【文章內(nèi)容簡介】 1, ∴ n2177。 2 5 n+ 5 =n2 1 . 化簡 , 得 2 5 n= 6 戒 2 5 n= 6, 解得 n= 177。3 55. ∴ 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為3 55,2 戒 3 55,2 . 綜上所述 , 點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 54,32戒3 55,2 戒 3 55,2 . 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 【分層分析】 (1) 用待定系數(shù)法 , 將點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可得出 a 值 , 設(shè)直線 AB 的表達(dá)式為 y=kx+b , 代入點(diǎn) A , B 的坐標(biāo) , 得一個(gè)關(guān)于 k 和 b 的二元一次方程組 , 解之即可得直線 AB 的表達(dá)式 . (2) 從直線 AB 的表達(dá)式 , 結(jié)合題意 , 得 E (0, 1), F 0, 74, M 12,0 , 根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì) , 得OP=43FA=43 (12 0 ) 2+ ( 2 +74) 2= 53, 設(shè)點(diǎn) P ( t , 2 t 1), 根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求得 t 值 , 再由三角形面積公式求得 △ POE 的面積 . (3) 由 (2) 知直線 AB 的表達(dá)式為 : y= 2 x 1, E (0, 1), 設(shè) Q ( m , 2 m 1), N 1 ( n ,0), 從而得 N ( m , 1), 根據(jù)翻折的性質(zhì)知NN 1 的中點(diǎn)坐標(biāo)為?? + ??2, 1 + 02且在直線 AB 上 , 將此中 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線 AB 的表達(dá)式可得 n= 12 m , 即 N 1 12 m ,0 , 再根據(jù)翻折的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式 , 得 m2= 12 m2+ 1, 解之即可得點(diǎn) Q 的坐標(biāo) . 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 1 [2022麗水 ] 如圖 Z85,拋物線 y=ax2+bx(a≠0)過點(diǎn) E(10,0),矩形 ABCD的邊 AB在線段 OE上 (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左邊 ),點(diǎn) C,D在拋物線上 . 設(shè) A(t,0),當(dāng) t=2時(shí) ,AD=4. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式 . (2)當(dāng) t為何值時(shí) ,矩形 ABCD的周長有最大值 ?最大值是多少 ? (3)保持 t=2時(shí)的矩形 ABCD丌動(dòng) ,向右平秱拋物線 . 當(dāng)平秱后的拋物線不矩 形的邊有兩個(gè)交點(diǎn) G,H,且直線 GH平分矩形的面積時(shí) ,求拋物線平秱的距離 . 圖 Z8 5 解 :(1 ) 設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y= ax ( x 10) . ∵ 當(dāng) t= 2 時(shí) , AD= 4, ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)是 (2 , 4) . ∴ 4 =a 2 (2 10) . 解得 a= 14. ∴ 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y= 14x 2 +52x. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 1 [2022麗水 ] 如圖 Z85,拋物線 y=ax2+bx(a≠0)過點(diǎn) E(10,0),矩形 ABCD的邊 AB在線段 OE上 (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左邊 ),點(diǎn) C,D在拋物線上 . 設(shè) A(t,0),當(dāng) t=2時(shí) ,AD=4. (2)當(dāng) t為何值時(shí) ,矩形 ABCD的周長有最大值 ?最大值是多少 ? 圖 Z8 5 (2) 由拋物線的對稱性 , 得 BE=OA=t ,∴ AB= 10 2 t. 當(dāng) x=t 時(shí) , y= 14t2+52t. ∴ 矩形 ABC D 的周長 = 2( AB+AD ) = 2 ( 10 2 ?? ) + ( 14??2+52?? ) = 12t2+t+ 20 = 12( t 1)2+412. ∵ 12 0,0 1 10, ∴ 當(dāng) t= 1 時(shí) , 矩形 ABC D 的周長有最大值 , 最大值是412. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 1 [2022麗水 ] 如圖 Z85,拋物線 y=ax2+bx(a≠0)過點(diǎn) E(10,0),矩形 ABCD的邊 AB在線段 OE上 (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左邊 ),點(diǎn) C,D在拋物線上 . 設(shè) A(t,0),當(dāng) t=2時(shí) ,AD=4. (3)保持 t=2時(shí)的矩形 ABCD丌動(dòng) ,向右平秱拋物線 . 當(dāng)平秱后的拋物線不矩 形的邊有兩個(gè)交點(diǎn) G,H,且直線 GH平分矩形的面積時(shí) ,求拋物線平秱的距離 . 圖 Z8 5 (3) 連接 DB , 取 DB 的中點(diǎn) , 記為 P , 則點(diǎn) P 為矩形 ABCD 的中心 . 由矩形的對稱性知 , 平分矩形 ABC D 面積的直線必過點(diǎn) P. 連接 OD , 取 OD 的中點(diǎn) Q , 連接 PQ. 當(dāng)t= 2 時(shí) , 點(diǎn) A , B , C , D 的坐標(biāo)分別為 (2 ,0),( 8,0 ),(8 ,4 ),(2 ,4) . 結(jié)合圖象知 , 當(dāng)點(diǎn) G , H 分別落在線段 AB , DC 上且直線 GH 過點(diǎn) P 時(shí) , 直線 GH平分矩形 ABC D 的面積 . ∵ AB ∥ CD ,∴ 線段 OD 平秱后得到線段 GH , 線段 OD 的中點(diǎn) Q 平秱后的對應(yīng)點(diǎn)是 P. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) ∴ 拋物線的平秱距離 =OG= DH=QP. 在 △ OBD 中 , PQ 是中位線 ,∴ PQ=12OB= 4 . ∴ 拋物線向右平秱的距離是 4 . 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 2 [2022 長沙 ] 如圖 Z8 6, 直線 l : y= x+ 1 不 x 軸 , y 軸分別交于 A , B 兩點(diǎn) , 點(diǎn) P , Q 是直線 l 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且點(diǎn) P 在第二象限 , 點(diǎn) Q 在第四象限 ,∠ POQ = 135176。 . (1) 求 △ AOB 的周長 . (2) 設(shè) AQ=t 0, 試用含 t 的代數(shù)式表示點(diǎn) P 的坐標(biāo) . (3) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P , Q 在直線 l 上運(yùn)動(dòng)到使 △ AOQ 不 △ BPO 的周長相等時(shí) , 記 tan ∠ AOQ= m , 若過點(diǎn) A 的二次函數(shù)y= ax2+bx +c 同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件 : ① 6 a+ 3 b+ 2 c= 0。 ② 當(dāng) m ≤ x ≤ m+ 2 時(shí) , 函數(shù) y 的最大值等于2??, 求二次項(xiàng)系數(shù) a 的值 . 圖 Z8 6 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 解 :(1 ) 在 y= x+ 1 中 , 令 x= 0, 得 y= 1 . ∴ B (0 ,1) . 令 y= 0, 得 x= 1, ∴ A (1 ,0) .∴ OA= OB= 1, AB= 2 . ∴ △ AOB 的周長為 2 + 2 . 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 2 [2022 長沙 ] 如圖 Z8 6, 直線 l : y= x+ 1 不 x 軸 , y 軸分別交于 A , B 兩點(diǎn) , 點(diǎn) P , Q 是直線 l 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且點(diǎn) P 在第二象限 , 點(diǎn) Q 在第四象限 ,∠ POQ = 135176。 . (2) 設(shè) AQ=t 0, 試用含 t 的代數(shù)式表示點(diǎn) P 的坐標(biāo) . 圖 Z8 6 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) (2) ∵ OA=OB ,∴ ∠ ABO= ∠ BA O= 45176。 . ∴ ∠ PBO = ∠ Q AO= 135176。 . 令 ∠ POB =x , 則 ∠ O PB = ∠ AO Q= 13 5176。 x 90176。 = 45176。 x. ∴ △ PBO ∽△ O AQ. ∴?? ???? ??=?? ???? ??.∴ PB=?? ?? ?? ???? ??=1??. 過點(diǎn) P 作 PH ⊥ OB 交 OB 的延長線于點(diǎn) H , 則 △ PHB 為等腰直角三角形 . ∵ PB=1??,∴ PH=HB= 22 ??. ∴ P 22 ??,1 + 22 ??. 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) 拓展 2 [2022 長沙 ] 如圖 Z8 6, 直線 l : y= x+ 1 不 x 軸 , y 軸分別交于 A , B 兩點(diǎn) , 點(diǎn) P , Q 是直線 l 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且點(diǎn) P 在第二象限 , 點(diǎn) Q 在第四象限 ,∠ POQ = 135176。 . (3) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P , Q 在直線 l 上運(yùn)動(dòng)到使 △ AOQ 不 △ BPO 的周長相等時(shí) , 記 tan ∠ AOQ= m , 若過點(diǎn) A 的二次函數(shù)y= ax2+bx +c 同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件 : ① 6 a+ 3 b+ 2 c= 0。 ② 當(dāng) m ≤ x ≤ m+ 2 時(shí) , 函數(shù) y 的最大值等于2??, 求二次項(xiàng)系數(shù) a 的值 . 圖 Z8 6 題型二 與線段、周長、面積有關(guān) (3) 由 (2) 可知 , △ PBO ∽△ O AQ. 若兩三角形的周長相等 , 則它們?nèi)?. ∴ OB=A Q .∴ t= 1 . 同 (2) 可得 Q 1 + 22t , 22t ,∴ m= 2 1 . ∵ 拋物線經(jīng)過點(diǎn) A ,∴ a+b +c= 0 . 又 6 a+ 3 b+ 2 c= 0, ∴ b= 4 a , c= 3 a , 對稱軸為 x= 2, 2 1 ≤ x ≤ 2 + 1 . ① 若 a 0, 則拋物線的開口向上 , x= 2 1 時(shí) , 取得最大值2??= 2 2 + 2, 即 ( 2 1)2a+ ( 2 1) b+c= 2 2 + 2, a=11 + 8 27. ② 若 a 0, 則拋物線的開口向下 . x= 2 時(shí) , 取得最大值 2 2 + 2 . 即 4 a+ 2 b+c= 2 2 + 2, a= 2 2 2 . 綜上所述 , a 的值為11 + 8 27戒 2 2 2 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn) C(0,3). (1)求拋物線的解析式 ,幵求點(diǎn) A的坐標(biāo) . 【分層分析】 把 B(3,0),C(0,3)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式 y=x2+bx+c,得到關(guān)于 b,c的方程組 ,求出b,c,得到解析式 ,令 y=0,即可求得點(diǎn) A的坐標(biāo) . 圖 Z8 7① 解 :(1 ) 由題意 , 得 3 2 + 3 ?? + ?? = 0 ,?? = 3 . 解得 ?? = 4 ,?? = 3 . ∴ 拋物線的解析式為 y=x 2 4 x+ 3 . 令 y= 0, 得 x 2 4 x+ 3 = 0 . 解得 x 1 = 1, x 2 = 3 .∴ A (1 ,0) . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn) C(0,3). (2)如圖② ,點(diǎn) P在 x軸下方的拋物線上 ,過點(diǎn) P的直線 y=x+m不直線 BC交于點(diǎn) E,不 y軸交于點(diǎn) F,求證 :△CFE是等腰直角三角形 . 【分層分析】 求出 ∠ OCB和 ∠ CFE的度數(shù) ,即可證明 △CFE是等腰直角三角形 . 圖 Z8 7② (2) 證明 : 由題意 , 得 O B=O C. ∴ ∠ O CB= 45176。 . ∵ F , E 在直線 y=x +m 上 ,∴ ∠ CFE= 4 5176。 ,∠ CEF = 90176。 . ∴ 在 △ CFE 中 ,∠ BCF = ∠ CFE= 45176。 . ∴ △ CFE 為等腰直角三角形 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn)C(0,3). (3)在第 (2)問的條件下 ,求 PE+EF的最大值 . 【分層分析】 方法 1:(代數(shù)法 ) 過 P作 PG∥ CF,交 CB于點(diǎn) G,易知 △CFE和 △GPE均為等腰直角三角形 ,設(shè) xP=t,線段 EF,PE的長用含 t的代數(shù)式表示 ,利用二次函數(shù)求最值 . 方法 2:(幾何法 ) 以 BC為對稱軸將 △FCE對稱得到 △F39。CE,作 PH⊥ CF39。于 H,PE+EF=PF39。=PH=(yCyP)=(3yP),當(dāng) yP最小時(shí) ,PE+EF取最大值 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (3 ) 方法 1( 代數(shù)法 ): 如圖 ① , 過 P 作 PG ∥ CF , 交 CB 于點(diǎn) G. ∵ △ CF E 為等腰