福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列二(函數(shù)與導(dǎo)數(shù)典例剖析與資源推送)(編輯修改稿)
2025-04-05 06:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的關(guān)鍵在于，根據(jù)“對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)好基友”的基本解題策略，將欲證的不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式（），結(jié)合解決函數(shù)零點(diǎn)的設(shè)而不求的基本解題策略，將問題轉(zhuǎn)化為證明時(shí)，． 典型問題五：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題【例1】【2017年全國II卷文21】設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【解析】（1），令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）．當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，因此在單調(diào)遞減，而，故，所以；當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，而，故．當(dāng)時(shí)，，取，則，故；當(dāng)時(shí)，取，則；綜上，的取值范圍是．【評(píng)析】本題第（1）問主要考查函數(shù)的單調(diào)性，第（2）問是典型的不等式恒成立求解參數(shù)的問題．第（2）問解題的關(guān)鍵在于，從不等式恒成立這一問題中，分析發(fā)現(xiàn)應(yīng)對(duì)進(jìn)行分類討論，其分界點(diǎn)為，．且在解題過程中，巧妙的放縮以及經(jīng)典指數(shù)不等式的靈活運(yùn)用．【例2】【2020年新高考全國I卷21】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為 ,函數(shù)在點(diǎn) 處的切線方程為，即，所以切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,故所求三角形面積為．（2）解法一：因?yàn)?，所以，?設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,所以,所以成立.當(dāng)時(shí)， ，所以，所以,故存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以，因此1,所以即恒成立；當(dāng)時(shí)， 所以不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解法二：等價(jià)于,令,上述不等式等價(jià)于,顯然為單調(diào)增函數(shù)，又等價(jià)于，即，令，則，在上，單調(diào)遞增；在(1,+∞)上，單調(diào)遞減，所以,，所以a的取值范圍是.【評(píng)析】本題第（1）問考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，第（2）問考查不等式恒成立求解參數(shù)的問題．考查分類與整合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬較難試題. 第（2）問解法二中，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行同構(gòu)轉(zhuǎn)化，利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可將轉(zhuǎn)化為，令，上述不等式等價(jià)于，注意到的單調(diào)性，進(jìn)一步等價(jià)轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得，進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立的意義得到關(guān)于a的對(duì)數(shù)不等式，解得a的取值范圍.典型問題六：利用導(dǎo)數(shù)研究多變量等問題【例1】【2016年全國I卷理21】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【解析】（1）．若，則，只有一個(gè)零點(diǎn)．若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，取滿足且，則，故存在兩個(gè)零點(diǎn)．若，由得或．若，則，故當(dāng)時(shí)，因此在單調(diào)遞增．又
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