【正文】 當(dāng) t ≠ 2 時(shí) , 丌存在 , 利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分結(jié)合 CE ≠ PE 可得出此時(shí)丌存在符合題意的點(diǎn) M. ( 3 ) ① 過(guò)點(diǎn) P 作 PE ⊥ x 軸于點(diǎn) E , PF ⊥ y 軸于點(diǎn) F , 利用 PE , PF 的長(zhǎng) , 再由三角形的面積轉(zhuǎn)化即可求出 S 關(guān)于 t的函數(shù)表達(dá)式 。若丌存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . 圖 Z8 11 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) (2) ∵ 拋物線的表達(dá)式為 y= x2+ 2 x+ 3, ∴ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 x= ??2 ??= 1, 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (0 , 3) . ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (1 , 0) , ∵ 點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 t , 且點(diǎn) P 在拋物線 y= x2+ 2 x+ 3 上 , ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( t , t2+ 2 t+ 3 ) . 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1, a ), 分兩種情況討論 : ① 點(diǎn) M 在 x 軸的上方 , 當(dāng)四邊形 CDP M 是平行四邊形 , 且 C , P 和 D , M 分別是一組相對(duì)的頂點(diǎn)時(shí) , 設(shè)平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)為 N. 根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分 , 則點(diǎn) N 的坐標(biāo)可表示為 (?? + 02,3 ??2+ 2 ?? + 32) 戒( 1,?? + 02) .∴?? + 02= 1,3 ??2+ 2 ?? + 32=?? + 02. 解得 t= 2, a= 6 .∴ 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1 ,6) . ② 點(diǎn) M 在 x 軸的下方時(shí) , 四邊形 CDP M 丌能構(gòu)成平行四邊形 , 故丌存在 . 綜 上 , 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1 ,6) . 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 例 4 [2022郴州 ] 如圖 Z811,已知拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn) ,不 y軸交于點(diǎn) C,點(diǎn) P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,且點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 t. (1)求拋物線的表達(dá)式 . (2)如圖① ,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為 l,l不 x軸的交點(diǎn)為 D,在直線 l上是否存在點(diǎn) M,使得四邊形 CDPM是平行四邊形 ?若存在 ,求出點(diǎn) M的坐標(biāo) 。 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 1 0, 拋物線 y=mx 2 16 mx+ 48 m ( m 0) 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) B 在點(diǎn) A 左側(cè) ),不 y 軸交于點(diǎn) C , 點(diǎn) D 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且位于第四象限 , 連接 OD , BD , AC , AD , 延長(zhǎng) AD , 交 y 軸于點(diǎn)E. (2) 若對(duì)任意 m 0, C , E 兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 , 求點(diǎn) D 的坐標(biāo) ( 用含 m 的式子表示 )。1??= ( 2 1) c. ∵ x 1 = mc ,∴ m= 2 1 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 3 [2022 sin60176。 巴中 ] 如圖 Z8 8, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y=a x 2 + bx 2 不 x 軸交于點(diǎn) A , B ( 點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè) ), 不 y 軸交于點(diǎn) C (0, 2), OB= 4 OA ,tan ∠ BCO= 2 . (2) 求拋物線的表達(dá)式 . 圖 Z8 8 (2) 將 A ( 1, 0) , B (4 ,0) 代入 y= ax2+bx 2, 得 ?? ?? 2 = 0 ,16 ?? + 4 ?? 2 = 0 . 解得 ?? =12,?? = 32. ∴ 拋物線的表達(dá)式為 y=12x232x 2 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 1 [2022 攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn) C(0,3). (5)如圖③ ,點(diǎn) D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn) ,若 △BCD是銳角三角形 ,求點(diǎn) D的縱坐標(biāo)的取值范圍 . 【分層分析】 以 BC為直徑作圓 ,則圓不對(duì)稱軸的交點(diǎn) (設(shè)為 D3,D4)不點(diǎn) B,C構(gòu)成的三角形是直角三角形 ,由已知條件求得 D3,D4的坐標(biāo) ,結(jié)合 (4),求得點(diǎn) D的縱坐標(biāo)的取值范圍 . 圖 Z8 7③ 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (5) 如圖 ④ , 以 BC 的中點(diǎn) T32,32為圓心 ,12BC 的長(zhǎng)為半徑作 ☉ T , 不直線 x= 2 交于 D 3 和 D 4 兩點(diǎn) . 由直徑所對(duì)的圓周角是直角 , 得 ∠ CD 3 B= ∠ CD 4 B= 90176。于點(diǎn) H , 則 PE+ EF=PF 39。于 H,PE+EF=PF39。 . ∴ 在 △ CFE 中 ,∠ BCF = ∠ CFE= 45176。攀枝花改編 ] 如圖 Z87① ,拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (3,0),不 y軸交于點(diǎn) C(0,3). (1)求拋物線的解析式 ,幵求點(diǎn) A的坐標(biāo) . 【分層分析】 把 B(3,0),C(0,3)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式 y=x2+bx+c,得到關(guān)于 b,c的方程組 ,求出b,c,得到解析式 ,令 y=0,即可求得點(diǎn) A的坐標(biāo) . 圖 Z8 7① 解 :(1 ) 由題意 , 得 3 2 + 3 ?? + ?? = 0 ,?? = 3 . 解得 ?? = 4 ,?? = 3 . ∴ 拋物線的解析式為 y=x 2 4 x+ 3 . 令 y= 0, 得 x 2 4 x+ 3 = 0 . 解得 x 1 = 1, x 2 = 3 .∴ A (1 ,0) . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022?? ???? ??=1??. 過(guò)點(diǎn) P 作 PH ⊥ OB 交 OB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H , 則 △ PHB 為等腰直角三角形 . ∵ PB=1??,∴ PH=HB= 22 ??. ∴ P 22 ??,1 + 22 ??. 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 拓展 2 [2022 . 令 ∠ POB =x , 則 ∠ O PB = ∠ AO Q= 13 5176。 ② 當(dāng) m ≤ x ≤ m+ 2 時(shí) , 函數(shù) y 的最大值等于2??, 求二次項(xiàng)系數(shù) a 的值 . 圖 Z8 6 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 解 :(1 ) 在 y= x+ 1 中 , 令 x= 0, 得 y= 1 . ∴ B (0 ,1) . 令 y= 0, 得 x= 1, ∴ A (1 ,0) .∴ OA= OB= 1, AB= 2 . ∴ △ AOB 的周長(zhǎng)為 2 + 2 . 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 拓展 2 [2022 麗水 ] 如圖 Z85,拋物線 y=ax2+bx(a≠0)過(guò)點(diǎn) E(10,0),矩形 ABCD的邊 AB在線段 OE上 (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左邊 ),點(diǎn) C,D在拋物線上 . 設(shè) A(t,0),當(dāng) t=2時(shí) ,AD=4. (2)當(dāng) t為何值時(shí) ,矩形 ABCD的周長(zhǎng)有最大值 ?最大值是多少 ? 圖 Z8 5 (2) 由拋物線的對(duì)稱性 , 得 BE=OA=t ,∴ AB= 10 2 t. 當(dāng) x=t 時(shí) , y= 14t2+52t. ∴ 矩形 ABC D 的周長(zhǎng) = 2( AB+AD ) = 2 ( 10 2 ?? ) + ( 14??2+52?? ) = 12t2+t+ 20 = 12( t 1)2+412. ∵ 12 0,0 1 10, ∴ 當(dāng) t= 1 時(shí) , 矩形 ABC D 的周長(zhǎng)有最大值 , 最大值是412. 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 拓展 1 [2022 2 5 n+ 5 . 由 ② 得 x2=n2 1, ∴ n2177。 2 m 4 ?? 1 . 由 ② 得 x2=m2 1, ∴ m2 4 m 1 177。 |x P |=12 1 23=13,∴ △ POE 的面積為115戒13. 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 例 2 [2022 (3 ) 如圖 ② , 點(diǎn) Q 是折線 A B C 上一點(diǎn) , 過(guò)點(diǎn) Q 作 QN ∥ y 軸 , 過(guò)點(diǎn) E 作 EN ∥ x 軸 , 直線 QN 不直線 EN 相交于點(diǎn) N , 將 △ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN1, 若點(diǎn) N1落在 x 軸上 , 請(qǐng)直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo) . 圖 Z8 4 解 :(1 ) 將 B 32,2 代入 y=a ?? 12 2 2, 得 2 =a 32 12 2 2 . 解得 a= 1 . ∴ 拋物線的 解析式為 y= ?? 12 2 2 =x 2 x 74. 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 例 2 [2 0 1 8 龍巖質(zhì)檢 ] 已知拋物線 y=x2+bx+c. (3)若拋物線上的點(diǎn) P(s,t),滿足 1≤s≤1時(shí) ,1≤t≤4+b,求 b,c的值 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問(wèn)題 (3) 分三種情況討論 : ① 當(dāng) ??2 1, 即 b 2 時(shí) , 函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大 , 依題意 , 有 1 ?? + ?? = 1 ,1 + ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ?? = 3 ,?? = 3 . ② 當(dāng) 1 ≤ ??2≤ 1, 即 2 ≤ b ≤ 2 時(shí) , x= ??2時(shí) , 函數(shù)值 y 取最小值 . ( ⅰ ) 若 0 ≤ ??2≤ 1, 即 2 ≤ b ≤ 0 時(shí) , 依題意 , 有 ??24??22+ ?? = 1 ,1 ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ??1= 4 2 6 ,??1= 11 4 6 , ??2= 4 + 2 6 ,??2= 11 + 4 6 ( 舍去 ) . ( ⅱ ) 若 1 ≤ ??2 0, 即 0 b ≤ 2 時(shí) , 依題意 , 有 ??24??22+ ?? = 1 ,1 + ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ?? = 177。 OC=32.∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)是32, 32. 題型一 最值 (或取值范圍 )問(wèn)題 拓展 3 [2022 30176。 AB ,∴ OC=?? ?? 淄博 ] 如圖 Z8 3, 拋物線 y=a x 2 +bx 經(jīng)過(guò) △ OAB 的三個(gè)頂點(diǎn) , 其中點(diǎn) A (1, 3 ), 點(diǎn) B (3, 3 ), O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (3) 若 C 為線段 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 當(dāng)點(diǎn) A , 點(diǎn) B 到直線 OC 的距離之 和最大時(shí) , 求 ∠ BOC 的大小及點(diǎn) C 的坐標(biāo) . 圖 Z8 3 題型一 最值 (或取值范圍 )問(wèn)題 (3) 如圖所示 , 過(guò)點(diǎn) A 作 AD ⊥ OC 于點(diǎn) D , 過(guò)點(diǎn) B 作 BE ⊥ OC 于點(diǎn) E. ∵ S △ A O B =S △ A O C +S △ B O C =12OC (2) 若 P (4, m ), Q ( t , n ) 為該拋物線上的兩點(diǎn) , 且 n m , 求 t 的取值范圍 。 (3 x ) +12PQ (x3)(a0)不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,拋物線上另有一點(diǎn) C在 x軸下方 ,且使 △OCA∽ △OBC. (2)設(shè)直線 BC不 y軸交于點(diǎn) M,點(diǎn) C是 BM的中點(diǎn)時(shí) ,求直線 BM和拋物線的解析式 . 圖 Z8 2 (2) 在 Rt △ BOM 中 ,∵ C 是 BM 的中點(diǎn) ,∴ OC=B C , 從而點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為32. 又 O C= 3 , 點(diǎn) C 在 x 軸下方 ,∴ C32, 32. 設(shè)直線 BM 的解析式為 y=kx+b. ∵ 其過(guò)點(diǎn) B (3 ,0), C32, 32,∴ 3 ?? + ?? = 0 ,32?? + ?? = 32. ∴ ?? = 33,?? = 3 , ∴ 直線 BM 的解析式為 y= 33x 3 . 又點(diǎn) C32, 32在拋物線上 , 代入拋物線的解析式 , 解得 a=2