【文章內容簡介】 dttdp)( =a )(tp . (1) 若已知初始時刻 t =t 0 時的人口總數(shù)為 p0，那么 )(tp 還滿足初始條件 9 t =t 0 時， )(tp =p0. (2) 可以求得微分方程 (1)滿足初始條件 (2)的解為（設 a 是常數(shù)） )(tp =p0e )0( tta ? , (3) 即人口總數(shù)按指數(shù)增長。 模型參數(shù)的意義和作用： t 0 為初始時刻（初始年度）， p0 為初始年度 t 0 的人口總數(shù)，a 為每年的人口凈增長率， b 為人口出生率， d 為人口死亡率。 Malthus 人口模型所說的人口并不一定限于人，可以是認可一個生物群體，只要滿足類似的性質即可。 線性差分方程的解法 方程 )(.. .110 nbxaxaxa nkknkn ???? ??? （ 1） 其中 kaaa ,..., 10 為常數(shù)，稱方 程（ 1）為常系數(shù)線性方程。 又稱方程 0. ..110 ???? ??? nkknkn xaxaxa （ 2） 為方程（ 1）對應的齊次方程。 如 果（ 2）有形如 nnx ?? 的解，帶入方程中可得： 0.. . 1110 ????? ?? kkkk aaaa ??? （ 3） 稱方程（ 3）為方程（ 1）、（ 2）的特征方程。 顯然，如果能求出（ 3）的根，則可以得到（ 2）的解。 基本結果如下： ① 若（ 3）有 k 個不同的實根，則（ 2）有通解： nkknnn cccx ??? ???? . ..2211 ， ② 若（ 3）有 m重根 ? ，則通解中有構成項： nmm ncc ?)...( 121 ???? ??? ③ 若（ 3）有一對單復根 ??? i?? ，令： ??? ie?? ， ?????? a rc t a n,22 ??? ，則（ 2）的通解中有構成項： nc nn ???? s inc os 21 ?? ? ④ 若有 m 重復根： ??? i?? ， ??? ie?? ，則（ 2 ）的通項中有成10 項： nncncc nmmmmnmm ???? s i n)...(c os)...( 1221121 ??? ????? ??????? 綜上所述，由于方程（ 3）恰有 k 個根，從而構成方程 （ 9）的通解中必有 k 個獨立的任意常數(shù)。通解可記為： ?nx 如果能得到方程（ 1）的一個特解： *nx ，則（ 1）必有通解： ?nx ?nx + *nx （ 11） （ 1） 的特解可通過待定系數(shù)法來確定。 例如：如果 )(),()( npnpbnb mmn? 為 n 的多項式，則當 b 不是特征根時，可設成形如 )(nqb mn 形式的特解，其中 )(nqm 為 m 次多項式；如果 b 是 r 重根時，可設特解：rnb )(nqm ，將其代入（ 8）中確定出系數(shù)即可。 4 數(shù)據(jù)差值與擬合方法 在生產實踐和科學研究中，常常有這樣的問題：由實驗或測量得到變量間的一批離散樣點，要求由此建立變量之間的函數(shù)關系或得到樣點之外的數(shù)據(jù)。與此有關的一類問題是當原始數(shù)據(jù) ),(,),(),( 1100 nn yxyxyx ?精度較高，要求確定一個初等函數(shù) )(xPy? （一般用多項式或分段多項式函數(shù)）通過已知各數(shù)據(jù)點（節(jié)點），即 nixPy ii ,1,0,)( ??? ，或要求得函數(shù)在另外一些點（插值點）處的數(shù)值，這便是插值問題。 拉格朗日插值法 數(shù)據(jù)建模有兩大方法：一類是插值方法，另一類是擬合函數(shù)一般的說，插值法比較適合數(shù)據(jù)準確或數(shù)據(jù)量小的情形。然而 Lagrange 插值有很多種， 1 階， 2 階 ,? n 階。我們可以利用拉格朗日插值求方程，根據(jù)它的程序求原方程的圖像。下面我具體介紹分析一下拉格朗日插值的算法設計及應用。 已知函數(shù) y=f(x)在若干點 ix 的函數(shù)值 iy = ??ixf （ i=0,1, ?? ,n）一個差值問題就是求一“簡單”的函數(shù) p(x)： p( ix )= iy ,i=0,1, ?? ,n, (1) 11 則 p(x)為 f(x)的插值函數(shù)，而 f(x)為被插值函數(shù)會插值原函數(shù)， 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx 為插值節(jié)點，式（ 1）為插值條件，如果對固定點 ?x 求 f( ?x )數(shù)值解，我們稱 ?x 為一個插值節(jié)點，f( ?x )? p(?x )稱為 ?x 點的插值，當 ?x ?[min( 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx )， max( 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx )]時，稱為內插，否則稱為外插式外推，特別地，當 p(x)為不超過 n 次多項式時稱為 n 階 Lagrange插值。 ① 線性插值公式 )1(1L ： 設已知 0x ， 1x 及 0y =f( 0x ) , 1y =f( 1x ), )(1xL 為不超過一次多項式且滿足 )( 01 xL = 0y , )(11xL = 1y ,幾何上， )(1xL 為過（ 0x ， 0y ），（ 1 x ， 1y ）的直線，從而得到 )(1xL = 0y + 01 01 xxyy??（ x 0x ） . （ 2） 為了推廣到高階問題，我們將式（ 2）變成對稱式 )(1xL =0l （ x） 0y +1l (x) 1y . 其中， 0l （ x） = 101xx xx?? ,1l (x)= 010xx xx?? 。均為 1 次多項式且滿足 0l （ x） =1 且 1l (x)=0。或 0l （ x） =0 且 1l (x)=1。 兩關系式可統(tǒng)一寫成 )(ii xl =??? ??ji ji01 。 （ 3） ② n 階 Lagrange 插值公式 )(xLn ： 設已知 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx 及 iy =f( ix )(i=0,1,.....,n), )(xLn為不超過 n 次多項式且滿足 iin yxL ?)( （ i=0,1,...n） . 易知 )(xLn =0l （ x） 0y +....+ )(xln ny . 其中， )(xli 均為 n 次多項式且滿足式（ 3）（ i,j=0,1,...,n） ,再由 jx （ j? i）為 n 次多項式)(xli 的 n 個根知 )(xli =c????niijjxx0.最后，由 ???? ???1)()(0nijjjiji xxcxlc=????nijjji xx0)(1,i=0,1,...,n. 12 總之， )(xLn = ini i yxl??0 )( ， )(xli =.0??? ??nijj jijxx xx式為 n 階 Lagrange 插值公式，其中， )(xli（ i=0,1,...n）稱為 n 階 Lagrange 插值的基函數(shù)。 最小二乘法 在兩個觀測量中，往往總有一個量精度比另一個高得多，為簡單起見把精度較高的觀測量看作沒有誤差，并把這個觀測量選作 x，而把所有的誤差只 認為是 y 的誤差。設 x 和y 的函數(shù)關系由理論公式 y＝ f（ x； c1， c2，?? cm） （ 001） 給出，其中 c1， c2，?? cm是 m個要通過實驗確定的參數(shù)。對于每組觀測數(shù)據(jù)（ xi，yi） i＝ 1， 2，??， N。都對應于 xy 平面上一個點。若不存在測量誤差，則這些數(shù)據(jù)點都準確落在理論曲線上。只要選取 m組測量值代入式（ 001），便得到方程組 yi＝ f（ x； c1， c2，?? cm） （ 002） 式中 i＝ 1， 2，? ?， m 個方程的聯(lián)立解即得 m 個參數(shù)的數(shù)值。顯然 Nm 時，參數(shù)不能確定。 在 Nm的情況下，式（ 002）成為矛盾方程組，不能直接用解方程的方法求得 m個參數(shù)值，只能用曲線擬合的方法來處理。設測量中不存在著系統(tǒng)誤差，或者說已經修正，則 y 的觀測值 yi 圍繞著期望值 f（ x； c1， c2，?? cm） 擺動，其分布為正態(tài)分布，則yi 的概率密度為 ? ? ? ?? ? ?????????? ??? 2 2212 , . . . . . . ,。e x p2 1imiiiicccxfyyp??? , 式中 i? 是分布的標準誤差。為簡便起見，下面用 C 代表（ c1， c2，?? cm）?？紤] 各次測量是相互獨立的，故觀測值（ y1， y2，?? cN）的似然函數(shù) ? ? ? ?? ? ?????????? ??? ??Ni iiNN CxfyL 1 2 221 。21e x p. ..2 1 ????? . 取似然函數(shù) L 最大來估計參數(shù) C，應使 ? ?? ? min。1122 ????Ni iii Cxfy? （ 0