【文章內(nèi)容簡介】 4）在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn)M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】試題分析：（1）利用配方法拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）聯(lián)立兩解析式，可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．根據(jù)S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入數(shù)值計(jì)算即可求解；（4）過P作OA的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，由于兩平行線之間的距離相等，根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，可得△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，將P（2，4）代入，求出直線PM的解析式為y=x+3．再與拋物線的解析式聯(lián)立，得到方程組，解方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．試題解析：（1）由題意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；（2）聯(lián)立兩解析式可得：，解得：，或．故可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）；（3）如圖，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=24+（+4）（﹣2）﹣=4+﹣=；（4）過P作OA的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，則△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，∵P的坐標(biāo)為（2，4），∴4=2+b，解得b=3，∴直線PM的解析式為y=x+3．由，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題8．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是該拋物線對稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長的最小值；（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（ E與A、D不重合），過E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S．①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由．【答案】（1）.（2）.（3）①.②當(dāng)m=﹣2時(shí)，S最大，最大值為1，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點(diǎn)，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可.（2）根據(jù)BC是定值，得到當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長最小，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長即可.（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，表示出E（m，2m+6），F(xiàn)（m，），最后表示出EF的長，從而表示出S于m的函數(shù)關(guān)系，然后求二次函數(shù)的最值即可.【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（－3，0），B（1，0），∴可設(shè)拋物線交點(diǎn)式為.又∵拋物線經(jīng)過C（0，3），∴.∴拋物線的解析式為：，即.（2）∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，且BC是定值.∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長最小.∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對稱軸I對稱，∴連接AC交l于點(diǎn)P，即點(diǎn)P為所求的點(diǎn).∵AP=BP，∴△PBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=.∴△PBC的周長最小是：.（3）①∵拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4），A（﹣3，0），∴直線AD的解析式為y=2x+6∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，∴E（m，2m+6），F(xiàn)（m，）∴.∴.∴S與m的函數(shù)關(guān)系式為.②，∴當(dāng)m=﹣2時(shí)，S最大，最大值為1，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，2）.9．如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx﹣1過A、B兩點(diǎn)，并與過A點(diǎn)的直線y=﹣x﹣1交于點(diǎn)C．（1）求拋物線解析式及對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形ACPO的周長最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）點(diǎn)M為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線AC的垂線，垂足為N．問：是否存在這樣的點(diǎn)N，使以點(diǎn)M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為：y=，拋物線對稱軸為直線x=1；（2）存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣）；（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣3）或（2，﹣1）【解析】分析：（1）由待定系數(shù)法求解即可；（2）將四邊形周長最小轉(zhuǎn)化為PC+PO最小即可；（3）利用相似三角形對應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行分類討論，構(gòu)造圖形．設(shè)出點(diǎn)N坐標(biāo)，表示點(diǎn)M坐標(biāo)代入拋物線解析式即可．詳解：（1）把A（2，0），B（4，0）代入拋物線y=ax2+bx1，得 解得 ∴拋物線解析式為：y=x2?x?1∴拋物線對稱軸為直線x=＝1（2）存在使四邊形ACPO的周長最小，只需PC+PO最小∴取點(diǎn)C（0，1）關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)C′（2，1），連C′O與直線x=1的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)C′、O直線解析式為：y=kx∴k=∴y=x則P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）（3）當(dāng)△AOC∽△MNC時(shí)，如圖，延長MN交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥y軸于點(diǎn)E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90176?！唷螩DN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵M(jìn)N⊥AC∴M、D關(guān)于AN對稱，則N為DM中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a，a1）由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，a?1）∵N為DM中點(diǎn)∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（2a，a?1）把M代入y=x2?x?1，解得a=4則N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）當(dāng)△AOC∽△CNM時(shí)，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB則點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)C′即為點(diǎn)N由（2）N（2，1）∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）或（2，1）點(diǎn)睛：本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了待定系數(shù)、兩點(diǎn)之間線段最短的數(shù)學(xué)模型構(gòu)造、三角形相似．解答時(shí)，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想．10．如圖，拋物線y=﹣（x﹣1）2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，已知A（﹣1，0）．（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；（2）判斷△CDB的形狀并說明理由；（3）將△COB沿x軸向右平移t個(gè)單位長度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)為直角三角形；(Ⅲ).【解析】【分析】（1）首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后進(jìn)一步確定點(diǎn)B，C的坐標(biāo)．（2）分別求出△CDB三邊的長度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形．（3）△COB沿x軸向右平移過程中，分兩個(gè)階段：①當(dāng)0＜t≤時(shí)，如答圖2所示，此時(shí)重疊部分為一個(gè)四邊形；