【文章內(nèi)容簡介】 ；②∵x2＝1，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3(﹣a﹣b)，且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P(，)，∴OP2＝()2+()2＝()2+()2＝2()2+2+1＝2(+)2+，令m＝，則﹣＜m＜且m≠0，且OP2＝2(m+)2+，∵2＞0，∴當(dāng)﹣＜m＜﹣時，OP2隨m的增大而減小，當(dāng)m＝﹣時，OP2有最大臨界值，當(dāng)m＝﹣時，OP2有最小臨界值，當(dāng)﹣＜m＜時，OP2隨m的增大而增大，當(dāng)m＝﹣時，OP2有最小臨界值，當(dāng)m＝時，OP2有最大臨界值，∴≤OP2且OP2≠1，∵P到原點的距離為非負(fù)數(shù)，∴≤OP＜且OP≠1．【點睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新定義、函數(shù)圖象的交點、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想等知識．在(1)中注意利用和諧三數(shù)組的定義，在(2)中由和諧三數(shù)組得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，在(3)①中用a、b、c分別表示出x1，x2，x3是解題的關(guān)鍵，在(3)②中把OP2表示成二次函數(shù)的形式是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是最后一問，難度很大．7．如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，.（1）若直線經(jīng)過、兩點，求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求出點的坐標(biāo)；（3）設(shè)點為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點的坐標(biāo).【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為.（2）；（3）的坐標(biāo)為或或或.【解析】分析：（1）先把點A，C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線的對稱軸方程可得a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點的坐標(biāo)代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；（2）設(shè)直線BC與對稱軸x=1的交點為M，此時MA+MC的值最小．把x=1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點M坐標(biāo)；（3）設(shè)P（1，t），又因為B（3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（1+3）2+t2=4+t2，PC2=（1）2+（t3）2=t26t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點P的坐標(biāo)．詳解：（1）依題意得：，解得：，∴拋物線的解析式為.∵對稱軸為，且拋物線經(jīng)過，∴把、分別代入直線，得，解之得：，∴直線的解析式為.（2）直線與對稱軸的交點為，則此時的值最小，把代入直線得，∴.即當(dāng)點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標(biāo)為.（注：本題只求坐標(biāo)沒說要求證明為何此時的值最小，所以答案未證明的值最小的原因）.（3）設(shè)，又，∴，，①若點為直角頂點，則，即：解得：，②若點為直角頂點，則，即：解得：，③若點為直角頂點，則，即：解得：，.綜上所述的坐標(biāo)為或或或.點睛：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式、利用軸對稱性質(zhì)確定線段的最小長度、難度不是很大，是一道不錯的中考壓軸題．8．如圖，已知頂點為的拋物線與軸交于，兩點，直線過頂點和點．（1）求的值；（2）求函數(shù)的解析式；（3）拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）﹣3；（2）yx2﹣3；（3）M的坐標(biāo)為（3，6）或（，﹣2）．【解析】【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直線y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直線解析式得出點B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式即可；（3）分M在BC上方和下方兩種情況進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）將C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）將y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以點B的坐標(biāo)為（3，0），將（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：yx2﹣3；（3）存在，分以下兩種情況：①若M在B上方，設(shè)MC交x軸于點D，則∠ODC＝45176。+15176。＝60176。，∴OD＝OC?tan30176。，設(shè)DC為y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k，聯(lián)立兩個方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；②若M在B下方，設(shè)MC交x軸于點E，則∠OEC＝45176。15176。＝30176。，∴OE＝OC?tan60176。＝3，設(shè)EC為y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k，聯(lián)立兩個方程可得：，解得：，所以M2（，﹣2）．綜上所述M的坐標(biāo)為（3，6）或（，﹣2）．【點睛】此題是一道二次函數(shù)綜合題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識是解題關(guān)鍵．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），且經(jīng)過點（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點，M（m，n）為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點P的坐標(biāo)為（，﹣1）．（3）定點F的坐標(biāo)為（2，1）．【解析】分析：（1）由拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2，由拋物線過點（4，1），利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點A、B的坐標(biāo)，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值，根據(jù)點B的坐標(biāo)可得出點B′的坐標(biāo)，根據(jù)點A、B′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出點P的坐標(biāo)；（3）由點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可得出（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03=0，由m的任意性可得出關(guān)于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點F的坐標(biāo)．詳解：（1）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2．∵該拋物線經(jīng)過點（4，1），∴1=4a，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=（x2）2=x2x+1．（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：，解得：，∴點A的坐標(biāo)為（1，），點B的坐標(biāo)為（4，1）．作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值（如圖1所示）．∵點B（4，1），直線l為y=1，∴點B′的坐標(biāo)為（4，3）．設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（1，）、B′（4，3）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AB′的解