【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 有的同學(xué)竊竊私語(yǔ)，確實(shí)是這樣，并沒(méi)有給出證明）師 請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab。生 采用作差的方法，由a2+b22ab=(ab)2，∵(ab)2是一個(gè)完全平方數(shù)，它是非負(fù)數(shù)，即(ab)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。師 同學(xué)們思考一下，這位同學(xué)的證明是否正確？生 正確。［教師精講］師 這位同學(xué)的證明思路很好。今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱(chēng)之為“比較法”，它和根據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小是否一樣。生 實(shí)質(zhì)一樣，只是設(shè)問(wèn)的形式不同而已。一個(gè)是比較大小，一個(gè)是讓我們?nèi)プC明。師 這位同學(xué)回答得很好，思維很深刻。此處的比較法是用差和0作比較。在我們的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，還有另一種“比較法”。（教師此處的設(shè)問(wèn)是針對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)而言）生 作商，用商和“1”比較大小。師 對(duì)。那么我們?cè)谟龅竭@類(lèi)問(wèn)題時(shí)，何時(shí)采用作差，何時(shí)采用作商呢？這個(gè)問(wèn)題讓同學(xué)們課后去思考，在解決問(wèn)題中自然會(huì)遇到。（此處設(shè)置疑問(wèn)，意在激發(fā)學(xué)生課后去自主探究問(wèn)題，把探究的思維空間切實(shí)留給學(xué)生）［合作探究］師 請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察一下，等號(hào)何時(shí)取到。生 當(dāng)四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合時(shí)，即面積相等時(shí)取等號(hào)。（學(xué)生的思維仍建立在感性思維基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥）師 從不等式a2+b2≥2ab的證明過(guò)程能否去說(shuō)明。生 當(dāng)且僅當(dāng)(ab)2=0，即a=b時(shí)，取等號(hào)。師 這位同學(xué)回答得很好。請(qǐng)同學(xué)們看一下，剛才兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個(gè)角度分析等號(hào)成立的條件是否一致。（大家齊聲）一致。（此處意在強(qiáng)化學(xué)生的直覺(jué)思維與理性思維要合并使用。就此問(wèn)題來(lái)講，意在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用）板書(shū)：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。［過(guò)程引導(dǎo)］師 這是一個(gè)很重要的不等式。對(duì)數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論，我們應(yīng)仔細(xì)觀察、思考，才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延。只有這樣，我們用它來(lái)解決問(wèn)題時(shí)才能得心應(yīng)手，也不會(huì)出錯(cuò)。（同學(xué)們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥、指引）師 當(dāng)a＞0,b＞0時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。生 完全可以。師 為什么？生 因?yàn)椴坏仁街械腶、b∈r。師 很好，我們來(lái)看一下代替后的結(jié)果。板書(shū)：即 (a＞0,b＞0)。師 這個(gè)不等式就是我們這節(jié)課要推導(dǎo)的基本不等式。它很重要，在數(shù)學(xué)的研究中有很多應(yīng)用，我們常把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，把a(bǔ)b叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。（此處意在引起學(xué)生的重視，從不同的角度去理解）師 請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下，能否利用不等式及實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出這個(gè)不等式呢？（此時(shí)，同學(xué)們信心十足，都說(shuō)能。教師利用投影片展示推導(dǎo)過(guò)程的填空形式）要證：，①只要證a+b≥2，②要證②，只要證：a+b2≥0，③要證③，只要證：④顯然④是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，④中的等號(hào)成立，這樣就又一次得到了基本不等式。（此處以填空的形式,突出體現(xiàn)了分析法證明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時(shí)空切實(shí)留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上去體會(huì)分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度）［合作探究］老師用投影儀給出下列問(wèn)題。如圖，ab是圓的直徑，點(diǎn)c是ab上一點(diǎn)，ac=a,bc=b。過(guò)點(diǎn)c作垂直于ab的弦dd′，連結(jié)ad、bd。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？（本節(jié)課開(kāi)展到這里，學(xué)生從基本不等式的證明過(guò)程中已體會(huì)到證明不等式的常用方法，對(duì)基本不等式也已經(jīng)很熟悉，這就具備了探究這個(gè)問(wèn)題的知識(shí)與情感基礎(chǔ)）［合作探究］師 同學(xué)們能找出圖中與a、b有關(guān)的線(xiàn)段嗎？生 可證△acd ∽△bcd,所以可得。生 由射影定理也可得。師 這兩位同學(xué)回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？生表示半弦長(zhǎng)，表示半徑長(zhǎng)。師 半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？生 由半徑大于半弦可得。師 這位同學(xué)回答得是否很?chē)?yán)密？生 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)c與圓心重合，即當(dāng)a=b時(shí)可取等號(hào)，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0)。師 本節(jié)課我們研究了哪些問(wèn)題？有什么收獲？生 我們通過(guò)觀察分析第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)得出了不等式a2+b2≥2ab。生 由a2+b2≥2ab,當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，以、分別代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0)。進(jìn)而用不等式的性質(zhì)，由結(jié)論到條件，證明了基本不等式。生 在圓這個(gè)幾何圖形中我們也能得到基本不等式。（此處，創(chuàng)造讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)的機(jī)會(huì)，目的是培養(yǎng)學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力，也有利于課外學(xué)生歸納、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法、能力的提高）師 大家剛才總結(jié)得都很好，本節(jié)課我們從實(shí)際情景中抽象出基本不等式。并采用數(shù)形結(jié)合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進(jìn)一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。在對(duì)不等式的證明過(guò)程中，體會(huì)到一些證明不等式常用的思路、方法。以后，同學(xué)們要注意數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的靈活運(yùn)用?；顒?dòng)與探究：已知a、b都是正數(shù)，試探索, ,的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達(dá)式的大小關(guān)系，再由不等式及實(shí)數(shù)的性質(zhì)證明。（方法二）創(chuàng)設(shè)幾何直觀情景。設(shè)ac=a,bc=b，用a、b表示線(xiàn)段ｃｅ、ｏｅ、ｃｄ、ｄｆ的長(zhǎng)度，由ｃｅ＞ｏｅ＞ｃｄ＞ｄｆ可得?；静坏仁降淖C明一、實(shí)際情景引入得到重要不等式a2＋b2≥2ab二、定理若a＞0，b＞0基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)思想 基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)15分鐘篇五本節(jié)課的研究是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問(wèn)題情境中，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中還安排了一些簡(jiǎn)單的、學(xué)生易于處理的問(wèn)題，其用意在于讓學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書(shū)中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，.，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系.，會(huì)用配方法判斷二次式的大小和范圍.，提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍.教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過(guò)多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫(huà)面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課.思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績(jī)的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，?讓學(xué)生自由地展開(kāi)聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題1回憶初中學(xué)過(guò)的不等式，讓學(xué)生說(shuō)出“不等關(guān)系”與“不等式”?2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，?3數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?4任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語(yǔ)怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系?活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過(guò)的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”，可用符號(hào)“”“”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“ab”“a教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容.實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)a、b，若點(diǎn)a在點(diǎn)b的左邊，則xa實(shí)例3：若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零.實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短.實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.實(shí)例6：限速40 km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車(chē)的速度v不超過(guò)40 km/h.實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，%，%.教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過(guò)的什么知識(shí)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很容易想到，5，3+41+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x≥，|ac|+|bc||ab|，如下圖.|ab|+|bc||ac|、|ac|+|bc||ab|、|ab|+|ac||bc|.|ab||bc||ac|、|ac||bc||ab|、|ab||ac||bc|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40 km/，f≥%，p≥%.對(duì)于實(shí)例7，教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿(mǎn)足，避免寫(xiě)成f≥%或p≥%，≥%且p≥%.對(duì)以上問(wèn)題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論.討論結(jié)果：(1)(2)略。(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.(4)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a=b，ab，a0ab。ab=0a=b。ab0a應(yīng)用示例例1(教材本節(jié)例1和例2)活動(dòng)：通過(guò)兩例讓學(xué)