怎樣求數(shù)列極限(編輯修改稿)
2025-06-26 02:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 說明 ： 例 1：若 0, ?cba ,求 nnnnncba ???????? ????? 3lim. 解 先考慮： ln3ln111xcbaxxxx ??????????? ???????????? ??3111xxx cba 而 lnlimxx ??? ?????????? ??3111xxx cba =xcba xxxx 13lnlnlim111????????? ????? =21111212121ln1ln1ln1l i mxcbaccxbbxaaxxxxxxxx ?????????????? =xxxxxxx cbaccbbaa111111 lnlnlnl im????????? = abcln31 ? 由歸結(jié)原則有 nnnnncba ???????? ????? 3lim =???xlimxxxx cba?????????? ??3111 7 =???xlim?????????? ???????? ?? xxx cbaxe 111ln = ??????? 3lnabce = ? ?31lnabce =? ?31abc 例 2： 求數(shù)列極限 w=???nlim n（ nn 1? ） . 解：由???nlimnn =1 ? nn 1? = ?????? nne ln1 1? ～ n1 ㏑ n (n? +∞ ).用等價(jià)無窮小因子替換得 w=???nlim n?n1 ㏑ n=???nlim n1㏑ n 引入 )(xf =x1 ㏑ x2= )0(lnx2 ?xx ，則 w= ???nlim )( nf=???xlim )(xf=2???xlim x1=0 (洛比達(dá)法則 ) 先 初等變形 化簡(jiǎn)式子 再求數(shù)列極限 有時(shí)候先對(duì)數(shù)列 作諸如 求和 等初等變形后 再求極限會(huì)起到化簡(jiǎn) 運(yùn)算的功效。 例 求極限???nlim[31 3)1( 127191 1 nn? ????? ??] 解：∵ 31 3)1( 127191 1 nn? ????? ??=311]1[31 )31(??n= ]1[21 )3( n? ， ∴ ???nlim[31 3)1( 127191 1 nn? ????? ??]=???nlim ]1[21 )31( n? =21 例 求極限 )11()11()11(lim222 32 nn ?????? ? 8 解： 把通項(xiàng)變形 nnnnn 1111 2 ????? )11()11()11( 222 32 n???? ?= nnnnnn 121)1135322321( ?????????? ? ∴ 原式 =21121lim ????? nnn 例 求極限 ][l im323232 )12(31nnnnn ?????? ? 解：由 6 )12)(1(2222 321 ???????? nnnnsn ? 故 3 )14(6 )12)(1(46 )14)(12(2 2222 )12(31 ??????????? ? nn nnnnnnn? ∴ 原式 =34)3 134(l i m3 )14(l i m 22 ???????? nnnnn 例 求極限1114sinlim???? nnn 解： 將所給式子分母有理化，有 8)111(44s i n4l i m)111(14s i nl i m ?????? ???? nnnnnnnn 以上幾例都是通過初等變形再求極限起到化簡(jiǎn)的效果， 例 1 是先求和再求極限，例 2 是利用平方差公式結(jié)合因式相消，例 3 是利用特殊公式，例 4 是通過分母有理化， 有時(shí)為了將已知的極限化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化已知的極限，可根據(jù)極限 式的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來較復(fù)雜的極限過程轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的極限過程。因?yàn)檫@種方法也是簡(jiǎn)化極限，從某種程度上說也是通過變形化簡(jiǎn)極限式再求極限，所以我 也 把它放在 第 五 類。如下例： 9 例 設(shè) 11 ??? an，21 1aa nn ??? （ ?,2,1?n ），求 )(lim21 aaa nn ???? 解：令
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