[工學(xué)]微積分基本公式(編輯修改稿)
2025-02-15 11:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ( 12 TsTs ?一、問題的提出 ).()()( 1221TsTsdttvTT ??? ? ).()( tvts ??其中啟示 ： 定積分是否可以表示為其被積函數(shù)的 原函數(shù) 在積分區(qū)間上的增量？ 17 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，并且設(shè) x 為],[ ba 上的一點(diǎn)， ? xa dxxf )(考察定積分 ?? xa dttf )(記 ( ) ( ) .xax f t dt?? ?積分上限函數(shù) 如果上限 x 在區(qū)間 ],[ ba 上任意變動，則對于每一個取定的 x 值，定積分有一個對應(yīng)值，所以它在 ],[ ba 上定義了一個函數(shù)，二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 18 O xya bx x)( xfy ?積分上限函數(shù)的幾何意義 ( ) ( ) .xax f t dt?? ?曲邊梯形的面積的代數(shù)和隨 x 的位置而變化。 19 a b xyo定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) dttfxxa??? )()( 在 ],[ ba 上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是 )()()( xfdttfdxdxxa??? ? ? )( bxa ?? 積分上限函數(shù)的性質(zhì) xx ??證 dttfxx xxa??????? )()()()( xxx ????????dttfdttf xaxxa ?? ?? ?? )()()(x?x20 ?dttfdttfdttf xaxxxxa ??? ??? ?? )()()(,)(? ??? xxx dttf由積分中值定理得 xf ???? )(? ],[ xxx ????xx ??? ?,0),(?fx ???? )(l i ml i m 00 ?fx xx ???? ????).()( xfx ?? ??a b xyo xx ??)(x?x21 推論 如果 )( tf 連續(xù)， )( x? 可導(dǎo)， （ 1） ( ) ( )( ) [ ( ) ] ( )axxaF x f t dtF x f t dt f x???? ? ? ???則（ 2） ()()( ) ( )( ) [ ( ) ] ( ( ) ) ( )xaxaF x f t dtF x f t dt f x x?????? ? ?????則22 如果 )( tf 連續(xù)， )( xa 、 )( xb 可導(dǎo)， 則 dttfxF xbxa??)()( )()(的導(dǎo)數(shù) )( xF ? 為 (3) ? ? ? ? )()()()( xaxafxbxbf ????證 ? ? dttfxF xa xb )()( 0 )( )(0? ???dttfxb?? )(0 )( ,)()(0 dttfxa??? ? ? ? )()()()()( xaxafxbxbfxF ??????? )( )( )()( xb xa dttfdxdxF23 例 1 已知 sin ( ln 1 )bxy t t d t? ? ??求 dydx解 ))( s i n1s i nlns i n( ????? xxxxxx c o s)1s i nlns i n( ????si n( l n 1 )xbdy t t dtdx???? ? ? ??????24 202( ) ( ) ( ) , ( )xx x t f t dt f t x?? ????設(shè) 且 連 續(xù) ， 求 （ ）例 2 解 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 0x x x f x x? ? ? ? ? ?202( ) ( ) ( )xx x t f t dt? ???解 20022( ) ( )xxx f t dt t f t dt??20022( ) ( )xxx f t dt t f t dt????2202( ) 2 ( ) ( ) 2xx x
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