰ .若 AD＝ BD， ∵ BD∥ y 軸 ， ∴∠ OAB=∠ ABD， ∠ BAD=∠ ABD。 ∴∠ OAB=∠ BAD。 又 ∵∠ AOB=∠ ABC， ∴△ ABO∽△ ACB。 ∴ OB BC 1AO AB 2??。 ∴ t1= 62。 ∴ t=3，即 B(3， 0)。 Ⅱ .若 AB＝ AD， 如圖， 延長(zhǎng) AB 與 CE 交于點(diǎn) G， ∵ BD∥ CG， ∴ AG＝ AC。 過點(diǎn) A作 AH⊥ CG 于 H， ∴ CH＝ HG＝ 12 CG。 由 △ AOB∽△ GEB 得 GE AO=BE OB ， ∴ GE= 18t 。 又 ∵ HE＝ AO＝６， CE＝ t2 ， ∴ 18 1 1 t 18=t 2 2 2 t??? ? ?????。 ∴ 2t 24t 36 0? ? ? ， 解得： t=12 6 5? 。 ∵ t≥0， ∴ t=12 6 5? ，即 B(12 6 5? ， 0)。 Ⅲ .由已知條件可知，當(dāng) 0≤t12時(shí)， ∠ ADB 為鈍角，故 BD ≠ AB。 當(dāng) t≥12時(shí)， BD≤CEBCAB， ∴ 當(dāng) t≥0時(shí)，不存在 BD＝ AB 的情況 。 ② 當(dāng) － 3≤t0時(shí)，如圖， ∠ DAB 是鈍角 。 設(shè) AD=AB， 過點(diǎn) C 分別作 CE⊥ x軸， CF⊥ y 軸于點(diǎn) E，點(diǎn) F， 可求得點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 tt+32??????， ∴ CF=OE=t+3， AF=6－ t2 。 由 BD∥ y 軸， AB=AD 得， ∠ BAO=∠ ABD， ∠ FAC=∠ BDA， ∠ ABD=∠ ADB， ∴∠ BAO=∠ FAC。 又 ∵∠ AOB=∠ AFC=90176。， ∴△ AOB∽△ AFC。 ∴ BO AO=CF AF 。 ∴ t6tt36 2? ?? ?， ∴ 2t 24t 36 0? ? ? 。 解得： t=12 6 5? 。 ∵ － 3≤t0， ∴ t=12 6 5? ， 即 B (12 6 5? ， 0)。 ③ 當(dāng) t－ 3 時(shí)， 如圖， ∠ ABD 是鈍角 。 設(shè) AB=BD， 過點(diǎn) C 分別作 CE⊥ x軸， CF⊥ y 軸于點(diǎn) E，點(diǎn) F， 可求得點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 tt+32??????， ∴ CF=－ (t+3)， AF=6－ t2 。 ∵ AB=BD， ∴∠ D=∠ BAD。 又 ∵ BD∥ y 軸， ∴∠ D=∠ CAF。 ∴∠ BAC=∠ CAF。 又 ∵∠ ABC=∠ AFC=90176。， AC=AC。 ∴△ ABC≌△ AFC（ AAS）。 ∴ AF＝ AB， CF=BC。 ∴ AF=2CF，即 t6 = 2(t+3)2?? ， 解得 ： t=－ 8， 即 B(－ 8， 0)。 綜上所述，存在點(diǎn) B 使 △ ABD 為等腰三角形，此時(shí)點(diǎn) B 坐標(biāo)為： B1 (3， 0)， B2 (12 6 5? ， 0)， B3 (12 6 5? ， 0)， B4(－ 8， 0)。 【考點(diǎn)】 一次函數(shù)綜合題，線動(dòng)旋轉(zhuǎn)問題，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）當(dāng) t=4 時(shí)， B（ 4， 0），設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+b．把 A（ 0， 6）， B（ 4， 0）代入解析式即 可求出未知數(shù)的值，從而求出其解析式 。 （ 2）過點(diǎn) C 作 CE⊥ x 軸于點(diǎn) E，由 ∠ AOB=∠ CEB=90176。， ∠ ABO=∠ BCE，得 △ AOB∽△ BEC， 即B E C E B C 1A O B O A B 2? ? ?， 1 1 tB E = A O = 3 , C E = O B =2 2 2 ， 故點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 tt+3 2??????， ， 。 根據(jù)A B C A O E C A O B B E CS = S S S? ? ???梯 形求出 2ABC 1S = t +94?。 （ 3） 分① t≥0， － 3≤t0和 t－ 3 三種情況討論， t≥0又分 AD=BD， AB=AD， BD=AB 三種 情況 。 9.（ 2020 年 浙江衢州 12 分） 如圖，已知點(diǎn) A(－ 4， 8)和點(diǎn) B(2， n)在拋物線 2y=ax 上． （ 1）求 a 的值及點(diǎn) B 關(guān)于 x軸對(duì)稱點(diǎn) P 的坐標(biāo)，并在 x軸上找一點(diǎn) Q，使得 AQ+QB 最短，求出點(diǎn) Q 的 坐標(biāo)； （ 2）平移拋物線 2y=ax ，記平移后點(diǎn) A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A′，點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 B′，點(diǎn) C(2， 0)和點(diǎn) D(－ 4， 0) 是 x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)． ① 當(dāng)拋物線向 左平移到某個(gè)位置時(shí)， A′C+CB′ 最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式； ② 當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形 A′B′CD的周長(zhǎng)最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】 解： (1) 將點(diǎn) A(－ 4， 8)的坐標(biāo)代入 2y=ax ， 解得 1a=2 。 ∴ 拋物線的解析式為 21y= x2 。 將點(diǎn) B(2， n)的坐標(biāo)代入 21y= x2 ，求得點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (2， 2)。 則點(diǎn) B 關(guān)于 x軸對(duì)稱點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (2，－ 2)。 設(shè)直線 AP 的解析式 y=kx+b ， 則 4k+b=82k+b= 2??? ??，解得5k=34b=3? ???????。 ∴ 直線 AP 的解析式是 54y= x+33? 。 令 y=0，得 4x=5 ．即所求點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是 (45 ， 0)。 （ 2） ① 設(shè)將拋物線 21y= x2 向左平移 m 個(gè)單位，則平移后 A′， B′的坐標(biāo)分別為 A′(－ 4－ m， 8)和 B′(2－ m， 2)，點(diǎn) A′關(guān)于 x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 A′′(－ 4m，－ 8)。 同（ 1）可得直線 A′′B′的解析式為 5 5 4y= x+ m3 3 3? 。 ∵ 要使 A′C+CB′最短，點(diǎn) C 應(yīng)在直線 A′′B′上， ∴ 將點(diǎn) C(－ 2， 0)代入直線 A′′B′的解析式，解得 14m=5 。 ∴ 拋物線 21y= x2 向左平移 145 個(gè)單位時(shí)， A′C+CB′最短，此時(shí) 拋物線的函數(shù)解析式為 21 15y= x+24??????。 ②