【正文】 33.∴ 拋物線的解析式為 y=2 33x28 33x+ 2 3 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 1 [2022(x3)(a0)不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,拋物線上另有一點(diǎn) C在 x軸下方 ,且使 △OCA∽ △OBC. (1)求線段 OC的長(zhǎng)度 . (2)設(shè)直線 BC不 y軸交于點(diǎn) M,點(diǎn) C是 BM的中點(diǎn)時(shí) ,求直線 BM和拋物線的解析式 . (3)在 (2)的條件下 ,直線 BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn) P,使得四邊形 ABPC的面 積最大 ?若存在 ,請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。 鹽城 ] 如圖 Z8 1 ① , 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 , 拋物線 y= ax2+bx+ 3 經(jīng)過點(diǎn) A ( 1,0 ), B (3 ,0) 兩點(diǎn) ,且不 y 軸交于點(diǎn) C. (2) 如圖 ② , 用寬為 4 個(gè)單位長(zhǎng)度的直尺垂直于 x 軸 , 幵沿 x 軸左右平秱 , 直尺的左右兩邊所在的直線不拋 物線相交于 P , Q 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) P 在點(diǎn) Q 的左側(cè) ), 連接 PQ , 在線段 PQ 上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn) D , 連接 DP , DQ. ① 若點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 12, 求 △ D PQ 面積的最大值 , 幵求此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo) . ② 直尺在平秱過程中 , △ D PQ 的面積是否有最大值 ? 若有 , 求出面積的最大值 。專題（八） 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 題型解讀 在中考的命題中 ,二次函數(shù)是最后兩道壓軸題中的一道 ,如 2022年長(zhǎng)沙、常德、湘潭、郴州第 25題都是以二次函數(shù)為基礎(chǔ)的不幾何圖形息息相關(guān)的綜合題 ,因此 ,做好二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題是整個(gè)試卷分?jǐn)?shù)提高的基礎(chǔ) ,而這類試題牽涉的知識(shí)面廣 ,考查的知識(shí)點(diǎn)多 ,變化性強(qiáng) . 不二次函數(shù)相關(guān)的考題我們分類進(jìn)行探究 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 例 1 [2022 若沒有 , 請(qǐng)說明理由 . 圖 Z8 1 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 (2 ) ① 設(shè)直線 PQ 的表達(dá)式為 y =kx+ b1. 把 P 12,74, Q72, 94兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 , 得 74= 12?? + ??1,94=72?? + ??1. 解得 ?? = 1 ,??1=54. ∴ 直線 PQ 的表達(dá)式為 y= x+54. 過點(diǎn) D 作 DF ⊥ x 軸于 E , 交 PQ 于 F. 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m , m2+ 2 m+ 3 ), 則點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 m , m+54. ∴ DF= m2+ 2 m+ 3 m+54= m2+ 3 m+74= ( m2 3 m ) +74= m 322+ 4 . ∵ 直尺的寬度一定 ,∴ 當(dāng) DF 最長(zhǎng)時(shí) , △ D P Q 的面積最大 .∴ 當(dāng) m=32時(shí) , DF 有最大值 , 最大值為 4, 此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為32,154. △ DPQ 的面積 =12 4 D F =12 4 4 = 8, ∴ △ DPQ 面積的最大值為 8 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 ② 設(shè) P ( c , c2+ 2 c+ 3), 則 Q ( c+ 4, c2 6 c 5) . 把 P , Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線 PQ 的表達(dá)式 y=k 1 x+ b 2 , 得 ??2+ 2 ?? + 3 = ?? ??1+ ??2, ??2 6 ?? 5 = ( ?? + 4 ) ??1+ ??2. 解得 ??1= 2 ?? 2 ,??2= ??2+ 4 ?? + 3 . ∴ 直線 PQ 的表達(dá)式為 y= (2 c+ 2) x+c2+ 4 c+ 3 . 過點(diǎn) D 作 DF ⊥ x 軸于點(diǎn) G , 交 PQ 于點(diǎn) F. 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m 1 , ??12+ 2 m 1 + 3), 則點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 ( m 1 , 2 cm 1 2 m 1 +c2+ 4 c+ 3) . ∴ DF= ??12+ 2 m 1 + 3 ( 2 cm 1 2 m 1 +c2+ 4 c+ 3) = ??12+ (2 c+ 4) m 1 ( c2+ 4 c ) = [ m 1 ( c+ 2)]2+ 4, 當(dāng) m 1 = c+ 2 時(shí) , DF 最大 , 則 △ DPQ 的面積最大 . 此時(shí) , △ DPQ 的面積 =12 4 D F=12 4 4 = 8 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 【分層分析】 (1) 用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式 . (2) ① 根據(jù)題意 , 先求得 P , Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo) , 再用待定系數(shù)法求直線 PQ 的表達(dá)式 . 過點(diǎn) D 作 DF ⊥ x 軸于 G ,交 PQ 于 F. 直尺的 寬度一定 , 當(dāng) DF 最長(zhǎng)時(shí) , △ DPQ 的面積最大 . 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m , m2+ 2 m+ 3), 則點(diǎn) F的坐標(biāo)為 m , m+54, 求得 DF 的最大值 , 然后根據(jù)三角形的面積公式 , 求得 △ DPQ 面積的最大值 . ② 同理 , 設(shè) P ( c , c2+ 2 c+ 3), Q ( c+ 4, c2 6 c 5), 則直線 PQ 的表達(dá)式可求 。若丌存在 ,請(qǐng)說明理由 . 圖 Z8 2 解 :(1 ) 由題可知 , 當(dāng) y= 0 時(shí) , a ( x 1)( x 3) = 0, 解得 x 1 = 1, x 2 = 3 .∴ A ( 1,0), B (3,0), 于是 OA= 1, OB= 3 . ∵ △ OCA ∽△ OBC ,∴ OC ∶ OB=OA ∶ OC. ∴ OC 2 =OA 東營(yíng) ] 如圖 Z82,拋物線 y=a(x1) x 32=12PQ (3) 若 C 為線段 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 當(dāng)點(diǎn) A , 點(diǎn) B 到直線 OC 的距離之 和最大時(shí) , 求 ∠ BOC 的大小及點(diǎn) C 的坐標(biāo) . 圖 Z8 3 解 :(1 ) 因?yàn)辄c(diǎn) A (1, 3 ), B (3, 3 ) 在拋物線 y=a x2 +bx 上 , 所以 ?? + ?? = 3 ,9 ?? + 3 ?? = 3 . 解 得 ?? = 23 3 ,?? =53 3 . 所以拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 y= 23 3 x 2 +53 3 x. 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 2 [2022 AD+12OC ?? ???? ??= 3 .∵ cos ∠ BOC =?? ???? ??=12,∴∠ BOC = 60176。 = 30176。龍巖質(zhì)檢 ] 已知拋物線 y=x2+bx+c. (1)當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0)時(shí) ,求拋物線的表達(dá)式 。 2 2 ,?? = 3 ( 舍去 ) . ③ 當(dāng) ??2 1, 即 b 2 時(shí) , 函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減小 , 依題意 , 有 1 ?? + ?? = 4 + ?? ,1 + ?? + ?? = 1 . 解得 ?? = 1 ,?? = 1 ( 舍去 ) . 綜上可知 , b= 3, c= 3 戒 b= 4 2 6 , c= 11 4 6 . 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 例 2 [2 0 1 8 深圳 ] 已知頂點(diǎn)為 A 的拋物線 y=a ?? 12 2 2 經(jīng)過點(diǎn) B 32,2 , 點(diǎn) C52,2 . (2 ) 如圖 Z8 4 ① , 直線 AB 不 x 軸相交于點(diǎn) M , 不 y 軸相交于點(diǎn) E , 拋物線不 y 軸相交于點(diǎn) F , 在直線 AB 上有一點(diǎn) P , 若 ∠ OPM= ∠ MAF , 求 △ POE 的面積 。 深圳 ] 已知頂點(diǎn)為 A 的拋物線 y=a ?? 12 2 2 經(jīng)過點(diǎn) B 32,2 , 點(diǎn) C52,2 . (3) 如圖 ② , 點(diǎn) Q 是折線 A B C 上一點(diǎn) , 過點(diǎn) Q 作 QN ∥ y 軸 , 過點(diǎn) E 作 EN ∥ x 軸 , 直線 QN 不直線 EN 相交于點(diǎn) N , 將 △ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN 1 , 若點(diǎn) N 1 落在 x 軸上 , 請(qǐng)直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo) . 圖 Z8 4 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) (3) 當(dāng)點(diǎn) Q 在線段 AB 上時(shí) , 可設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ( m , 2 m 1), 則 N 的坐標(biāo)為 ( m , 1), 則 QN= 2 m 1 ( 1) = 2 m , EN= m.由將 △ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN 1 , 可得 QN 1 = Q N= 2 m , EN 1 =EN = m. 設(shè)點(diǎn) N 1 的坐標(biāo)為 ( x ,0), 則Q ??12= ( x m )2+ (2 m+ 1)2, E ??12=x2+ 12.∴ ( x m )2+ (2 m+ 1)2= ( 2 m )2① , x2+ 12= ( m )2② . 由 ① 得 ( x m )2= 4 m 1, 解得x=m177。 2 m 4 ?? 1 =m2 1 . 化簡(jiǎn) ,得 4 ?? 1 = 2 戒 4 ?? 1 = 2( 丌可能 , 故舍去 ), ∴ 4 m 1 = 22= 4, 解得 m= 54. ∴ Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為 54,32. 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 當(dāng)點(diǎn) Q 在線段 BC 上時(shí) , 如圖 , 可設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ( n ,2), 則 N 的坐標(biāo)為 ( n , 1), 則 Q N= 2 ( 1) = 3, EN=| n|. 由將△ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN 1 , 可得 QN 1 =QN= 3, EN 1 =EN =| n|. 設(shè)點(diǎn) N 1 的坐標(biāo)為 ( x ,0), 則Q ??12= ( x n )2+ 22, E ??12=x2+ 12. ∴ ( x n )2+ 22= 32① , x2+ 12=n2② . 由 ① 得 ( x n )2= 5, 解得 x=n 177。 2 5 n+ 5 =n2 1 . 化簡(jiǎn) , 得 2 5 n= 6 戒 2 5 n= 6, 解得 n= 177。麗水 ] 如圖 Z85,拋物線 y=ax2+bx(a≠0)過點(diǎn) E(10,0),矩形 ABCD的邊 AB在線段 OE上 (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左邊 ),點(diǎn) C,D在拋物線上 . 設(shè) A(t,0),當(dāng) t=2時(shí) ,AD=4. (3)保持 t=2時(shí)的矩形 ABCD丌動(dòng) ,向右平秱拋物線 . 當(dāng)平秱后的拋物線不矩 形的邊有兩個(gè)交點(diǎn) G,H,且直線 GH平分矩形的面積時(shí) ,求拋物線平秱的距離 . 圖 Z8 5 (3) 連接 DB , 取 DB 的中點(diǎn) , 記為 P , 則點(diǎn) P 為矩形 ABCD 的中心 . 由矩形的對(duì)稱性知 , 平分矩形 ABC D 面積的直線必過點(diǎn) P. 連接 OD , 取 OD 的中點(diǎn) Q , 連接 PQ. 當(dāng)t= 2 時(shí) , 點(diǎn) A , B , C , D 的坐標(biāo)分別為 (2 ,0),( 8,0 ),(8 ,4 ),(2 ,4) . 結(jié)合圖象知 , 當(dāng)點(diǎn) G , H 分別落在線段 AB , DC 上且直線 GH 過點(diǎn) P 時(shí) , 直線 GH平分矩形 ABC D 的面積 . ∵ AB ∥ CD ,∴ 線段 OD 平秱后得到線段 GH , 線段 OD 的中點(diǎn) Q 平秱后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 P. 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) ∴ 拋物線的平秱距離 =OG= DH=QP. 在 △ OBD 中 , PQ 是中位線 ,∴ PQ=12OB= 4 . ∴ 拋物線向右平秱的距離是 4 . 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 拓展 2 [2022 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 6, 直線 l : y= x+ 1 不 x 軸 , y 軸分別交于 A , B 兩點(diǎn) , 點(diǎn) P , Q 是直線 l 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且點(diǎn) P 在第二象限 , 點(diǎn) Q 在第四象限 ,∠ POQ =