20xx-20xx中考數(shù)學專題復(fù)習二次函數(shù)的綜合題及答案(編輯修改稿)
2025-03-30 22:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 圖1，D為拋物線對稱軸上一動點，求D運動到什么位置時△DAC的周長最??；（3）如圖2，點E在第一象限拋物線上，AE與BC交于點F，若AF：FE＝2：1，求E點坐標；（4）點M、N同時從B點出發(fā)，分別沿BA、BC方向運動，它們的運動速度都是1個單位/秒，當點M運動到點A時，點N停止運動，則當點N停止運動后，在x軸上是否存在點P，使得△PBN是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）點P的坐標P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．【解析】【分析】（1）直接待定系數(shù)法代入求解即可 （2）找到D點在對稱軸時是△DAC周長最小的點，先求出直線BC，然后D點橫坐標是1，直接代入直線BC求出縱坐標即可 （3）作EH∥AB交BC于H，則∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，易證△ABF∽△EHF，得,得EH=2，設(shè)E（x，），則H（x﹣2，），yE＝y(tǒng)H，解出方程x＝1或x＝2，得到E點坐標 （4）△PBN是等腰三角形，分成三種情況，①BP＝BC時，利用等腰三角性質(zhì)直接得到P1（﹣1，0）或P2（7，0），②當NB＝NP時，作NH⊥x軸，易得△NHB∽△COB，利用比例式得到NH、 BH從而得到 PH＝BH，BP，進而得到OP，即得到P點坐標，③當PN＝PB時，取NB中點K，作KP⊥BN，交x軸于點P，易得△NOB∽△PKB，利用比例式求出PB，進而得到OP，即求出P點坐標【詳解】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+4，得 解得a＝，b＝，∴拋物線的解析式；（2）∴拋物線對稱軸為直線x＝1，∴D的橫坐標為1，由（1）可得C（0，4），∵B（3，0），∴直線BC：∵DA＝DB，△DAC的周長＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD，連接BC，與對稱軸交于點D，此時CD+BD最小，∵AC為定值，∴此時△DAC的周長，當x＝1時，y＝﹣1+4＝，∴D（1，）；（3）作EH∥AB交BC于H，則∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，∴△ABF∽△EHF，∵AF：FE＝2：1，∴，∵AB＝4，∴EH＝2，設(shè)E（x，），則H（x﹣2，）∵EH∥AB，∴yE＝y(tǒng)H，∴=解得x＝1或x＝2，y＝或4，∴E（1，）或（2，4）；（4）∵A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，4）∴AB＝4，OC＝4，點M運動到點A時，BM＝AB＝4，∴BN＝4，∵△PBN是等腰三角形，①BP＝BC時，若P在點B左側(cè)，OP＝PB﹣OB＝4﹣3＝1，∴P1（﹣1，0），若P在點B右側(cè)，OP＝OB+BP＝4+3＝7，∴P2（7，0）；②當NB＝NP時，作NH⊥x軸，△NHB∽△COB，∴∴NH＝OC＝＝， BH＝BC＝，∴PH＝BH＝，BP＝，∴OP＝BP﹣OB＝，∴P3（﹣，0）；③當PN＝PB時，取NB中點K，作KP⊥BN，交x軸于點P，∴△NOB∽△PKB，∴∴PB＝，∴OP＝OB﹣PB＝3﹣＝P4（，0）綜上，當△PBN是等腰三角形時，點P的坐標P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．【點睛】本題考查二次函數(shù)、平行線性質(zhì)、相似三角形、等腰三角形性質(zhì)及最短距離等知識點，綜合程度比較高，對綜合能力要求比較高. 第一問比較簡單，考查待定系數(shù)法；第二問最短距離，找到D點是解題關(guān)鍵；第三問證明出相似是關(guān)鍵；第四問能夠分情況討論是解題關(guān)鍵9．如圖1，拋物線經(jīng)過點、兩點，是其頂點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．（1）求拋物線的函數(shù)解析式及頂點的坐標；（2）如圖2，直線經(jīng)過點，是拋物線上的一點，設(shè)點的橫坐標為（），連接并延長，交拋物線于點，交直線l于點，求的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、在直線下方的拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1），頂點為：；（2）的值為﹣3；（3）存在，點的橫坐標為：或．【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法將、代入中，即可求得和的值和拋物線解析式，再利用配方法將拋物線解析式化為頂點式即可求得頂點的坐標；（2）根據(jù)拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，可求得新拋物線的解析式，再將代入中，即可求得直線解析式，根據(jù)對稱性可得點坐標，過點作軸交直線于，過作軸交直線于，由，即可得，再證明∽，即可得，建立方程求解即可；（3）連接，易證是，可得，在軸下方過點作，在上截取，過點作軸于，連接交拋物線于點，點即為所求的點；通過建立方程組求解即可．【詳解】（1）將、代入中，得解得∴拋物線解析式為：，配方，得：，∴頂點為：；（2）∵拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．∴新拋物線的頂點為：，二次項系數(shù)為：∴新拋物線的解析式為：將代入中，得，解得，∴直線解析式為，∵，∴直線的解析式為，由拋物線與拋物線關(guān)于原點對稱，可得點、V關(guān)于原點對稱，∴如圖2，過點作軸交直線于，過作軸交直線于，則，∴，∵∴，∵軸，軸∴∴∽∴，即∴解得：，∵∴的值為：﹣3；（3）由（2）知：，∴，，如圖3，連接，在中，∵，∴∴是直角三角形，∴，∵∴，在軸下方過點作，在上截取，過點作軸于，連接交拋物線于點，點即為所求的點；∵，∴∵∴∴，設(shè)直線解析式為，則，解得∴直線解析式為，解方程組，得，∴點的橫坐標為：或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形判定和性質(zhì)，直線與拋物線交點，解直角三角形等知識點；屬于中考壓軸題型，綜合性強，難度較大．10．（12分）如圖所示是隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12 m，寬是4 m．按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用y=x2+bx+c表示，且拋物線上的點C到OB的水平距離為3 m，到地面OA的距離為m. （1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計算出拱頂D到地面OA的距離；（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車道，那么這輛貨車能否安全通過？（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？【答案】（1）拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x2+2x+4，拱頂D到地面OA的距離為10 m；(2)兩排燈的水平距離最小是4 m．【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)點B和點C在函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法求出b和c的值，從而得出函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求出頂點坐標，得出最大值；根據(jù)題意得出車最外側(cè)與地面OA的交點為（2,0）（或（10,0）），然后求出當x=2或x=10時y的值，與6進行比較
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