定積分基本計算公式(編輯修改稿)
2025-05-26 06:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 t 在區(qū)間 ],[ ?? 上變化時， )( tx ?? 的值在],[ ba 上變化，且 a?)( ?? 、 b?)( ?? ， 則 有 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)( . 證 設(shè) )( xF 是 )( xf 的一個原函數(shù)， ),()()( aFbFdxxfba ???( ) [ ( ) ] ,t F t???令dtdxdxdFt ??? ? )( )()( txf ? ?? ),()]([ ttf ? ???),()()()]([ ??????? ??? ?? dtttf)( t?? 是 )()]([ ttf ?? ?的一個原函數(shù) . a?)( ?? 、 b?)( ?? , )()( ?? ??? )]([)]([ ???? FF ??),()( aFbF ??( ) ( ) ( )baf x d x F b F a???)()( ?? ????.)()]([ dtttf? ?? ?? ??注意 當(dāng) ?? ? 時，換元公式仍成立 . 應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意 : （ 1） 求出 )()]([ ttf ?? ?的一個原函數(shù) )( t? 后，不必象計算不定積分那樣再要把 )( t? 變換成原變量 x 的函數(shù)，而只要把新變量 t 的上、下限分別代入 )( t? 然后相減就行了 . （ 2） 用 )( tx ?? 把變量 x 換成新變量 t 時，積分限也 相應(yīng)的改變 . 例 9 計算 .si ncos205? ? xdxx解 令 ,cos xt ?2??x ,0?? t 0?x ,1?? t? ?20 5 si ncos xdxx??? 01 5 dtt1066t?.61?,s in xdxdt ??例 10 計算 解 ? ???a adxxax0 22 )0(.1令 ,s in tax ?ax? ,2??? t 0?x ,0?? t,c o s td tadx ?原式 ????? 20 22 )s i n1(s i nc o s dttatata????20 coss i ncos dtttt? ? ?????????? 20 co ssi nsi nco s121 dttttt? ? 20c o ss i nln21221 ?????? ??證 ,)()()(00? ??? ? ??aaaa dxxfdxxfdxxf在 ? ?0 )(a dxxf 中令 tx ?? , 例 11 當(dāng) ) ( x f 在 ] , [ a a ? 上連續(xù)，且有 ① ) ( x f 為偶函數(shù)，則 ? ? ? ? a a a dx x f dx x f 0 ) ( 2 ) ( ； ② ) ( x f 為奇函數(shù)，則 ? ? ? a a dx x f 0 ) ( . ?? ?0 )(a dxxf ? ??? 0 )(a dttf ,)(0? ?a dttf① )( xf 為偶函數(shù)，則 ),()( tftf ??? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(。)(2 0?? a dttf② )( xf 為奇函數(shù)，則 ),()( tftf ???? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()( .0?奇函數(shù) 例 12 計算 解 .11 c o s21 1 22?? ?? ? dxx xxx原式 ?? ??? 1 1 22112 dxxx?? ???11 211c o s dxxxx偶
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