【正文】 ， EH=1， ∴ ME=4。 11.（ 2020 年 浙江紹興 14 分） 如圖，設拋物線 C1： ? ?2y a x 1 5? ? ? ， C2： ? ?2y a x 1 5?? ? ?， C1與 C2 的交點為 A， B，點 A的坐標是（ 2， 4），點 B 的橫坐標是－ 2． （ 1）求 a 的值及點 B 的坐標； （ 2）點 D在線段 AB 上，過 D 作 x軸的垂線，垂足為點 H，在 DH的右側作正三角形 DHG．記過 C2頂點 M的直線為 l，且 l與 x軸交于點 N． ① 若 l過 △ DHG 的頂點 G，點 D 的坐標為（ 1， 2），求點 N 的橫坐標； ② 若 l與 △ DHG 的邊 DG 相交，求點 N 的橫坐標的取值范圍． 【答案】 解：（ 1） ∵ 點 A（ 2， 4）在拋物線 C1 上， ∴ 把點 A坐標代入 ? ?2y a x 1 5? ? ? 得 a=1。 【分析】 （ 1）根據 AB 所在直線的解析式求出 A， B 兩點的坐標，即可得出 OA、 OB 的長．過 D 作 DM⊥ y軸于 M，則 △ ADM≌△ BAO，由此可得出 MD、 MA的長，也就能求出 D 的坐標，同理可求出 C 的坐標。 ∴ 2 2 2G A B C H 3 5 5 t 5 15 25S 5 ) t t2 4 2 4??? ?? ? ? ? ? ?五 邊 形 （ ） （。 ∴ 5t 5AG 2??? 。 （ 3） ① 當點 A運動到 x軸上時， t=1， 當 0＜ t≤1時，如圖 1， ∵∠ OFA=∠ GFB′， O A 1tan O FA O F 2? ? ?， ∴ G B G B 1ta n G F BF B 25t??? ? ? ? ??。 （ 3）左右平移時，使 A′D+DB′′最短即可，那么作出點 A′關于 x軸對稱點的坐標為 A′′，得到直線 A′′B′′的解析式，讓 y=0，求得相應的點的坐標；進而得到拋物線頂點平移的規(guī)律，用頂點式設出相應的函數解析式，把新頂點坐標代入即可。 ∴ 將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形 A′B′CD 的周長最短，此時拋物線的函數解 析式為 21 16y= x+25??????。 ∵ CD=2， ∴ 將點 B′向左平移 2 個單位得 B′′(－ b， 2)。 ∴ 拋物線 21y= x2 向左平移 145 個單位時， A′C+CB′最短，此時 拋物線的函數解析式為 21 15y= x+24??????。 令 y=0，得 4x=5 ．即所求點 Q 的坐標是 (45 ， 0)。 將點 B(2， n)的坐標代入 21y= x2 ，求得點 B 的坐標為 (2， 2)。 根據A B C A O E C A O B B E CS = S S S? ? ???梯 形求出 2ABC 1S = t +94?。 【考點】 一次函數綜合題，線動旋轉問題，待定系數法，直線上點的坐標與方程的關系，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，解一元二次方程，分類思想的應用。 ∴△ ABC≌△ AFC（ AAS）。 又 ∵ BD∥ y 軸， ∴∠ D=∠ CAF。 ∵ － 3≤t0， ∴ t=12 6 5? ， 即 B (12 6 5? ， 0)。 ∴△ AOB∽△ AFC。 ② 當 － 3≤t0時，如圖， ∠ DAB 是鈍角 。 ∴ 2t 24t 36 0? ? ? ， 解得： t=12 6 5? 。 Ⅱ .若 AB＝ AD， 如圖， 延長 AB 與 CE 交于點 G， ∵ BD∥ CG， ∴ AG＝ AC。 又 ∵∠ AOB=∠ ABC， ∴△ ABO∽△ ACB。 ∴ 點 C 的坐標為 tt+32??????， 。 （ 2） 過點 C 作 CE⊥ x軸于點 E， ∵ ∠ AOB=∠ CEB=90176。 （ 2）應該分情況討論，因為不知道在三角形中哪一個是作為斜邊存在的 ， 所以有三種情況，即： ①若 AC 為斜邊 ，② 若 AB 為斜邊， ③ 若 BC 為斜邊 ，分別求解即可。 ∴ 當 4x 3? 時， 2S 取最大值 49 ，從而 S 取最大值 23 。 ∴ 2 2 2x (1 h ) 9 x 2 4 x 1 6? ? ? ?，即 2 2 2x h 8 x 2 4 x 1 6? ? ? ?。 7.（ 2020 年 浙江舟山、嘉興 14 分） 如圖，已知 A、 B 是線段 MN 上的兩點， MN=4， MA=1， MB＞ 1．以 A為中心順時針旋轉點 M，以 B為中心逆時針旋轉點 N，使 M、 N 兩點重合成一點 C，構成 △ ABC，設 AB=x． （ 1）求 x的取值范圍； （ 2）若 △ ABC 為直角三角形，求 x的值； （ 3）探究： △ ABC 的最大面積？ 【答案】 解：（ 1） ∵ 在 △ ABC 中， AC=1， AB=x， BC=3－ x， ∴ 1 x 3 x1 3 x x? ? ??? ? ? ??，解得 1 x 2?? 。故選 D。 綜上所述， 點 P 到點 D 的距離與到直線 AD 的距離之和的最小值為 3 。 ∴△ ABD 是等邊三角形。 ∵ 點 P 在直線 AC 上， ∴ PD=PB。 ∴ NB=ND=1。 ∴ 可設 F2 的解析式為 ? ?21y x 1 3 m3? ? ? ?。 ∴ DB=? ? ? ?1 c c 1 =2? ? ? 。 （ 2） ∵ 在 F1： 2y ax c??中令 x=0 得 y=c， ∴ A（ 0， c）。 ② PB的長 ，實際就是 P 點的縱坐標，因此可根據其縱坐標的表達式來應用二次函數最值原理求出 PB最短時，對應的 m 的值。 綜上所 述，拋物線上存在點 ? ?1Q 2 2 5 2 2?? ， ? ?2Q 2 2 , 5 2 2?? ，使 △ QMA 的面積與 △ PMA的面積相等。 ∴ 直線 DE 函數解析式為 y 2x 1??. ∵ QMA PMASS??? ， ∴ 點 Q 落在直線 y 2x 1??上。 ∴ 點 Q 與點 P 重合。 ∵ 點 P 的坐標是（ 2， 3）， ∴ 直線 PC的函數解析式為 y 2x 1??。 （ 3）存在。 ∴ 拋物線函數解析式為 2y (x m) 2m? ? ? 。 5.（ 2020 年 浙江 麗水 14 分） 如圖，在平面直角坐標系中，已知點 A坐標為（ 2， 4），直線 x2? 與 x 軸 相交于點 B，連結 OA，拋物線 2yx? 從點 O 沿 OA方向平移，與直線 x2? 交于點 P，頂點 M 到 A點時 停止移動． （ 1）求線段 OA所在直線的函數解析式； （ 2）設拋物線頂點 M 的橫坐標為 m, ① 用 m 的代數式表示點 P 的坐標； ② 當 m 為何值時，線段 PB 最短； （ 3）當線段 PB最短時，相應的拋物線上是否存在點 Q，使 △ QMA的面積與 △ PMA的面積相等，若存在，請求出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】 解：（ 1）設 OA所在直線的函數解析式為 y kx? ， ∵ 點 A坐標為（ 2， 4）， ∴ 2k 4? , k2? 。 【考點】 旋轉 問題， 菱形的 性質， 勾股定理， 代數式的大小比較。理由如下： 在 ? ?22h 60 40 x? ? ? 中， 令 x=0 得， 220h 6 0 4 0 4 2 1? ? ?， 令 x=1 得， 221h 6 0 3 9 4 9 6? ? ?， 令 x=2 得， 222h 6 0 3 8 4 3 5? ? ?， ∴ 1 1 0 2 2 1s h h 0 . 8 8 s h h 0 . 8 4? ? ? ? ? ?。 （ 2）從 a=40 開始，螺旋裝置順時針方向旋轉 x圈， 則 BD=40－ x。設 BD=a， AC=h， （ 1） 當 a=40 時， 求 h 值； （ 2） 從 a=40 開始，設螺旋裝置順時針方向旋轉 x圈，求 h 關于 x的函數解析式； （ 3） 從 a=40 開始，螺旋裝置順時針方向連續(xù)旋轉 2 圈，設第 1 圈使 “千斤頂 ”增高 s1，第 2 圈使 “千斤頂 ”增高 s2，試判定 s1 與 s2的大小，并說明理由。 【分析】 要求 PAPB 與半徑 R、 r 之間的關系式，證明 △ O1AP∽△ O2BP 是關鍵，根據兩圓的位置關系列式求解。 ∴ PA RPB r? 。 3.（ 2020 年 浙江 麗水 12 分） 已知 ⊙ O1 與 ⊙ O2 相切于點 P，它們的半徑分別為 R、 r．一直線繞 P 點旋轉，與⊙ O ⊙ O2 分別交于點 A、 B（點 P、 B 不重合），探索規(guī)律： （ 1）如圖 1，當 ⊙ O1 與 ⊙ O2 外切時，探求 PAPB 與半徑 R、 r 之間的關系式，請證明你的結論； （ 2）如圖 2，當 ⊙ O1 與 ⊙ O2 內切時，第（ 1）題探求的結論是否成立？為什么？ 【答案】 解：（ 1）當 ⊙ O1 與 ⊙ O2 外切時， PA RPB r? 。 【考點】 動點和平移問題，一次函數綜合題，待定系數法，直線上點的坐標與方程的關系，矩形的性質，全等、相似三角形的判定和性質， 正方形的判定和性質，勾股定理。 符合題意，四邊形 C’DEF’為正方形成立。 ∴ OC′=BD。 ∴ 3k 4? ， 45b 16?? 。 ∴ OD 534? ，即 15OD 4? 。 （ 2）設 D（ m， 0）， 如圖，過點 C 作 DG⊥ AB 于點 G， 則 GA=3， CG=4， CO=5。 2.（ 2020年 浙江金華 14分） 如圖在平面直角坐標系內，點 A與 C 的坐標分別為（ 4， 8），（ 0， 5），過點 A作AB⊥ x 軸于點 B，過 OB 上的動點 D 作直線 y kx b??平行于 AC，與 AB 相交于點 E，連結 CD，過點 E 作直線 EF∥ CD，交 AC 于點 F。 ∴ r 與 x的函數關系式為 21rx32? （ 0＜ x≤8）， r 的取值范圍為 0＜ r≤2。 根據勾股定理得； 2 2 2 2 21 2 1 2 2O O O D O D O O O D? ? ? ?， 即： ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2a r a r 8 r 2 a r 8? ? ? ? ? ? ? ?，化簡得： 28r 8a a??。 根據勾股定理得： 2 2 2 2 22 2 1 2 1O O O D O D O O O D? ? ? ?， 即： ? ? ? ? ? ?2 2 228 r r r 4 4 r? ? ? ? ? ?，解得： r=2。 當 y=2 時， 21x 1 22 ?? ，解得 x6?? ； 當 y=－ 2 時， 21x 1 22 ? ?? ，無解。 【答案】 （ 6 ， 2）或（ 6? ， 2）。 【分析】 兩圓相 切，如圖，分為兩圓第一次相遇時的相切和兩圓繼續(xù)移動，即將相離時的相切兩種情況： 第一種情況兩圓所走的路程為 4－ 2=2cm； 第二種情況兩圓所走的路程為 4＋ 2=6cm。 又 ∵ 運動的弦 CD 最大時是過圓心 O 時，此時 CD 為圓 O 的直徑， ∴ x y 2CE?? 。 故選 C。后 A1 應與 A分別位于 y 軸的兩側，在 x軸的同側，橫坐標符號相反，縱坐標符號相同．作 AM⊥ x軸于 M， A′N⊥ x軸于 N 點， 在 Rt△ OAM 和 Rt△ A1ON 中， OA=OA1， ∠ AOM=∠ A1ON， ∴△ OAM≌△ A1ON（ AAS）。 4.（ 2020年 浙江湖州 3分） 已知點 A的坐標為（ a， b） ， O為坐標原點，連接 OA，將線段 OA繞點 O 按逆時針方向旋轉 90176。 ∴ B D D E B F F GB A A O B A A O?? ， ，即 B D B F 3 5 3?? ， ， 解得 BD=， BF=。 【分析】 如圖，當圓心 C 移到點 D 和點 F 時，圓與直線 l 相切于點 E， G，連接DE， FG， 在 4y x 43??中， 令 x=0，得 y=－ 4；令 y=0，解得 x=3。故選 C。 【考點】 二次函數的性質， 坐標平移。下列關于拋物線的移動方向的描述中，正確的是【 】 A、先往左上方移動，再往左下方移動 。 ∴ EF=2。 又 ∵∠ EFD=∠ CGD=90176。 【考點】 旋轉的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質。至 DE，連接 AE，則 △ ADE 的面積是【 】 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】 C。 ∴∠ EDF=∠ CDG。 ∵ AD=3， BG=BC=5， ∴ CG=BC－ BG=5－ 3=2。 2.（ 2020 年 浙江湖州 3 分） 已知二次函數 2y x bx 1? ? ? （－ 1≤b≤1），當 b 從－ 1 逐漸變化到 1 的過程中， 它所對應的拋物線位置也隨之變動。 D、先往右下方移動，再往右上方移動 【答案】 C。 ∴ 函數圖象應