主成分分析ppt課件(2)(編輯修改稿)
2025-06-01 22:03 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，其中 利用 的相關(guān)矩陣 作主成分分析，可以得到如下結(jié)論： 12( , , , ) TpX X X X?()ij p p?? ??** ( , )( ) .ijij i jii jjCo v X XE X X????? ()X ?* * * *12( , , , ) TpX X X X?標(biāo)準(zhǔn)化變量的主成分 ? 設(shè) 為標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)向量，其協(xié)方差矩陣（即 的相關(guān)矩陣）為 ，則 的第 個(gè)主成分為 并且 其中 為 的特征值， 為相應(yīng)于特征值 的正交單位化特征向量 。這時(shí)，第 個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率為 ，前 個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率為 ， 與 的相關(guān)系數(shù)為 * * * *12( , , , ) TpX X X X?X ? *X i* * * * * *1 1 2 2121 1 2 2( ) , 1 , 2 , , .ppTi i i i ipppXXXY e X e e e i p???? ? ????? ? ? ? ? ?()* * *1 1 1( ) ( ) ,p p pi i ii i iV a r Y V a r X p?? ? ?? ? ?? ? ?* * *12 0p? ? ?? ? ? ?? * * *12( , , , ) Ti i i ipe e e e?i? ( 1, 2 , , )ip?i *i p? m*1mii p???*iY *jX ** **,ij i ijYX e???例 ? 設(shè) 的協(xié)方差矩陣為 相應(yīng)的相關(guān)矩陣為 分別從 和 出發(fā)，作主成分分析。 12( , ) TX X X?144 10 0????????1 0 .40 .4 1???? ??????例 ? 解 如果從 出發(fā)作主成分分析，易求得其特征值和相應(yīng)的正交單位化特征向量為 的兩個(gè)主成分分別為 第一主成分的貢獻(xiàn)率為 ?11221 0 0 . 1 6 , ( 0 . 0 4 0 , 0 . 9 9 9 ) ,0 . 8 4 , ( 0 . 9 9 9 , 0 . 0 4 0 ) .TTee??? ? ?? ? ?X1 1 22 1 20. 04 0 0. 99 9 ,0. 99 9 0. 04 0 .Y X XY X X????1121 0 0 . 1 6 9 9 . 2 %101??? ???例 ? 與 ， 的相關(guān)系數(shù)分別是 我們可以看到，由于 的方差很大，它完全控制了提取信息量占 ％的第一主成分（ 在 中的系數(shù)為 ），淹沒(méi)了變量 的作用。 ? 如果從 出發(fā)求主成分，可求得其特征值和相應(yīng)的正交單位化特征向量為 1Y 1X 2X 1 1 1 1, , X Y X????2X2X 1Y1X?**11**221 . 4 , (0 . 7 0 7 , 0 . 7 0 7) ,0 . 6 , (0 . 7 0 7 , 0 . 7 0 7) .TTee????? ? ?例 ? 的兩個(gè)主成分分別為 此時(shí)，第一個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率有所下降，為 注：當(dāng)涉及的各變量的變化范圍差異較大時(shí)，從 出發(fā)求主成分比較合理。 *X* * *1 1 2 1 1 2 2* * *2 2 2 1 1 2 20 . 7 0 7 0 . 7 0 7 0 . 7 0 7 ( ) 0 . 7 0 7 ( ) ,0 . 7 0 7 0 . 7 0 7 0 . 7 0 7 ( ) 0 . 7 0 7 ( ) .Y X X X XY X X X X??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?*1 1 . 4 7 0 % .2p? ??* * * *1 1 1 2, 1 . 4 0 . 7 0 7 0 . 8 3 8 .Y X Y X?? ? ? ? ??樣本主成分 ? 設(shè) 為取自 的一個(gè)容量為 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則樣本協(xié)方差矩陣及樣本相關(guān)矩陣分別為 其中 12( , , , ) , 1 , 2 , , .Ti i i i px x x x i n??12( , , , ) TpX X X X? n11( ) ( ) ( ) ,1nTi j p p k kkS s x x x xn??? ? ? ?? ?()( ) ,ijij p pii jjsRrss?????????()1211( , , , ) , , 1 , 2 , , ,nTpj ijix x x x x x j pn?? ? ??11 ( ) ( ) , , 1 , 2 , , .1niji j k i k jks x x x x i j pn?? ? ? ?? ?樣本主成分 ? 設(shè) 是樣本協(xié)方差矩陣，其特征值為 相應(yīng)的正交單位化特征向量為 ，這里 。則第 個(gè)樣本主成分為 其中 為 X的任一觀測(cè)值。當(dāng)依次代入 X的 n個(gè)觀測(cè)值 時(shí)，便得到第 i個(gè)樣本主成分 的 n個(gè)觀測(cè)值 ，我們稱(chēng)為第 i個(gè)主成分的 得分 。有 ()ij p pSs ?? 12 0p? ? ?? ? ? ?12, , , pe e e12( , , , ) Ti i i ipe e e e? i1212 , 1 , 2 , , ,Ti i i i pipy e x e x e x e x i p? ? ? ? ? ?()1
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