【正文】 ， EH=1， ∴ ME=4。 11.（ 2020 年 浙江紹興 14 分） 如圖，設(shè)拋物線 C1： ? ?2y a x 1 5? ? ? ， C2： ? ?2y a x 1 5?? ? ?， C1與 C2 的交點(diǎn)為 A， B，點(diǎn) A的坐標(biāo)是（ 2， 4），點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)是－ 2． （ 1）求 a 的值及點(diǎn) B 的坐標(biāo)； （ 2）點(diǎn) D在線段 AB 上，過(guò) D 作 x軸的垂線，垂足為點(diǎn) H，在 DH的右側(cè)作正三角形 DHG．記過(guò) C2頂點(diǎn) M的直線為 l，且 l與 x軸交于點(diǎn) N． ① 若 l過(guò) △ DHG 的頂點(diǎn) G，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（ 1， 2），求點(diǎn) N 的橫坐標(biāo)； ② 若 l與 △ DHG 的邊 DG 相交，求點(diǎn) N 的橫坐標(biāo)的取值范圍． 【答案】 解：（ 1） ∵ 點(diǎn) A（ 2， 4）在拋物線 C1 上， ∴ 把點(diǎn) A坐標(biāo)代入 ? ?2y a x 1 5? ? ? 得 a=1。 【分析】 （ 1）根據(jù) AB 所在直線的解析式求出 A， B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出 OA、 OB 的長(zhǎng)．過(guò) D 作 DM⊥ y軸于 M，則 △ ADM≌△ BAO，由此可得出 MD、 MA的長(zhǎng)，也就能求出 D 的坐標(biāo)，同理可求出 C 的坐標(biāo)。 ∴ 2 2 2G A B C H 3 5 5 t 5 15 25S 5 ) t t2 4 2 4??? ?? ? ? ? ? ?五 邊 形 （ ） （。 ∴ 5t 5AG 2??? 。 （ 3） ① 當(dāng)點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)到 x軸上時(shí)， t=1， 當(dāng) 0＜ t≤1時(shí)，如圖 1， ∵∠ OFA=∠ GFB′， O A 1tan O FA O F 2? ? ?， ∴ G B G B 1ta n G F BF B 25t??? ? ? ? ??。 （ 3）左右平移時(shí)，使 A′D+DB′′最短即可，那么作出點(diǎn) A′關(guān)于 x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 A′′，得到直線 A′′B′′的解析式，讓 y=0，求得相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；進(jìn)而得到拋物線頂點(diǎn)平移的規(guī)律，用頂點(diǎn)式設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，把新頂點(diǎn)坐標(biāo)代入即可。 ∴ 將拋物線向左平移時(shí)，存在某個(gè)位置，使四邊形 A′B′CD 的周長(zhǎng)最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解 析式為 21 16y= x+25??????。 ∵ CD=2， ∴ 將點(diǎn) B′向左平移 2 個(gè)單位得 B′′(－ b， 2)。 ∴ 拋物線 21y= x2 向左平移 145 個(gè)單位時(shí)， A′C+CB′最短，此時(shí) 拋物線的函數(shù)解析式為 21 15y= x+24??????。 令 y=0，得 4x=5 ．即所求點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是 (45 ， 0)。 將點(diǎn) B(2， n)的坐標(biāo)代入 21y= x2 ，求得點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (2， 2)。 根據(jù)A B C A O E C A O B B E CS = S S S? ? ???梯 形求出 2ABC 1S = t +94?。 【考點(diǎn)】 一次函數(shù)綜合題，線動(dòng)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，分類思想的應(yīng)用。 ∴△ ABC≌△ AFC（ AAS）。 又 ∵ BD∥ y 軸， ∴∠ D=∠ CAF。 ∵ － 3≤t0， ∴ t=12 6 5? ， 即 B (12 6 5? ， 0)。 ∴△ AOB∽△ AFC。 ② 當(dāng) － 3≤t0時(shí)，如圖， ∠ DAB 是鈍角 。 ∴ 2t 24t 36 0? ? ? ， 解得： t=12 6 5? 。 Ⅱ .若 AB＝ AD， 如圖， 延長(zhǎng) AB 與 CE 交于點(diǎn) G， ∵ BD∥ CG， ∴ AG＝ AC。 又 ∵∠ AOB=∠ ABC， ∴△ ABO∽△ ACB。 ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 tt+32??????， 。 （ 2） 過(guò)點(diǎn) C 作 CE⊥ x軸于點(diǎn) E， ∵ ∠ AOB=∠ CEB=90176。 （ 2）應(yīng)該分情況討論，因?yàn)椴恢涝谌切沃心囊粋€(gè)是作為斜邊存在的 ， 所以有三種情況，即： ①若 AC 為斜邊 ，② 若 AB 為斜邊， ③ 若 BC 為斜邊 ，分別求解即可。 ∴ 當(dāng) 4x 3? 時(shí)， 2S 取最大值 49 ，從而 S 取最大值 23 。 ∴ 2 2 2x (1 h ) 9 x 2 4 x 1 6? ? ? ?，即 2 2 2x h 8 x 2 4 x 1 6? ? ? ?。 7.（ 2020 年 浙江舟山、嘉興 14 分） 如圖，已知 A、 B 是線段 MN 上的兩點(diǎn)， MN=4， MA=1， MB＞ 1．以 A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn) M，以 B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn) N，使 M、 N 兩點(diǎn)重合成一點(diǎn) C，構(gòu)成 △ ABC，設(shè) AB=x． （ 1）求 x的取值范圍； （ 2）若 △ ABC 為直角三角形，求 x的值； （ 3）探究： △ ABC 的最大面積？ 【答案】 解：（ 1） ∵ 在 △ ABC 中， AC=1， AB=x， BC=3－ x， ∴ 1 x 3 x1 3 x x? ? ??? ? ? ??，解得 1 x 2?? 。故選 D。 綜上所述， 點(diǎn) P 到點(diǎn) D 的距離與到直線 AD 的距離之和的最小值為 3 。 ∴△ ABD 是等邊三角形。 ∵ 點(diǎn) P 在直線 AC 上， ∴ PD=PB。 ∴ NB=ND=1。 ∴ 可設(shè) F2 的解析式為 ? ?21y x 1 3 m3? ? ? ?。 ∴ DB=? ? ? ?1 c c 1 =2? ? ? 。 （ 2） ∵ 在 F1： 2y ax c??中令 x=0 得 y=c， ∴ A（ 0， c）。 ② PB的長(zhǎng) ，實(shí)際就是 P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此可根據(jù)其縱坐標(biāo)的表達(dá)式來(lái)應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求出 PB最短時(shí)，對(duì)應(yīng)的 m 的值。 綜上所 述，拋物線上存在點(diǎn) ? ?1Q 2 2 5 2 2?? ， ? ?2Q 2 2 , 5 2 2?? ，使 △ QMA 的面積與 △ PMA的面積相等。 ∴ 直線 DE 函數(shù)解析式為 y 2x 1??. ∵ QMA PMASS??? ， ∴ 點(diǎn) Q 落在直線 y 2x 1??上。 ∴ 點(diǎn) Q 與點(diǎn) P 重合。 ∵ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)是（ 2， 3）， ∴ 直線 PC的函數(shù)解析式為 y 2x 1??。 （ 3）存在。 ∴ 拋物線函數(shù)解析式為 2y (x m) 2m? ? ? 。 5.（ 2020 年 浙江 麗水 14 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A坐標(biāo)為（ 2， 4），直線 x2? 與 x 軸 相交于點(diǎn) B，連結(jié) OA，拋物線 2yx? 從點(diǎn) O 沿 OA方向平移，與直線 x2? 交于點(diǎn) P，頂點(diǎn) M 到 A點(diǎn)時(shí) 停止移動(dòng)． （ 1）求線段 OA所在直線的函數(shù)解析式； （ 2）設(shè)拋物線頂點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m, ① 用 m 的代數(shù)式表示點(diǎn) P 的坐標(biāo)； ② 當(dāng) m 為何值時(shí)，線段 PB 最短； （ 3）當(dāng)線段 PB最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn) Q，使 △ QMA的面積與 △ PMA的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】 解：（ 1）設(shè) OA所在直線的函數(shù)解析式為 y kx? ， ∵ 點(diǎn) A坐標(biāo)為（ 2， 4）， ∴ 2k 4? , k2? 。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn) 問(wèn)題， 菱形的 性質(zhì)， 勾股定理， 代數(shù)式的大小比較。理由如下： 在 ? ?22h 60 40 x? ? ? 中， 令 x=0 得， 220h 6 0 4 0 4 2 1? ? ?， 令 x=1 得， 221h 6 0 3 9 4 9 6? ? ?， 令 x=2 得， 222h 6 0 3 8 4 3 5? ? ?， ∴ 1 1 0 2 2 1s h h 0 . 8 8 s h h 0 . 8 4? ? ? ? ? ?。 （ 2）從 a=40 開(kāi)始，螺旋裝置順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) x圈， 則 BD=40－ x。設(shè) BD=a， AC=h， （ 1） 當(dāng) a=40 時(shí)， 求 h 值； （ 2） 從 a=40 開(kāi)始，設(shè)螺旋裝置順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) x圈，求 h 關(guān)于 x的函數(shù)解析式； （ 3） 從 a=40 開(kāi)始，螺旋裝置順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)旋轉(zhuǎn) 2 圈，設(shè)第 1 圈使 “千斤頂 ”增高 s1，第 2 圈使 “千斤頂 ”增高 s2，試判定 s1 與 s2的大小，并說(shuō)明理由。 【分析】 要求 PAPB 與半徑 R、 r 之間的關(guān)系式，證明 △ O1AP∽△ O2BP 是關(guān)鍵，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系列式求解。 ∴ PA RPB r? 。 3.（ 2020 年 浙江 麗水 12 分） 已知 ⊙ O1 與 ⊙ O2 相切于點(diǎn) P，它們的半徑分別為 R、 r．一直線繞 P 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，與⊙ O ⊙ O2 分別交于點(diǎn) A、 B（點(diǎn) P、 B 不重合），探索規(guī)律： （ 1）如圖 1，當(dāng) ⊙ O1 與 ⊙ O2 外切時(shí)，探求 PAPB 與半徑 R、 r 之間的關(guān)系式，請(qǐng)證明你的結(jié)論； （ 2）如圖 2，當(dāng) ⊙ O1 與 ⊙ O2 內(nèi)切時(shí)，第（ 1）題探求的結(jié)論是否成立？為什么？ 【答案】 解：（ 1）當(dāng) ⊙ O1 與 ⊙ O2 外切時(shí)， PA RPB r? 。 【考點(diǎn)】 動(dòng)點(diǎn)和平移問(wèn)題，一次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，矩形的性質(zhì)，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)， 正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 符合題意，四邊形 C’DEF’為正方形成立。 ∴ OC′=BD。 ∴ 3k 4? ， 45b 16?? 。 ∴ OD 534? ，即 15OD 4? 。 （ 2）設(shè) D（ m， 0）， 如圖，過(guò)點(diǎn) C 作 DG⊥ AB 于點(diǎn) G， 則 GA=3， CG=4， CO=5。 2.（ 2020年 浙江金華 14分） 如圖在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn) A與 C 的坐標(biāo)分別為（ 4， 8），（ 0， 5），過(guò)點(diǎn) A作AB⊥ x 軸于點(diǎn) B，過(guò) OB 上的動(dòng)點(diǎn) D 作直線 y kx b??平行于 AC，與 AB 相交于點(diǎn) E，連結(jié) CD，過(guò)點(diǎn) E 作直線 EF∥ CD，交 AC 于點(diǎn) F。 ∴ r 與 x的函數(shù)關(guān)系式為 21rx32? （ 0＜ x≤8）， r 的取值范圍為 0＜ r≤2。 根據(jù)勾股定理得； 2 2 2 2 21 2 1 2 2O O O D O D O O O D? ? ? ?， 即： ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2a r a r 8 r 2 a r 8? ? ? ? ? ? ? ?，化簡(jiǎn)得： 28r 8a a??。 根據(jù)勾股定理得： 2 2 2 2 22 2 1 2 1O O O D O D O O O D? ? ? ?， 即： ? ? ? ? ? ?2 2 228 r r r 4 4 r? ? ? ? ? ?，解得： r=2。 當(dāng) y=2 時(shí)， 21x 1 22 ?? ，解得 x6?? ； 當(dāng) y=－ 2 時(shí)， 21x 1 22 ? ?? ，無(wú)解。 【答案】 （ 6 ， 2）或（ 6? ， 2）。 【分析】 兩圓相 切，如圖，分為兩圓第一次相遇時(shí)的相切和兩圓繼續(xù)移動(dòng)，即將相離時(shí)的相切兩種情況： 第一種情況兩圓所走的路程為 4－ 2=2cm； 第二種情況兩圓所走的路程為 4＋ 2=6cm。 又 ∵ 運(yùn)動(dòng)的弦 CD 最大時(shí)是過(guò)圓心 O 時(shí)，此時(shí) CD 為圓 O 的直徑， ∴ x y 2CE?? 。 故選 C。后 A1 應(yīng)與 A分別位于 y 軸的兩側(cè)，在 x軸的同側(cè)，橫坐標(biāo)符號(hào)相反，縱坐標(biāo)符號(hào)相同．作 AM⊥ x軸于 M， A′N⊥ x軸于 N 點(diǎn)， 在 Rt△ OAM 和 Rt△ A1ON 中， OA=OA1， ∠ AOM=∠ A1ON， ∴△ OAM≌△ A1ON（ AAS）。 4.（ 2020年 浙江湖州 3分） 已知點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ a， b） ， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接 OA，將線段 OA繞點(diǎn) O 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90176。 ∴ B D D E B F F GB A A O B A A O?? ， ，即 B D B F 3 5 3?? ， ， 解得 BD=， BF=。 【分析】 如圖，當(dāng)圓心 C 移到點(diǎn) D 和點(diǎn) F 時(shí)，圓與直線 l 相切于點(diǎn) E， G，連接DE， FG， 在 4y x 43??中， 令 x=0，得 y=－ 4；令 y=0，解得 x=3。故選 C。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì)， 坐標(biāo)平移。下列關(guān)于拋物線的移動(dòng)方向的描述中，正確的是【 】 A、先往左上方移動(dòng)，再往左下方移動(dòng) 。 ∴ EF=2。 又 ∵∠ EFD=∠ CGD=90176。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。至 DE，連接 AE，則 △ ADE 的面積是【 】 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】 C。 ∴∠ EDF=∠ CDG。 ∵ AD=3， BG=BC=5， ∴ CG=BC－ BG=5－ 3=2。 2.（ 2020 年 浙江湖州 3 分） 已知二次函數(shù) 2y x bx 1? ? ? （－ 1≤b≤1），當(dāng) b 從－ 1 逐漸變化到 1 的過(guò)程中， 它所對(duì)應(yīng)的拋物線位置也隨之變動(dòng)。 D、先往右下方移動(dòng)，再往右上方移動(dòng) 【答案】 C。 ∴ 函數(shù)圖象應(yīng)