【文章內(nèi)容簡介】 。 ? 上述第三點的原因是我們在做指數(shù)平滑時沒有考慮原數(shù)據(jù)的任何趨勢或周期規(guī)律，我們在下一節(jié)再對此做彌補。 第二節(jié) 時間序列的分解 一、成分的分離 ? 從圖 ，該銷售數(shù)據(jù)序列由三部分組成：指數(shù)向上的 趨勢 (trend)、周期性變化的 季節(jié) 成分 (seasonal ponent) 和無法用趨勢和季節(jié)模式解釋的 隨機干擾 (disturbance)。 ? 一般的時間序列還可能有 循環(huán) 或 波動成分 (Cyclic, or fluctuations)。 ? 循環(huán)模式和有規(guī)律的季節(jié)模式不同，其周期長短不一定固定。比如經(jīng)濟危機周期，金融危機周期等等。 ? 一般地來講，一個時間序列可能有 趨勢 、 季節(jié) 、 循環(huán) 這三個成分中的 某些或全部 再加上 隨機成分 組成。 ? 時間序列的分解 就是要把一個時間序列中可能包含的各種成分分解開來，以便于有針對性的進一步分析討論。 ? 就例 ，通過 SPSS軟件，可以很輕而易舉地得到該序列的趨勢、季節(jié)和誤差成分。 ? SPSS操作 —— 選擇菜單中的 “ Analyze = Time Series = Seasonal Deposition‖選項，把變量 “ sales‖選入“ Variables‖空格，再在 “ Model‖下選擇 “ Additive‖，點擊“ OK‖即可得到分解結(jié)果。 ? 上述 SPSS對時間序列做分解的結(jié)果自動儲存在原有數(shù)據(jù)文件中新增的幾個變量中，它們分別是： 1. err_1： 誤差 (error)項，也即原序列的隨機擾動成分，記為{ERt }； 2. sas_1： 季節(jié)調(diào)整后的序列 (seasonal adjusted series) ，記為 {SAt }； 3. saf_1： 季節(jié)因素 (seasonal factor) ，記為 {SFt }； 4. stc_1：去掉季節(jié)及隨機擾動后的 趨勢及循環(huán)因素 (trendcycle series)，記為 {TCt }。 ?這些分解出來的序列或成分與原有時間序列之間有如下的簡單和差關系： Xt = SFt + SAt , () Xt = SFt + TCt + ERt . () Y E A R2002200120001999199819971996199519941993199219911990120100806040200 2 0S e a n a l a d j u s t e ds e r i e s S AS e a s f a c t o r s S F圖 銷售數(shù)據(jù)的季節(jié)因素分離 可以看出，這一銷售數(shù)據(jù)序列大致上是以一年 (12個月 )為周期的。 ↙ Y E A R2002200120001999199819971996199519941993199219911990120100806040200 2 0T r e n d c y c l es e r i e s T CE r r o r s e r i e s E R圖 銷售數(shù)據(jù)的趨勢與擾動分離 可以看出，逐月的銷售額大致沿一個指數(shù)曲線呈增長趨勢。 ↘ Y E A R2002200120001999199819971996199519941993199219911990Error from Seasonal deposition32101234圖 分離季節(jié)和趨勢后的擾動序列 (返回 27頁 ) 可以看到，擾動項不再帶有明顯的周期或趨勢。 二、帶季節(jié)與趨勢的指數(shù)平滑 ? 如果我們不僅僅滿足于分解現(xiàn)有的時間序列，而且想利用該分解對未來進行更好的預測，就可以建立 帶季節(jié)成分和趨勢的指數(shù)平滑模型 。 ? 作這樣的指數(shù)平滑，必須事先 估計 出季節(jié)成分和趨勢，其估計結(jié)果就是這兩條曲線的函數(shù)關系式 (參數(shù) )，也即時間指標 t 的兩個確定的(非隨機的 )函數(shù)。 ? 分別記季節(jié)因素和趨勢 (及循環(huán) )的估計為 和 ，而剩余的擾動 (自然也是估計 )記為 。 ? 帶季節(jié)和趨勢的指數(shù)平滑就是先計算 擾動序列的指數(shù)平滑 ，然后再加上估計 (預測 )的季節(jié)和趨勢成分 ，作為最終的指數(shù)平滑數(shù)據(jù)。 ︿ SFt ︿ TCt ︿ ERt ? 我們不介紹上述指數(shù)平滑背后的數(shù)學，而直接來看它的 SPSS操作，該操作要分步來完成。 1. 選擇菜單中的 “ Analyze = Time Series = Exponential Smoothing‖選項，在彈出的窗口中把變量“ sales‖選入 “ Variables‖空格。 2. 在該窗口的 “ Model‖下選擇 “ Custom‖，并點擊其下的“ Custom‖按鈕進入二級窗口 (進行模型選擇 )。 3. 在 “ Trend Component‖下選擇 “ Exponential‖(因為本例中的趨勢近似一條指數(shù)曲線 )，在 “ Seasonal Component‖下選擇 “ Additive‖，點擊 “ Continue‖返回一級窗口。 4. 點擊 “ Parameters‖來進行參數(shù)選擇和估計。在彈出的二級窗口中的 “ General‖、 “ Trend‖和 “ Seasonal‖下方都選擇“ Grid Search‖，表示留給程序自己去搜索 (估計 )，其下的搜索范圍 (―Start‖和 “ Stop‖)和搜索步長 (―By‖)可不作修改。這三個參數(shù)中的第一項，也即權(quán)重指數(shù) ? ，一般可作人為選擇。選好參數(shù)后，點擊 “ Continue‖返回一級窗口。 5. 點擊 “ Save‖按鈕作預測選擇后，此操作同上一節(jié)的簡單指數(shù)平滑。 6. 再在一級窗口點擊 “ OK‖，即可得到所需要的結(jié)果了。 ? 我們來看看此時的指數(shù)平滑結(jié)果，見圖 。 Y E A R2003200220012000199919981997199619951994199319921991199012010080604020S A LE SS M O O T H圖 銷售數(shù)據(jù)的帶季節(jié)和趨勢的指數(shù)平滑 我們看到，此時的估計效果比上一節(jié)的簡單指數(shù)平滑要好得多，當然其預測也更可信。 第三節(jié) 基本 概念與相關圖 ? 如果要對比較復雜的純粹時間序列 (一般指已分離了 確定性的 季節(jié)成分和趨勢后的擾動序列 )進行細致的分析，指數(shù)平滑往往是無法滿足要求的。 ? 而若想對有獨立變量的時間序列進行預測，指數(shù)平滑更是無能為力。 ? 于是需要更加強有力的模型。 ? 在介紹具體的模型之前，我們先介紹一下所要用到的時間序列的一些 基本概念 ，以及 相關圖 這一重要的工具。 一、基本概念 ? 接下來我們只考慮 純粹時間序列 (pure time series)，也即 不帶有季節(jié)成分和 確定性 趨勢 的時間序列或擾動序列。 ? 記要考慮的時間序列為 {Xt }，為討論方便，我們允許時間指標 t 取全體整數(shù)值。但涉及到具體的觀測值時， t 只能 取有限個值，常取為 t = 1, 2, ? , N，其中 N 為某個正整數(shù)，代表樣本容量或樣本長度。 ? 對于每個固定的時間 t， Xt 是一個隨機變量 ， 都有著自己的均值和方差；不同的 Xt 之間還存在著協(xié)方差和相關系數(shù)，分別稱為 {Xt }的自協(xié)方差函數(shù) (autocovariance function, ACVF)和 自相關函數(shù) (autocorrelation function, ACF)。 ? 定義 . 時間序列 {Xt }稱為 平穩(wěn)的(stationary)，如果 1. Xt 的 均值和方差為常數(shù) ，不隨著時間 t 的變化而變化； 2. {Xt }的 相關性也關于時間平移不變 ，也對任意整數(shù) t 和 k， Xt 和 Xt+k 之間的相關性(自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù) )只跟時間間隔 k 有關，而跟具體的時間點 t 無關。 ? 由定義知，若時間序列 {Xt }是平穩(wěn)的，則 X1和 X X2和 X甚至 X99和 X100之間都具有 相同的相關性 ；同理， X1和 X X2和 X以及 X99和 X101之間也具有 相同的相關性 。 ? 記號 ：若時間序列 {Xt }是平穩(wěn)的，常記它的均值為 m，自協(xié)方差函數(shù)為 g k，自相關函數(shù)為 ? k，其中 k 為時間間隔，也稱為 間隔步數(shù)(lag)。 ? 一個時間序列的均值和方差是否為常數(shù)，通?？梢?從它的時間序列圖上 看出來 。 ? 例如前面提到的銷售數(shù)據(jù)分離了季節(jié)和趨勢后的擾動序列，見 圖。 ? 從圖中我們看到，這些 數(shù)據(jù)都圍繞著某個水平線 (均值 )上下波動 ，沒有出現(xiàn)前高后低或中間高兩頭低等變化，這說明該時間序列的 均值大致上是一個常數(shù) 。而原始的銷售數(shù)據(jù)的均值就不是一個常數(shù)了，見 圖 ，因為數(shù)據(jù)不是圍繞一個水平線，而是一條前低后高的指數(shù)型曲線在波動。 ? 同時， 圖 前后數(shù)據(jù)的波動范圍也基本一致 ，這說明該序列的方差大致上是一個常數(shù) 。 二、時間序列的相關性估計與相關圖 ? 一個時間序列的相關性是否關于時間平移不變，一般需要先 估計其自相關函數(shù)，再 加 上一定的 經(jīng)驗 來加以判斷。 ? 時間序列自相關函數(shù)的估計稱為 樣本自相關函數(shù) (sample ACF)，記為 rk，其 SPSS的計算操作如下： 1. 選擇菜單中的 “ Graphs = Time Series = Autocorrelations‖選項，把需要計算樣本自相關函數(shù)的變量名選入 “ Variables‖空格 (可以同時選多個變量 )； 2. 點擊 “ Options‖按鈕，在二級窗口選擇需要計算的樣本自相關函數(shù)的最大間隔步數(shù) “ Maximum numbers of lags‖，在其下方則選擇 “ Bartlett’s approximation‖。點 “ Continue‖返回一級菜單，再點擊 “ OK‖即可。 ? 由于銷售數(shù)據(jù)的樣本自相關函數(shù)形狀比較復雜，我們換以幾個 模擬的時間序列數(shù)據(jù) 為例來說明上述操作的結(jié)果。這些模擬數(shù)據(jù)儲存在SPSS數(shù)據(jù)文件 。 ? 我們先看其中變量名為 “ ar1‖和 “ arima‖這兩個序列，它們的樣本長度都是 150。在估計時，我們都估計了 前 24步 間隔的樣本自相關函數(shù) rk 。 ? SPSS的輸出結(jié)果分為 兩部分 。第一部分由 4組 數(shù)據(jù) 和夾在數(shù)據(jù)中間的 “ 莖葉圖 ” 組成，它們分別為這兩個序列的 自相關函數(shù) 和 偏相關函數(shù) (partial autocorrelation)的估計 及相應的統(tǒng)計量。后一部分為四個圖，分別是這些樣本相關系數(shù)的條形圖，統(tǒng)稱為時間序列的 相關圖 (correlogram)。 ? 我們先來看第一項輸出結(jié)果 —— 序列 “ ar1‖的 樣本自相關函數(shù)估計 。為便于描述，我們省略了夾在文字中間部分的莖葉圖，且文字與數(shù)值部分也只取了前幾項結(jié)果，見表 。 —————————————————————————————————————————————————————————— Lag AutoCorr. Stand. Err. BoxLjung Prob. —————————————————————————————————————————————————————————— 1 .742 .082 .000 2 .516 .118 .000 3 .132 .000 4 .207