【文章內(nèi)容簡介】 有的同學(xué)竊竊私語，確實是這樣，并沒有給出證明）師 請同學(xué)們繼續(xù)思考，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab。生 采用作差的方法，由a2+b22ab=(ab)2，∵(ab)2是一個完全平方數(shù)，它是非負數(shù)，即(ab)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。師 同學(xué)們思考一下，這位同學(xué)的證明是否正確？生 正確。［教師精講］師 這位同學(xué)的證明思路很好。今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據(jù)實數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個代數(shù)式的大小是否一樣。生 實質(zhì)一樣，只是設(shè)問的形式不同而已。一個是比較大小，一個是讓我們?nèi)プC明。師 這位同學(xué)回答得很好，思維很深刻。此處的比較法是用差和0作比較。在我們的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，還有另一種“比較法”。（教師此處的設(shè)問是針對學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)而言）生 作商，用商和“1”比較大小。師 對。那么我們在遇到這類問題時，何時采用作差，何時采用作商呢？這個問題讓同學(xué)們課后去思考，在解決問題中自然會遇到。（此處設(shè)置疑問，意在激發(fā)學(xué)生課后去自主探究問題，把探究的思維空間切實留給學(xué)生）［合作探究］師 請同學(xué)們再仔細觀察一下，等號何時取到。生 當(dāng)四個直角三角形的直角頂點重合時，即面積相等時取等號。（學(xué)生的思維仍建立在感性思維基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)及時點撥）師 從不等式a2+b2≥2ab的證明過程能否去說明。生 當(dāng)且僅當(dāng)(ab)2=0，即a=b時，取等號。師 這位同學(xué)回答得很好。請同學(xué)們看一下，剛才兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個角度分析等號成立的條件是否一致。（大家齊聲）一致。（此處意在強化學(xué)生的直覺思維與理性思維要合并使用。就此問題來講，意在強化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用）板書：一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。［過程引導(dǎo)］師 這是一個很重要的不等式。對數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論，我們應(yīng)仔細觀察、思考，才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延。只有這樣，我們用它來解決問題時才能得心應(yīng)手，也不會出錯。（同學(xué)們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此時，教師應(yīng)及時點撥、指引）師 當(dāng)a＞0,b＞0時，請同學(xué)們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。生 完全可以。師 為什么？生 因為不等式中的a、b∈r。師 很好，我們來看一下代替后的結(jié)果。板書：即 (a＞0,b＞0)。師 這個不等式就是我們這節(jié)課要推導(dǎo)的基本不等式。它很重要，在數(shù)學(xué)的研究中有很多應(yīng)用，我們常把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，把ab叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，即兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。（此處意在引起學(xué)生的重視，從不同的角度去理解）師 請同學(xué)們嘗試一下，能否利用不等式及實數(shù)的基本性質(zhì)來推導(dǎo)出這個不等式呢？（此時，同學(xué)們信心十足，都說能。教師利用投影片展示推導(dǎo)過程的填空形式）要證：，①只要證a+b≥2，②要證②，只要證：a+b2≥0，③要證③，只要證：④顯然④是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，④中的等號成立，這樣就又一次得到了基本不等式。（此處以填空的形式,突出體現(xiàn)了分析法證明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時空切實留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上去體會分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度）［合作探究］老師用投影儀給出下列問題。如圖，ab是圓的直徑，點c是ab上一點，ac=a,bc=b。過點c作垂直于ab的弦dd′，連結(jié)ad、bd。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？（本節(jié)課開展到這里，學(xué)生從基本不等式的證明過程中已體會到證明不等式的常用方法，對基本不等式也已經(jīng)很熟悉，這就具備了探究這個問題的知識與情感基礎(chǔ)）［合作探究］師 同學(xué)們能找出圖中與a、b有關(guān)的線段嗎？生 可證△acd ∽△bcd,所以可得。生 由射影定理也可得。師 這兩位同學(xué)回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？生表示半弦長，表示半徑長。師 半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？生 由半徑大于半弦可得。師 這位同學(xué)回答得是否很嚴密？生 當(dāng)且僅當(dāng)點c與圓心重合，即當(dāng)a=b時可取等號，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0)。師 本節(jié)課我們研究了哪些問題？有什么收獲？生 我們通過觀察分析第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標得出了不等式a2+b2≥2ab。生 由a2+b2≥2ab,當(dāng)a＞0，b＞0時，以、分別代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0)。進而用不等式的性質(zhì)，由結(jié)論到條件，證明了基本不等式。生 在圓這個幾何圖形中我們也能得到基本不等式。（此處，創(chuàng)造讓學(xué)生進行課堂小結(jié)的機會，目的是培養(yǎng)學(xué)生語言表達能力，也有利于課外學(xué)生歸納、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法、能力的提高）師 大家剛才總結(jié)得都很好，本節(jié)課我們從實際情景中抽象出基本不等式。并采用數(shù)形結(jié)合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立。在對不等式的證明過程中，體會到一些證明不等式常用的思路、方法。以后，同學(xué)們要注意數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的靈活運用?；顒优c探究：已知a、b都是正數(shù)，試探索, ,的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達式的大小關(guān)系，再由不等式及實數(shù)的性質(zhì)證明。（方法二）創(chuàng)設(shè)幾何直觀情景。設(shè)ac=a,bc=b，用a、b表示線段ｃｅ、ｏｅ、ｃｄ、ｄｆ的長度，由ｃｅ＞ｏｅ＞ｃｄ＞ｄｆ可得。基本不等式的證明一、實際情景引入得到重要不等式a2＋b2≥2ab二、定理若a＞0，b＞0基本不等式教學(xué)設(shè)計思想 基本不等式教學(xué)設(shè)計15分鐘篇五本節(jié)課的研究是對初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，將讓學(xué)生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，用數(shù)學(xué)觀點進行觀察、歸納、抽象，.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡單的、學(xué)生易于處理的問題，其用意在于讓學(xué)生注意對數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書中實例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系，.，利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論，理解實數(shù)的大小關(guān)系，理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.，會用配方法判斷二次式的大小和范圍.，提高學(xué)生對不等式的認識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.教學(xué)重點：比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍.教學(xué)難點：準確比較兩個代數(shù)式的大小.1課時導(dǎo)入新課思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強烈愿望，自然地引入新課.思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學(xué)成績的多少等現(xiàn)實生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，?讓學(xué)生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點進行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，從而進入進一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課.推進新課新知探究提出問題1回憶初中學(xué)過的不等式，讓學(xué)生說出“不等關(guān)系”與“不等式”?2在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，?3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”，可用符號“”“”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“ab”“a教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，進一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容.實例1：某天的天氣預(yù)報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點a、b，若點a在點b的左邊，則xa實例3：若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零.實例4：兩點之間線段最短.實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.實例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，%，%.教師進一步點撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說明同學(xué)們已經(jīng)走進了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很容易想到，5，3+41+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數(shù)，則x≥，|ac|+|bc||ab|，如下圖.|ab|+|bc||ac|、|ac|+|bc||ab|、|ab|+|ac||bc|.|ab||bc||ac|、|ac||bc||ab|、|ab||ac||bc|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/，f≥%，p≥%.對于實例7，教師應(yīng)點撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足，避免寫成f≥%或p≥%，≥%且p≥%.對以上問題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論.討論結(jié)果：(1)(2)略。(3)數(shù)軸上任意兩點中，右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.(4)對于任意兩個實數(shù)a和b，在a=b，ab，a0ab。ab=0a=b。ab0a應(yīng)用示例例1(教材本節(jié)例1和例2)活動：通過兩例讓學(xué)