20xx-20xx中考數(shù)學(xué)平行四邊形(大題培優(yōu))(編輯修改稿)
2025-03-30 22:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想思考問題.6．圖圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．（1）在圖1中畫出等腰直角三角形MON，使點(diǎn)N在格點(diǎn)上，且∠MON=90176。；（2）在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)正方形ABCD，使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，且正方形ABCD面積沒有剩余（畫出一種即可）．【答案】（1）作圖參見解析；（2）作圖參見解析.【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)O向線段OM作垂線，此直線與格點(diǎn)的交點(diǎn)為N，連接MN即可；（2）根據(jù)勾股定理畫出圖形即可．試題解析：（1）過點(diǎn)O向線段OM作垂線，此直線與格點(diǎn)的交點(diǎn)為N，連接MN，如圖1所示；（2）等腰直角三角形MON面積是5，因此正方形面積是20，如圖2所示；于是根據(jù)勾股定理畫出圖3：考點(diǎn)：﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；.7．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120176。，△AEF為正三角形，E、F在菱形的邊BC，CD上．（1）證明：BE=CF．（2）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上移動(dòng)時(shí)（△AEF保持為正三角形），請(qǐng)?zhí)骄克倪呅蜛ECF的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出其最大值．（3）在（2）的情況下，請(qǐng)?zhí)骄俊鰿EF的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出其最大值．【答案】(1)見解析；（2）；（3）見解析【解析】試題分析：（1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60176。，AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根據(jù)S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解題；（3）當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又根據(jù)S△CEF=S四邊形AECFS△AEF，則△CEF的面積就會(huì)最大.試題解析：（1）證明：連接AC，∵∠1+∠2=60176。，∠3+∠2=60176。，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120176。，∴∠ABC=∠ADC=60176。∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD為等邊三角形∴∠4=60176。，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，則S△ABE=S△ACF．故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H點(diǎn)，則BH=2，S四邊形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂線段最短”可知，當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．故△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF，則△CEF的面積就會(huì)最大．由（2）得，S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF=﹣=．點(diǎn)睛：本題考查了菱形每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明和全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC的延長線上，且，連接DE，DF，EF. FH平分交BD于點(diǎn)H.（1）求證：；（2）求證：：（3）過點(diǎn)H作于點(diǎn)M，用等式表示線段AB，HM與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3），證明詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)， 得到.（2）由，平分，,所以.（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由正方形性質(zhì)，，所以.由，得.【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，.∴.∵?！?∴.∴.∴.（2）證明：∵，∴.∵，∴.∵，平分，∴.∵平分，∴.∵,∴.∴.（3）.證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，∵正方形中，，∴.∵平分，∴.∵，∴.∴.∵，∴.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)，題目難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù).9．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，分別延長AC至E，BC至F，且CE＝EF，延長FE交AD的延長線于G．（1）求證：AE＝EG；（2）如圖2，分別連接BG，BE，若BG＝BF，求證：BE＝EG；（3）如圖3，取GF的中點(diǎn)M，若AB＝5，求EM的長．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG；（2）作輔助線，證明△BEF≌△GEC（SAS），可得結(jié)論；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建平行線，證明四邊形DMEN是平行四邊形，得EM＝DN＝AC，計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】證明：（1）如圖1，過E作EH⊥CF于H，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如圖2，連接GC，∵AC＝BC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AG是BC的垂直平分線，∴GC＝GB，∴∠GBF＝∠BCG，∵BG＝BF，∴GC＝BE，∵CE＝EF，∴∠CEF＝180176。﹣2∠F，∵BG＝BF，∴∠GBF＝180176。﹣2∠F，∴∠GBF＝∠CEF，∴∠CEF＝∠BCG，∵∠BCE＝∠CEF+∠F，∠BCE＝∠BCG+∠GCE，∴∠GCE＝∠F，在△BEF和△GCE中，∴△BEF≌△GEC（SAS），∴BE＝EG；（3）如圖3，連接DM，取AC的中點(diǎn)N，連接DN，由（1）得AE＝EG，∴∠GAE＝∠AGE，在Rt△ACD中，N為AC的中點(diǎn)，∴DN＝AC＝AN，∠DAN＝∠ADN，∴∠ADN＝∠AGE，∴DN∥GF，在Rt△GDF中，M是FG的中點(diǎn)，∴DM＝FG＝GM，∠GDM＝∠AGE，∴∠GDM＝∠DAN，∴DM∥AE，∴四邊形DMEN是平行四邊形，∴EM＝DN＝AC，∵AC＝AB＝5，∴EM＝．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，并
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