【文章內容簡介】 ；（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，求點N的坐標；（3）當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“衍生直線”上，是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2，）；（1,0）；（2）N點的坐標為（0，），（0，）；（3）E（1，）、F（0，）或E（1，），F（4，）【解析】【分析】（1）由拋物線的“衍生直線”知道二次函數解析式的a即可；（2）過A作AD⊥y軸于點D，則可知AN=AC，結合A點坐標，則可求出ON的長，可求出N點的坐標；（3）分別討論當AC為平行四邊形的邊時，當AC為平行四邊形的對角線時，求出滿足條件的E、F坐標即可【詳解】（1）∵，a=，則拋物線的“衍生直線”的解析式為；聯立兩解析式求交點，解得或，∴A（2，），B（1,0）；（2）如圖1，過A作AD⊥y軸于點D，在中，令y=0可求得x= 3或x=1，∴C（3,0），且A（2，），∴AC=由翻折的性質可知AN=AC=，∵△AMN為該拋物線的“衍生三角形”，∴N在y軸上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=，∵OD=，∴ON=或ON=，∴N點的坐標為（0，），（0，）；（3）①當AC為平行四邊形的邊時，如圖2 ，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，則有AC∥EF且AC=EF，∴∠ ACK=∠ EFH，在△ ACK和△ EFH中∴△ ACK≌△ EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=，∵拋物線的對稱軸為x=1，∴ F點的橫坐標為0或2，∵點F在直線AB上，∴當F點的橫坐標為0時，則F（0，），此時點E在直線AB下方，∴E到y軸的距離為EHOF==，即E的縱坐標為，∴ E（1，）；當F點的橫坐標為2時，則F與A重合，不合題意，舍去；②當AC為平行四邊形的對角線時，∵ C（3,0），且A（2，），∴線段AC的中點坐標為（， ），設E（1，t），F（x，y），則x1=2（），y+t=，∴x= 4，y=t，t=（4）+，解得t=，∴E（1，），F（4，）；綜上可知存在滿足條件的點F，此時E（1，）、（0，）或E（1，），F（4，）【點睛】本題是對二次函數的綜合知識考查，熟練掌握二次函數，幾何圖形及輔助線方法是解決本題的關鍵，屬于壓軸題8．在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．（1）請直接寫出點A，C，D的坐標；（2）如圖（1），在x軸上找一點E，使得△CDE的周長最小，求點E的坐標；（3）如圖（2），F為直線AC上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得△AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4）；（2）E（，0）；（3）P（2，﹣5）或（1，0）．【解析】試題分析：（1）令拋物線解析式中y=0，解關于x的一元二次方程即可得出點A、B的坐標，再令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出點C坐標，利用配方法將拋物線解析式配方即可找出頂點D的坐標；（2）作點C關于x軸對稱的點C′，連接C′D交x軸于點E，此時△CDE的周長最小，由點C的坐標可找出點C′的坐標，根據點C′、D的坐標利用待定系數法即可求出直線C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出點E的坐標；（3）根據點A、C的坐標利用待定系數法求出直線AC的解析式，假設存在，設點F（m，m+3），分∠PAF=90176。、∠AFP=90176。和∠APF=90176。三種情況考慮．根據等腰直角三角形的性質結合點A、F點的坐標找出點P的坐標，將其代入拋物線解析式中即可得出關于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入點P坐標中即可得出結論．試題解析：（1）當中y=0時，有，解得：=﹣3，=1，∵A在B的左側，∴A（﹣3，0），B（1，0）．當中x=0時，則y=3，∴C（0，3）．∵=，∴頂點D（﹣1，4）．（2）作點C關于x軸對稱的點C′，連接C′D交x軸于點E，此時△CDE的周長最小，如圖1所示．∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．設直線C′D的解析式為y=kx+b，則有：，解得：，∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3，當y=﹣7x﹣3中y=0時，x=，∴當△CDE的周長最小，點E的坐標為（，0）．（3）設直線AC的解析式為y=ax+c，則有：，解得：，∴直線AC的解析式為y=x+3．假設存在，設點F（m，m+3），△AFP為等腰直角三角形分三種情況（如圖2所示）：①當∠PAF=90176。時，P（m，﹣m﹣3），∵點P在拋物線上，∴，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此時點P的坐標為（2，﹣5）；②當∠AFP=90176。時，P（2m+3，0）∵點P在拋物線上，∴，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此時點P的坐標為（1，0）；③當∠APF=90176。時，P（m，0），∵點P在拋物線上，∴，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此時點P的坐標為（1，0）．綜上可知：在拋物線上存在點P，使得△AFP為等腰直角三角形，點P的坐標為（2，﹣5）或（1，0）．考點：二次函數綜合題；最值問題；存在型；分類討論；綜合題．9．在平面直角坐標系中，拋物線過點，與y軸交于點C，連接AC，BC，將沿BC所在的直線翻折，得到，連接OD．（1）用含a的代數式表示點C的坐標．（2）如圖1，若點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方，求拋物線的解析式．（3）設的面積為S1，的面積為S2，若，求a的值．【答案】（1）；(2) 拋物線的表達式為：；(3) 或【解析】【分析】（1）根據待定系數法，得到拋物線的表達式為：，即可求解；（2）根據相似三角形的判定證明，再根據相似三角形的性質得到，即可求解；（3）連接OD交BC于點H，過點H、D分別作x軸的垂線交于點N、M，由三角形的面積公式得到，，而，即可求解．【詳解】（1）拋物線的表達式為：，即，則點；（2）過點B作y軸的平行線BQ，過點D作x軸的平行線交y軸于點P、交BQ于點Q，∵，∴，設：，點，∴，∴，其中：，，，將以上數值代入比例式并解得：，∵，故，故拋物線的表達式為：；（3）如圖2，當點C在x軸上方時，連接OD交BC于點H，則，過點H、D分別作x軸的垂線交于點N、M，設：，，而，則，∴，則，則，則，則，則，解得：（舍去負值），解得：（不合題意值已舍去），故：．當點C在x軸下方時，同理可得：；故：或【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用、一次函數、三角形相似、圖形的面積計算，其中（3）用幾何方法得出：，是本題解題的關鍵．10．已知函數（為常數）（1）當，①點在此函數圖象上，求的值；②求此函數的最大值．（2）已知線段的兩個端點坐標分別為，當此函數的圖象與線段只有