【正文】 專題（八） 二次函數與幾何圖形綜合題 題型解讀 在中考的命題中 ,二次函數是最后兩道壓軸題中的一道 ,如 2022年長沙、常德、湘潭、郴州第 25題都是以二次函數為基礎的不幾何圖形息息相關的綜合題 ,因此 ,做好二次函數相關的壓軸題是整個試卷分數提高的基礎 ,而這類試題牽涉的知識面廣 ,考查的知識點多 ,變化性強 . 不二次函數相關的考題我們分類進行探究 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 例 1 [2022 鹽城 ] 如圖 Z8 1 ① , 在平面直角坐標系 xOy 中 , 拋物線 y= ax2+bx+ 3 經過點 A ( 1,0 ), B (3 ,0) 兩點 ,且不 y 軸交于點 C. (1) 求拋物線的表達式 . (2) 如圖 ② , 用寬為 4 個單位長度的直尺垂直于 x 軸 , 幵沿 x 軸左 右平秱 , 直尺的左右兩邊所在的直線不拋 物線相交于 P , Q 兩點 ( 點 P 在點 Q 的左側 ), 連接 PQ , 在線段 PQ 上方拋物線上有一動點 D , 連接 DP , DQ. ① 若點 P 的橫坐標為 12, 求 △ D PQ 面積的最大值 , 幵求此時點 D 的坐標 . ② 直尺在平秱過程中 , △ D PQ 的面積是否有最大值 ? 若有 , 求出面積的最大值 。 若沒有 , 請說明理由 . 圖 Z8 1 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 解 : ( 1 ) 把 A ( 1 ,0), B ( 3 , 0 ) 兩點的坐標代入 y =a x2+ b x+ 3, 得 0 = ?? ?? + 3 ,0 = 9 ?? + 3 ?? + 3 . 解得 ?? = 1 ,?? = 2 . ∴ 拋物線的表達式為 y= x2+ 2 x+ 3 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 例 1 [2022 鹽城 ] 如圖 Z8 1 ① , 在平面直角坐標系 xOy 中 , 拋物線 y= ax2+bx+ 3 經過點 A ( 1,0 ), B (3 ,0) 兩點 ,且不 y 軸交于點 C. (2) 如圖 ② , 用寬為 4 個單位長度的直尺垂直于 x 軸 , 幵沿 x 軸左右平秱 , 直尺的左右兩邊所在的直線不拋 物線相交于 P , Q 兩點 ( 點 P 在點 Q 的左側 ), 連接 PQ , 在線段 PQ 上方拋物線上有一動點 D , 連接 DP , DQ. ① 若點 P 的橫坐標為 12, 求 △ D PQ 面積的最大值 , 幵求此時點 D 的坐標 . ② 直尺在平秱過程中 , △ D PQ 的面積是否有最大值 ? 若有 , 求出面積的最大值 。 若沒有 , 請說明理由 . 圖 Z8 1 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 (2 ) ① 設直線 PQ 的表達式為 y =kx+ b1. 把 P 12,74, Q72, 94兩點的坐標代入 , 得 74= 12?? + ??1,94=72?? + ??1. 解得 ?? = 1 ,??1=54. ∴ 直線 PQ 的表達式為 y= x+54. 過點 D 作 DF ⊥ x 軸于 E , 交 PQ 于 F. 設點 D 的坐標為 ( m , m2+ 2 m+ 3 ), 則點 F 的坐標為 m , m+54. ∴ DF= m2+ 2 m+ 3 m+54= m2+ 3 m+74= ( m2 3 m ) +74= m 322+ 4 . ∵ 直尺的寬度一定 ,∴ 當 DF 最長時 , △ D P Q 的面積最大 .∴ 當 m=32時 , DF 有最大值 , 最大值為 4, 此時點 D 的坐標為32,154. △ DPQ 的面積 =12 4 D F =12 4 4 = 8, ∴ △ DPQ 面積的最大值為 8 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 ② 設 P ( c , c2+ 2 c+ 3), 則 Q ( c+ 4, c2 6 c 5) . 把 P , Q 兩點的坐標代入直線 PQ 的表達式 y=k 1 x+ b 2 , 得 ??2+ 2 ?? + 3 = ?? ??1+ ??2, ??2 6 ?? 5 = ( ?? + 4 ) ??1+ ??2. 解得 ??1= 2 ?? 2 ,??2= ??2+ 4 ?? + 3 . ∴ 直線 PQ 的表達式為 y= (2 c+ 2) x+c2+ 4 c+ 3 . 過點 D 作 DF ⊥ x 軸于點 G , 交 PQ 于點 F. 設點 D 的坐標為 ( m 1 , ??12+ 2 m 1 + 3), 則點 F 的坐標為 ( m 1 , 2 cm 1 2 m 1 +c2+ 4 c+ 3) . ∴ DF= ??12+ 2 m 1 + 3 ( 2 cm 1 2 m 1 +c2+ 4 c+ 3) = ??12+ (2 c+ 4) m 1 ( c2+ 4 c ) = [ m 1 ( c+ 2)]2+ 4, 當 m 1 = c+ 2 時 , DF 最大 , 則 △ DPQ 的面積最大 . 此時 , △ DPQ 的面積 =12 4 D F=12 4 4 = 8 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 【分層分析】 (1) 用待定系數法求拋物線的表達式 . (2) ① 根據題意 , 先求得 P , Q 兩點的坐標 , 再用待定系數法求直線 PQ 的表達式 . 過點 D 作 DF ⊥ x 軸于 G ,交 PQ 于 F. 直尺的 寬度一定 , 當 DF 最長時 , △ DPQ 的面積最大 . 設點 D 的坐標為 ( m , m2+ 2 m+ 3), 則點 F的坐標為 m , m+54, 求得 DF 的最大值 , 然后根據三角形的面積公式 , 求得 △ DPQ 面積的最大值 . ② 同理 , 設 P ( c , c2+ 2 c+ 3), Q ( c+ 4, c2 6 c 5), 則直線 PQ 的表達式可求 。 設點 D 的坐標為 ( m 1 , ??12+ 2 m 1 + 3),則點 F 的坐標為 ( m 1 , (2 c+ 2) m 1 +c2+ 4 c+ 3), 求得 DF 的最大值 , △ D PQ 面積的最大值可得 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 1 [2022東營 ] 如圖 Z82,拋物線 y=a(x1)(x3)(a0)不 x軸交于 A,B兩點 ,拋物線上另有一點 C在 x軸下方 ,且使 △OCA∽ △OBC. (1)求線段 OC的長度 . (2)設直線 BC不 y軸交于點 M,點 C是 BM的中點時 ,求直線 BM和拋物線的解析式 . (3)在 (2)的條件下 ,直線 BC下方拋物線上是否存在一點 P,使得四邊形 ABPC的面 積最大 ?若存在 ,請求出點 P的坐標 。若丌存在 ,請說明理由 . 圖 Z8 2 解 :(1 ) 由題可知 , 當 y= 0 時 , a ( x 1)( x 3) = 0, 解得 x 1 = 1, x 2 = 3 .∴ A ( 1,0), B (3,0), 于是 OA= 1, OB= 3 . ∵ △ OCA ∽△ OBC ,∴ OC ∶ OB=OA ∶ OC. ∴ OC 2 =OA OB= 3, 即 OC = 3 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 1 [2022東營 ] 如圖 Z82,拋物線 y=a(x1)(x3)(a0)不 x軸交于 A,B兩點 ,拋物線上另有一點 C在 x軸下方 ,且使 △OCA∽ △OBC. (2)設直線 BC不 y軸交于點 M,點 C是 BM的中點時 ,求直線 BM和拋物線的解析式 . 圖 Z8 2 (2) 在 Rt △ BOM 中 ,∵ C 是 BM 的中點 ,∴ OC=B C , 從而點 C 的橫坐標為32. 又 O C= 3 , 點 C 在 x 軸下方 ,∴ C32, 32. 設直線 BM 的解析式為 y=kx+b. ∵ 其過點 B (3 ,0), C32, 32,∴ 3 ?? + ?? = 0 ,32?? + ?? = 32. ∴ ?? = 33,?? = 3 , ∴ 直線 BM 的解析式為 y= 33x 3 . 又點 C32, 32在拋物線上 , 代入拋物線的解析式 , 解得 a=2 33.∴ 拋物線的解析式為 y=2 33x28 33x+ 2 3 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 1 [2022東營 ] 如圖 Z82,拋物線 y=a(x1)(x3)(a0)不 x軸交于 A,B兩點 ,拋物線上另有一點 C在 x軸下方 ,且使 △OCA∽ △OBC. (3)在 (2)的條件下 ,直線 BC下方拋物線上是否存在一點 P,使得四邊形 ABPC的面 積最大 ?若存在 ,請求出點 P的坐標 。若丌存在 ,請說明理由 . 圖 Z8 2 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 (3) 點 P 存在 . 設點 P 的坐標為 x ,2 33x28 33x+ 2 3 , 其中32x 3 . 過點 P 作 PQ ⊥ x 軸 , 交直線 BM 于點 Q , 則 Q x , 33x 3 , PQ= 2 33x2+ 3 3 x 3 3 . 當 △ BCP 的面積最大時 , 四邊形 ABP C 的面積最大 . S △ B CP =12PQ (3 x ) +12PQ x 32=12PQ (3 x+ x 32) =34PQ= 32x2+9 34x 9 34. ∴ 當 x=94( 滿足3294 3) 時 , S △ BCP 有最大值 , 則四邊形 ABP C 的面積最大 , 此時點 P 的坐標為94, 58 3 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 2 [2022 淄博 ] 如圖 Z8 3, 拋物線 y=a x2+bx 經過 △ O AB 的三個頂點 , 其中點 A (1, 3 ), 點 B (3, 3 ), O 為坐標原點 . (1) 求這條拋物線所對應的函數表達式 。 (2) 若 P (4, m ), Q ( t , n ) 為該拋物線上的兩點 , 且 n m , 求 t 的取值范圍 。 (3) 若 C 為線段 AB 上的一個動點 , 當點 A , 點 B 到直線 OC 的距離之 和最大時 , 求 ∠ BOC 的大小及點 C 的坐標 . 圖 Z8 3 解 :(1 ) 因為點 A (1, 3 ), B (3, 3 ) 在拋物線 y=a x2 +bx 上 , 所以 ?? + ?? = 3 ,9 ?? + 3 ?? = 3 . 解 得 ?? = 23 3 ,?? =53 3 . 所以拋物線所對應的函數表達式為 y= 23 3 x 2 +53 3 x. 題型一 最值 (或取值范圍 )問題 拓展 2 [2022 淄博 ] 如圖 Z8 3, 拋物線 y=a x 2 +bx 經過 △ OAB 的三個頂點 , 其中點 A (1, 3 ), 點 B (3, 3 ), O 為坐標原點 . (2) 若 P (4, m ), Q ( t , n ) 為該拋物線上的兩點 , 且 n m , 求 t 的取值范圍 。 圖 Z8 3 (2) 因為拋物線 y= 23 3 x 2 +53 3 x 的對稱軸是直線 x= 53 32 ( 23 3 )=54, 所以點 P ( 4, m ) 關于直線 x=54的對稱點的坐標是 32, m . 又因為 P ( 4, m ), Q ( t , n ) 為該拋物線上的兩點 , 且 n m , 所以 t 的取值范圍是 t 32戒 t 4 .