【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。 ? 上述第三點(diǎn)的原因是我們?cè)谧鲋笖?shù)平滑時(shí)沒有考慮原數(shù)據(jù)的任何趨勢(shì)或周期規(guī)律，我們?cè)谙乱还?jié)再對(duì)此做彌補(bǔ)。 第二節(jié) 時(shí)間序列的分解 一、成分的分離 ? 從圖 ，該銷售數(shù)據(jù)序列由三部分組成：指數(shù)向上的 趨勢(shì) (trend)、周期性變化的 季節(jié) 成分 (seasonal ponent) 和無(wú)法用趨勢(shì)和季節(jié)模式解釋的 隨機(jī)干擾 (disturbance)。 ? 一般的時(shí)間序列還可能有 循環(huán) 或 波動(dòng)成分 (Cyclic, or fluctuations)。 ? 循環(huán)模式和有規(guī)律的季節(jié)模式不同，其周期長(zhǎng)短不一定固定。比如經(jīng)濟(jì)危機(jī)周期，金融危機(jī)周期等等。 ? 一般地來(lái)講，一個(gè)時(shí)間序列可能有 趨勢(shì) 、 季節(jié) 、 循環(huán) 這三個(gè)成分中的 某些或全部 再加上 隨機(jī)成分 組成。 ? 時(shí)間序列的分解 就是要把一個(gè)時(shí)間序列中可能包含的各種成分分解開來(lái)，以便于有針對(duì)性的進(jìn)一步分析討論。 ? 就例 ，通過(guò) SPSS軟件，可以很輕而易舉地得到該序列的趨勢(shì)、季節(jié)和誤差成分。 ? SPSS操作 —— 選擇菜單中的 “ Analyze = Time Series = Seasonal Deposition‖選項(xiàng)，把變量 “ sales‖選入“ Variables‖空格，再在 “ Model‖下選擇 “ Additive‖，點(diǎn)擊“ OK‖即可得到分解結(jié)果。 ? 上述 SPSS對(duì)時(shí)間序列做分解的結(jié)果自動(dòng)儲(chǔ)存在原有數(shù)據(jù)文件中新增的幾個(gè)變量中，它們分別是： 1. err_1： 誤差 (error)項(xiàng)，也即原序列的隨機(jī)擾動(dòng)成分，記為{ERt }； 2. sas_1： 季節(jié)調(diào)整后的序列 (seasonal adjusted series) ，記為 {SAt }； 3. saf_1： 季節(jié)因素 (seasonal factor) ，記為 {SFt }； 4. stc_1：去掉季節(jié)及隨機(jī)擾動(dòng)后的 趨勢(shì)及循環(huán)因素 (trendcycle series)，記為 {TCt }。 ?這些分解出來(lái)的序列或成分與原有時(shí)間序列之間有如下的簡(jiǎn)單和差關(guān)系： Xt = SFt + SAt , () Xt = SFt + TCt + ERt . () Y E A R2002200120001999199819971996199519941993199219911990120100806040200 2 0S e a n a l a d j u s t e ds e r i e s S AS e a s f a c t o r s S F圖 銷售數(shù)據(jù)的季節(jié)因素分離 可以看出，這一銷售數(shù)據(jù)序列大致上是以一年 (12個(gè)月 )為周期的。 ↙ Y E A R2002200120001999199819971996199519941993199219911990120100806040200 2 0T r e n d c y c l es e r i e s T CE r r o r s e r i e s E R圖 銷售數(shù)據(jù)的趨勢(shì)與擾動(dòng)分離 可以看出，逐月的銷售額大致沿一個(gè)指數(shù)曲線呈增長(zhǎng)趨勢(shì)。 ↘ Y E A R2002200120001999199819971996199519941993199219911990Error from Seasonal deposition32101234圖 分離季節(jié)和趨勢(shì)后的擾動(dòng)序列 (返回 27頁(yè) ) 可以看到，擾動(dòng)項(xiàng)不再帶有明顯的周期或趨勢(shì)。 二、帶季節(jié)與趨勢(shì)的指數(shù)平滑 ? 如果我們不僅僅滿足于分解現(xiàn)有的時(shí)間序列，而且想利用該分解對(duì)未來(lái)進(jìn)行更好的預(yù)測(cè)，就可以建立 帶季節(jié)成分和趨勢(shì)的指數(shù)平滑模型 。 ? 作這樣的指數(shù)平滑，必須事先 估計(jì) 出季節(jié)成分和趨勢(shì)，其估計(jì)結(jié)果就是這兩條曲線的函數(shù)關(guān)系式 (參數(shù) )，也即時(shí)間指標(biāo) t 的兩個(gè)確定的(非隨機(jī)的 )函數(shù)。 ? 分別記季節(jié)因素和趨勢(shì) (及循環(huán) )的估計(jì)為 和 ，而剩余的擾動(dòng) (自然也是估計(jì) )記為 。 ? 帶季節(jié)和趨勢(shì)的指數(shù)平滑就是先計(jì)算 擾動(dòng)序列的指數(shù)平滑 ，然后再加上估計(jì) (預(yù)測(cè) )的季節(jié)和趨勢(shì)成分 ，作為最終的指數(shù)平滑數(shù)據(jù)。 ︿ SFt ︿ TCt ︿ ERt ? 我們不介紹上述指數(shù)平滑背后的數(shù)學(xué)，而直接來(lái)看它的 SPSS操作，該操作要分步來(lái)完成。 1. 選擇菜單中的 “ Analyze = Time Series = Exponential Smoothing‖選項(xiàng)，在彈出的窗口中把變量“ sales‖選入 “ Variables‖空格。 2. 在該窗口的 “ Model‖下選擇 “ Custom‖，并點(diǎn)擊其下的“ Custom‖按鈕進(jìn)入二級(jí)窗口 (進(jìn)行模型選擇 )。 3. 在 “ Trend Component‖下選擇 “ Exponential‖(因?yàn)楸纠械内厔?shì)近似一條指數(shù)曲線 )，在 “ Seasonal Component‖下選擇 “ Additive‖，點(diǎn)擊 “ Continue‖返回一級(jí)窗口。 4. 點(diǎn)擊 “ Parameters‖來(lái)進(jìn)行參數(shù)選擇和估計(jì)。在彈出的二級(jí)窗口中的 “ General‖、 “ Trend‖和 “ Seasonal‖下方都選擇“ Grid Search‖，表示留給程序自己去搜索 (估計(jì) )，其下的搜索范圍 (―Start‖和 “ Stop‖)和搜索步長(zhǎng) (―By‖)可不作修改。這三個(gè)參數(shù)中的第一項(xiàng)，也即權(quán)重指數(shù) ? ，一般可作人為選擇。選好參數(shù)后，點(diǎn)擊 “ Continue‖返回一級(jí)窗口。 5. 點(diǎn)擊 “ Save‖按鈕作預(yù)測(cè)選擇后，此操作同上一節(jié)的簡(jiǎn)單指數(shù)平滑。 6. 再在一級(jí)窗口點(diǎn)擊 “ OK‖，即可得到所需要的結(jié)果了。 ? 我們來(lái)看看此時(shí)的指數(shù)平滑結(jié)果，見圖 。 Y E A R2003200220012000199919981997199619951994199319921991199012010080604020S A LE SS M O O T H圖 銷售數(shù)據(jù)的帶季節(jié)和趨勢(shì)的指數(shù)平滑 我們看到，此時(shí)的估計(jì)效果比上一節(jié)的簡(jiǎn)單指數(shù)平滑要好得多，當(dāng)然其預(yù)測(cè)也更可信。 第三節(jié) 基本 概念與相關(guān)圖 ? 如果要對(duì)比較復(fù)雜的純粹時(shí)間序列 (一般指已分離了 確定性的 季節(jié)成分和趨勢(shì)后的擾動(dòng)序列 )進(jìn)行細(xì)致的分析，指數(shù)平滑往往是無(wú)法滿足要求的。 ? 而若想對(duì)有獨(dú)立變量的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，指數(shù)平滑更是無(wú)能為力。 ? 于是需要更加強(qiáng)有力的模型。 ? 在介紹具體的模型之前，我們先介紹一下所要用到的時(shí)間序列的一些 基本概念 ，以及 相關(guān)圖 這一重要的工具。 一、基本概念 ? 接下來(lái)我們只考慮 純粹時(shí)間序列 (pure time series)，也即 不帶有季節(jié)成分和 確定性 趨勢(shì) 的時(shí)間序列或擾動(dòng)序列。 ? 記要考慮的時(shí)間序列為 {Xt }，為討論方便，我們?cè)试S時(shí)間指標(biāo) t 取全體整數(shù)值。但涉及到具體的觀測(cè)值時(shí)， t 只能 取有限個(gè)值，常取為 t = 1, 2, ? , N，其中 N 為某個(gè)正整數(shù)，代表樣本容量或樣本長(zhǎng)度。 ? 對(duì)于每個(gè)固定的時(shí)間 t， Xt 是一個(gè)隨機(jī)變量 ， 都有著自己的均值和方差；不同的 Xt 之間還存在著協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)，分別稱為 {Xt }的自協(xié)方差函數(shù) (autocovariance function, ACVF)和 自相關(guān)函數(shù) (autocorrelation function, ACF)。 ? 定義 . 時(shí)間序列 {Xt }稱為 平穩(wěn)的(stationary)，如果 1. Xt 的 均值和方差為常數(shù) ，不隨著時(shí)間 t 的變化而變化； 2. {Xt }的 相關(guān)性也關(guān)于時(shí)間平移不變 ，也對(duì)任意整數(shù) t 和 k， Xt 和 Xt+k 之間的相關(guān)性(自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) )只跟時(shí)間間隔 k 有關(guān)，而跟具體的時(shí)間點(diǎn) t 無(wú)關(guān)。 ? 由定義知，若時(shí)間序列 {Xt }是平穩(wěn)的，則 X1和 X X2和 X甚至 X99和 X100之間都具有 相同的相關(guān)性 ；同理， X1和 X X2和 X以及 X99和 X101之間也具有 相同的相關(guān)性 。 ? 記號(hào) ：若時(shí)間序列 {Xt }是平穩(wěn)的，常記它的均值為 m，自協(xié)方差函數(shù)為 g k，自相關(guān)函數(shù)為 ? k，其中 k 為時(shí)間間隔，也稱為 間隔步數(shù)(lag)。 ? 一個(gè)時(shí)間序列的均值和方差是否為常數(shù)，通?？梢?從它的時(shí)間序列圖上 看出來(lái) 。 ? 例如前面提到的銷售數(shù)據(jù)分離了季節(jié)和趨勢(shì)后的擾動(dòng)序列，見 圖。 ? 從圖中我們看到，這些 數(shù)據(jù)都圍繞著某個(gè)水平線 (均值 )上下波動(dòng) ，沒有出現(xiàn)前高后低或中間高兩頭低等變化，這說(shuō)明該時(shí)間序列的 均值大致上是一個(gè)常數(shù) 。而原始的銷售數(shù)據(jù)的均值就不是一個(gè)常數(shù)了，見 圖 ，因?yàn)閿?shù)據(jù)不是圍繞一個(gè)水平線，而是一條前低后高的指數(shù)型曲線在波動(dòng)。 ? 同時(shí)， 圖 前后數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍也基本一致 ，這說(shuō)明該序列的方差大致上是一個(gè)常數(shù) 。 二、時(shí)間序列的相關(guān)性估計(jì)與相關(guān)圖 ? 一個(gè)時(shí)間序列的相關(guān)性是否關(guān)于時(shí)間平移不變，一般需要先 估計(jì)其自相關(guān)函數(shù)，再 加 上一定的 經(jīng)驗(yàn) 來(lái)加以判斷。 ? 時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)稱為 樣本自相關(guān)函數(shù) (sample ACF)，記為 rk，其 SPSS的計(jì)算操作如下： 1. 選擇菜單中的 “ Graphs = Time Series = Autocorrelations‖選項(xiàng)，把需要計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù)的變量名選入 “ Variables‖空格 (可以同時(shí)選多個(gè)變量 )； 2. 點(diǎn)擊 “ Options‖按鈕，在二級(jí)窗口選擇需要計(jì)算的樣本自相關(guān)函數(shù)的最大間隔步數(shù) “ Maximum numbers of lags‖，在其下方則選擇 “ Bartlett’s approximation‖。點(diǎn) “ Continue‖返回一級(jí)菜單，再點(diǎn)擊 “ OK‖即可。 ? 由于銷售數(shù)據(jù)的樣本自相關(guān)函數(shù)形狀比較復(fù)雜，我們換以幾個(gè) 模擬的時(shí)間序列數(shù)據(jù) 為例來(lái)說(shuō)明上述操作的結(jié)果。這些模擬數(shù)據(jù)儲(chǔ)存在SPSS數(shù)據(jù)文件 。 ? 我們先看其中變量名為 “ ar1‖和 “ arima‖這兩個(gè)序列，它們的樣本長(zhǎng)度都是 150。在估計(jì)時(shí)，我們都估計(jì)了 前 24步 間隔的樣本自相關(guān)函數(shù) rk 。 ? SPSS的輸出結(jié)果分為 兩部分 。第一部分由 4組 數(shù)據(jù) 和夾在數(shù)據(jù)中間的 “ 莖葉圖 ” 組成，它們分別為這兩個(gè)序列的 自相關(guān)函數(shù) 和 偏相關(guān)函數(shù) (partial autocorrelation)的估計(jì) 及相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量。后一部分為四個(gè)圖，分別是這些樣本相關(guān)系數(shù)的條形圖，統(tǒng)稱為時(shí)間序列的 相關(guān)圖 (correlogram)。 ? 我們先來(lái)看第一項(xiàng)輸出結(jié)果 —— 序列 “ ar1‖的 樣本自相關(guān)函數(shù)估計(jì) 。為便于描述，我們省略了夾在文字中間部分的莖葉圖，且文字與數(shù)值部分也只取了前幾項(xiàng)結(jié)果，見表 。 —————————————————————————————————————————————————————————— Lag AutoCorr. Stand. Err. BoxLjung Prob. —————————————————————————————————————————————————————————— 1 .742 .082 .000 2 .516 .118 .000 3 .132 .000 4 .207