【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 +3＝t+t+1，解得t＝2；∴t的值為﹣﹣2或2；（3）①∵a、b、c均不為0，∴x1，x2，x3都不為0，∵直線(xiàn)y＝2bx+2c(bc≠0)與x軸交于點(diǎn)A(x1，0)，∴0＝2bx1+2c，解得x1＝﹣，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)解析式，消去y可得2bx+2c＝ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c＝0，∵直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交與B(x2，y2)，C(x3，y3)兩點(diǎn)，∴xx3是方程ax2+bx+c＝0的兩根，∴x2+x3＝﹣，x2x3＝，∴+＝＝＝﹣＝，∴x1，x2，x3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；②∵x2＝1，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3(﹣a﹣b)，且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P(，)，∴OP2＝()2+()2＝()2+()2＝2()2+2+1＝2(+)2+，令m＝，則﹣＜m＜且m≠0，且OP2＝2(m+)2+，∵2＞0，∴當(dāng)﹣＜m＜﹣時(shí)，OP2隨m的增大而減小，當(dāng)m＝﹣時(shí)，OP2有最大臨界值，當(dāng)m＝﹣時(shí)，OP2有最小臨界值，當(dāng)﹣＜m＜時(shí)，OP2隨m的增大而增大，當(dāng)m＝﹣時(shí)，OP2有最小臨界值，當(dāng)m＝時(shí)，OP2有最大臨界值，∴≤OP2且OP2≠1，∵P到原點(diǎn)的距離為非負(fù)數(shù)，∴≤OP＜且OP≠1．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新定義、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、分類(lèi)討論思想及轉(zhuǎn)化思想等知識(shí)．在(1)中注意利用和諧三數(shù)組的定義，在(2)中由和諧三數(shù)組得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，在(3)①中用a、b、c分別表示出x1，x2，x3是解題的關(guān)鍵，在(3)②中把OP2表示成二次函數(shù)的形式是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，特別是最后一問(wèn)，難度很大．7．綜合與探究如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC，DB，DC．(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時(shí)，求的值；(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；(2)作直線(xiàn)DE⊥軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G，作CF⊥DE，垂足為F，先求出S△OAC=6，再根據(jù)S△BCD=S△AOC，得到S△BCD =，然后求出BC的解析式為，則可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為，由此可得，再根據(jù)S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得關(guān)于m的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對(duì)角線(xiàn)進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖，以BD為邊時(shí)，有3種情況，由點(diǎn)D的坐標(biāo)可得點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為177。，然后分點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為兩種情況分別求解；以BD為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，有1種情況，此時(shí)N1點(diǎn)與N2點(diǎn)重合，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可求得BM1=N1D=4，繼而求得OM1= 8，由此即可求得答案.【詳解】(1)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)，B(4,0)，∴，解得，∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為；(2)作直線(xiàn)DE⊥軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G，作CF⊥DE，垂足為F，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)，∴OA=2，由，得，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6)，∴OC=6，∴S△OAC=，∵S△BCD=S△AOC，∴S△BCD =，設(shè)直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式為，由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得，∴直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式為，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為，∴，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)，∴OB=4，∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，∴S△BCD =，∴，解得(舍)，∴的值為3；(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對(duì)角線(xiàn)進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖，以BD為邊時(shí)，有3種情況，∵D點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為177。，當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí)，如點(diǎn)N2，此時(shí)，解得：(舍)，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí)，如點(diǎn)N3，N4，此時(shí)，解得：∴，∴，；以BD為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，有1種情況，此時(shí)N1點(diǎn)與N2點(diǎn)重合，∵，D(3，)，∴N1D=4，∴BM1=N1D=4，∴OM1=OB+BM1=8，∴M1(8，0)，綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.8．已知二次函數(shù)的圖象以A（﹣1，4）為頂點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)B（2，﹣5）（1）求該函數(shù)的關(guān)系式；（2）求該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將該函數(shù)圖象向右平移，當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，A、B兩點(diǎn)隨圖象移至A′、B′，求△O A′B′的面積．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式設(shè)該二次函數(shù)的解析式，然后將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，令x=0，可求得拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；令y=0，可求得拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由（2）可知：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)分別在原點(diǎn)兩側(cè)，由此可求出當(dāng)拋物線(xiàn)與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)平移到原點(diǎn)時(shí)，拋物線(xiàn)平移的單位，由此可求出A′、B′的坐標(biāo)．由于△OA′B′不規(guī)則，可用面積割補(bǔ)法求出△OA′B′的面積．【詳解】（1）設(shè)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）2+4，將B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴該函數(shù)的解析式為：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為：（﹣3，0），（1，0）；（3）設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為M、N（M在N的左側(cè)），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），當(dāng)函數(shù)圖象向右平移經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，M與O重合，因此拋物線(xiàn)向右平移了3個(gè)單位，故A39。（2，4），B39。（5，﹣5），∴S△OA′B′=（2+5）9﹣24﹣55=15．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、圖形面積的求法等知識(shí)．熟練掌握待定系數(shù)法、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解方法、不規(guī)則圖形的面積的求解方法等是解題的關(guān)鍵.9．課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少mm？小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問(wèn)題．（1）如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖1，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)又分別為多少mm？請(qǐng)你計(jì)算．（2）如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長(zhǎng)就不能確定，但這個(gè)矩形面積有最大值，求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)．【答案】（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm．【解析】【分析】(1)、設(shè)PQ=y（mm），則PN=2y（mm），AE=80y（mm），根據(jù)平行得出△APN和△ABC相似，根據(jù)線(xiàn)段的比值得出y的值，然后得出邊長(zhǎng)；(2)、根據(jù)第一題同樣的方法得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值.【詳解】(1)、設(shè)PQ=y（mm），則PN=2y（mm），AE=80y（mm）