怎樣求數(shù)列極限(文件)
【正文】 2nnnn ????? ??????? 22sinsin1limnnn ????? aa02a r c c o s01s in ????? 利用定積分 求數(shù)列極限 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則 xini iba fdxxf ?? ?? ?? 10 )(lim)( ??，若把 ],[ ba n 等分，則 ??????? nn abxi 0,?，把 ?i取作每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)，則n abiai )( ???? ；若把 ?i 取作每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)，則 n abiai ))(1( ????? ，特別地若積分區(qū)間為 ]1,0[ ， 則 nxi 1??， nii??，所以 （ 1）n abn abiaffdxxf ninni iiba x ??????? ??? ????? 110 ])([l i m)(l i m)( ?? 10 （ 2） ??????nin nifndxxf110 )(lim1)( 也即 若一個(gè)數(shù)列是一個(gè)和式的形式，且每一項(xiàng)可以提出一個(gè)n1或nab?，提出這些代數(shù)式后，剩下的可表示為一個(gè)通式，則可用定積分法求解。 首先回想一下拉格朗日中值定理：若函數(shù) )(xf 滿足： （ 1）在 [a,b]上連續(xù)；（ 2）在（ a,b）上可導(dǎo)；則在（ a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ，使得)(39。 例 1：計(jì)算 nnnnn!lim2??? 。 推論 1 ：若??nlim xn存在（有限或 ?? ） ，則其算術(shù)平均值數(shù)列??nlim xxxx nnnn ?????? lim)( 21 ? 。 15 參考文獻(xiàn) ： [1]劉書田等編 .《微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與解題方法》 [M]. 高等教育出版社 ,2020 [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析（上、下） [M].高等教育出版社， 2020 [3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 .微積分 [M].高等教育出版社， 2020 [4]費(fèi)定暉等 [5].吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解 [M].山東科學(xué)技術(shù)出版社，2020 [5]劉玉蓮，傅沛仁 .數(shù)學(xué)分析講義 . 高等教育出版社 ,2020 [6]裴禮文 .數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 [M]. 高等教育出版社， 2020 [7]錢吉林等主編，數(shù)學(xué)分析題解精粹，崇文書局， 2020 [8]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上、下），高等教育出版社， 2020 [9]周林 .高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限的幾種求法 .湖北廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)， 2020:159— 160 [10]卜憲敏 .數(shù)列極限的計(jì)算 .中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊， 2020 [11]李松 .數(shù)列極限的求法探討 .自然科學(xué)學(xué)科研究， 2020:88— 89 [12]塔懷鎖 .數(shù)列極限的幾種特殊求解方法 .北京工業(yè)職業(yè) 技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2020:72— 74. 。 舉例說明： 例 求 ??nlim nnkkkk1][ )12(31????? ? 解： 令 )12(31 ????? na kkkn ? ， nb kn 1?? 利用 斯篤茲定理得： 14 1l i ml i ml i m 2)1()12(11 ???????? ????????? kkkkknnnnnnnnn nnnbb aaba 例 2：求極限 nnn 2lnlim?? 解： 令 ,lnnxn? nyn 2? 由斯篤茲定理有， nyy xx nnnnnnnnnnn 211 lnl i m0121lnl i ml i m ???????? ??????? ∴ nnn 2lnlim??=0 在學(xué)習(xí)數(shù)列極限的理論時(shí)，只有不斷總結(jié)，不斷 完善知識(shí)理論，才能在解題思路中有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新。 解： 由華東師范大學(xué)版數(shù)學(xué)分析下冊(cè)第 15 頁(yè)介紹的拉貝判別法（極限形式）： 設(shè) ?un 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且極限 rn uunnn ?????? )1(lim1存在，則（ 1）當(dāng) 1?r 時(shí)，級(jí)數(shù) 13 ?un 收斂；（ 2）當(dāng) 1?r 時(shí)，級(jí)數(shù) ?un 發(fā)散。 例 ：求??nlim )1a rc t a n(a rc t a n2 ?? n anan， )0( ?a 12 解： 設(shè) )(xf = xarctan ，在 [nana ,1?]上用拉格朗日中值定理得： )1(1 1)1()( 2 ?????? n anan afnaf ? )1( nana ??? ? 當(dāng) ??n 時(shí)，有 0?? ，故原式 =??nlim ??? )1(2 nanan ??nlim ann an ??? )1(2 利用級(jí)數(shù)收斂性求數(shù)列極限 給出一個(gè)數(shù)列 {an}，對(duì)應(yīng)一個(gè)級(jí)數(shù) ??
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