20xx年使用定積分的定義求極限用定積分定義計算極限(四篇)(編輯修改稿)
2025-08-12 01:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 用數(shù)列極限定義證明：lim立。注：對于一個由若干項組成的代數(shù)式，可放大或縮小為這個代數(shù)式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．n2+n+1n2n2+n+1nnnn22n(n+1)2n+1(1)n例已知an=，證明數(shù)列an的極限是零。2(n+1)(1)n1(1)1(2)證明：e0(設(shè)0e1)，欲使|an0|=||=e成立 22(n+1)(n+1)n+111e解得：n1，由于上述式子中的等式和不等號（1）對于任意的正整n+1e1數(shù)n都是成立的，因此取n=[1]，則當(dāng)nn時，不等號（2）成立，進(jìn)而上述系列等式由不等式e和不等式均成立，所以當(dāng)nn時，|an0|e。在上面的證明中，設(shè)定0e1，而數(shù)列極限定義中的e是任意的，為什么要這樣設(shè)定？這樣設(shè)定是否符合數(shù)列極限的定義？在數(shù)列極限定義中，n是一個正整數(shù)，此題如若不設(shè)定0e1，則n=[1]就有1e可能不是正整數(shù)，例如若e＝2，則此時n＝－1，故為了符合數(shù)列極限的定義，先設(shè)定0e1，這樣就能保證n是正整數(shù)了。那么對于大于1的e，是否能找到對應(yīng)的n？能找到。按照上面已經(jīng)證明的結(jié)論，當(dāng)e＝，有對應(yīng)的n1，當(dāng)nn1時，|an0|＜。因此，當(dāng)n＞n1時，對于任意的大于1的e，下列式子成立：|an0|＜＜1＜e，亦即對于所有大于1的e，我們都能找到與它相對應(yīng)的n=n1。因此，在數(shù)列極限證明中，e可限小。只要對于較小的e能找到對應(yīng)的n，則對于較大的e．．．就自然能找到對應(yīng)的n。使用定積分的定義求極限 用定積分定義計算極限篇三數(shù)學(xué)之美2007年11月總第3期淺談用定積分的定義解決極限問題王濤（周恩來政府管理學(xué)院 政治學(xué)與行政學(xué) 0612723）摘要：數(shù)學(xué)是一門鍛煉人的邏輯思維能力的科目。我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常遇到的是計算題和證明題，掌握一定的方法和技巧對于我們快速地解出題目是非常有幫助的。有些方法和技巧其實(shí)是對定義、概念深入理解所得到的。本文主要探討用定積分的定義來解決求極限的問題。關(guān)鍵詞：定積分的定義；定積分；極限；曲邊梯形的面積在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，微積分的學(xué)習(xí)占有很大的比重，地位也是很重要的。微積分分為微分學(xué)和積分學(xué)，而微分運(yùn)算與積分運(yùn)算之間是互為逆運(yùn)算的關(guān)系。我們通常把微分運(yùn)算看作正向運(yùn)算，而把積分運(yùn)算看作是微分的逆運(yùn)算，在以往的實(shí)際學(xué)習(xí)上我們也可以看出這點(diǎn)：加減法，乘除法，平方開方，指數(shù)對數(shù)，三角函數(shù)反三角函數(shù)等等。而在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們首先接觸的是微分，然后是積分；從掌握程度上，我們對于正向運(yùn)算的掌握程度可能要好于逆向運(yùn)算，不管是學(xué)習(xí)的速度還是做題的準(zhǔn)確性，正向運(yùn)算可能都要好于逆向運(yùn)算。然而正逆運(yùn)算是互通的，熟練掌握這兩種運(yùn)算對于增加解題方法，做到融會貫通都是很有幫助的。下面就來介紹用積分學(xué)中定積分的定義來解決微分學(xué)中極限的問題。我們一般在求解極限問題時，經(jīng)常用到的方法是：極限的定義、性質(zhì)，幾種重要極限、洛必達(dá)法則、泰勒公式等。但這些方法都局限于微分學(xué)中，沒有超越微分學(xué)的范圍，而我們知道微分與積分是互為逆運(yùn)算的，那么運(yùn)用積分學(xué)的方法來解決極限問題是否可行？答案是肯定的。用定積分的定義就是解決極限問題的又一方法。要用定積分的定義來求解極限問題，我們首先要弄清定積分的定義。定積分的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間[a,b]上有界，在[a,b]上任意插入分點(diǎn)：a=x0＜x1＜188。＜xn1＜xn=b,令Dxi=xixi1，又任取xi206。[xi1,xi], i=1,2,…=229。f(xi)Dxi，令Dx=m如果當(dāng)Dxi174。0時，和式in的極限存在，且此極限與[a,b]ax{Dxi}，i=11163。i163。nn的分法及xi的取法無關(guān)，則稱函數(shù)f(x)在[a,b]上是可積的
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