中考數(shù)學(xué)備考之一元二次方程組壓軸突破訓(xùn)練∶培優(yōu)-易錯(cuò)-難題篇含詳細(xì)答案(編輯修改稿)
2025-03-31 07:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 用水、保護(hù)水資源，本市制定了一套節(jié)約用水的管理措施，其中規(guī)定每月用水量超過（噸）時(shí)，（元）與每月用水量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系.請(qǐng)你解答下列問題：6．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得x1x2－x12－x22≥0成立？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)當(dāng)k≤時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(2)不存在實(shí)數(shù)k，使得x1x2－x12－x22≥0成立【解析】試題分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式列出不等式，解之即可；（2）本題利用韋達(dá)定理解決.試題解析：（1） ，解得（2）由 ，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：代入得：，化簡得：，得.由于的取值范圍為，故不存在k使．7．設(shè)m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根xx2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）令T=，求T的取值范圍．【答案】（1）m=；（2）0＜T≤4且T≠2．【解析】【分析】由方程方程由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根求得﹣1≤m＜1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=4﹣2m，x1?x2=m2﹣3m+3；（1）把x12+x22=6化為（x1+x2）2﹣2x1x2=6，代入解方程求得m的值，根據(jù)﹣1≤m＜1對(duì)方程的解進(jìn)行取舍；（2）把T化簡為2﹣2m，結(jié)合﹣1≤m＜1且m≠0即可求T得取值范圍.【詳解】∵方程由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的實(shí)數(shù)，∴﹣1≤m＜1∴x1+x2=﹣2（m﹣2）=4﹣2m，x1?x2=m2﹣3m+3；（1）∵x12+x22=6，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6，即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）=6整理，得m2﹣5m+2=0解得m=；∵﹣1≤m＜1所以m=．（2）T=+=====2﹣2m．∵﹣1≤m＜1且m≠0所以0＜2﹣2m≤4且m≠0即0＜T≤4且T≠2．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．8．已知、是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍。(2)已知等腰的一邊長為7，若、恰好是另外兩邊長，求這個(gè)三角形的周長.【答案】（1）m2。 (2)17【解析】試題分析：（1）由根的判別式即可得；（2）由題意得出方程的另一根為7，將x=7代入求出x的值，再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系判斷即可得．試題解析：解：（1）由題意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=8m－16＞0，解得：m＞2；（2）由題意，∵x1≠x2時(shí)，∴只能取x1=7或x2=7，即7是方程的一個(gè)根，將x=7代入得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=4或m=10．當(dāng)m=4時(shí)，方程的另一個(gè)根為3，此時(shí)三角形三邊分別為3，周長為17；當(dāng)m=10時(shí)，方程的另一個(gè)根為15，此時(shí)不能構(gòu)成三角形；故三角形的周長為17．點(diǎn)睛：本題主要考查判別式、三角形三邊之間的關(guān)系，熟練掌握韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．9．已知關(guān)于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)如果m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值．【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【詳解】（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．∴m＜3；
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