【文章內容簡介】 E，由旋轉可得，∠DAD39。=60176。，∴∠EAD39。=30176。，∵AB=2=AD39。，∴D39。E=AD39。=，AE=，∴BE=2+，∴Rt△BD39。E中，BD39。2=D39。E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8②以點A為旋轉中心將正方形ABCD順時針旋轉60176。，如圖所示：過B作BF⊥AD39。于F，旋轉可得，∠DAD39。=60176。，∴∠BAD39。=30176。，∵AB=2=AD39。，∴BF=AB=，AF=，∴D39。F=2﹣，∴Rt△BD39。F中，BD39。2=BF2+D39。F2=（）2+（2）2=16﹣8綜上所述，BD′平方的長度為16+8或16﹣8．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，矩形的判定，旋轉的性質，線段垂直平分線的性質以及勾股定理的綜合運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，依據(jù)勾股定理進行計算求解．解題時注意：有三個角是直角的四邊形是矩形．8．如圖1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；點E是對角線BD上一動點，連接CE，作EF⊥CE交AB邊于點F，以CE和EF為鄰邊作矩形CEFG，作其對角線相交于點H．（1）①如圖2，當點F與點B重合時，CE=　　，CG=　　；②如圖3，當點E是BD中點時，CE=　　，CG=　?。? （2）在圖1，連接BG，當矩形CEFG隨著點E的運動而變化時，猜想△EBG的形狀？并加以證明； （3）在圖1，的值是否會發(fā)生改變？若不變，求出它的值；若改變，說明理由； （4）在圖1，設DE的長為x，矩形CEFG的面積為S，試求S關于x的函數(shù)關系式，并直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）， ，5， ；（2）△EBG是直角三角形，理由詳見解析；（3） ；（4）S=x2﹣x+48（0≤x≤）．【解析】【分析】（1）①利用面積法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜邊中線定理求出CE，再利用相似三角形的性質求出EF即可；（2）根據(jù)直角三角形的判定方法：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個三角形是直角三角形即可判斷；（3）只要證明△DCE∽△BCG，即可解決問題；（4）利用相似多邊形的性質構建函數(shù)關系式即可；【詳解】（1）①如圖2中，在Rt△BAD中，BD==10，∵S△BCD=?CD?BC=?BD?CE，∴CE=．CG=BE=．②如圖3中，過點E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．∵DE=BE，∴CE=BD=5，∵△CME∽△ENF，∴，∴CG=EF=，（2）結論：△EBG是直角三角形．理由：如圖1中，連接BH．在Rt△BCF中，∵FH=CH，∴BH=FH=CH，∵四邊形EFGC是矩形，∴EH=HG=HF=HC，∴BH=EH=HG，∴△EBG是直角三角形．（3）F如圖1中，∵HE=HC=HG=HB=HF，∴C、E、F、B、G五點共圓，∵EF=CG，∴∠CBG=∠EBF，∵CD∥AB，∴∠EBF=∠CDE，∴∠CBG=∠CDE，∵∠DCB=∠ECG=90176。，∴∠DCE=∠BCG，∴△DCE∽△BCG，∴．（4）由（3）可知：，∴矩形CEFG∽矩形ABCD，∴，∵CE2=（x）2+）2，S矩形ABCD=48，∴S矩形CEFG= [（x）2+（）2].∴矩形CEFG的面積S=x2x+48（0≤x≤）．【點睛】本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、直角三角形的判定和性質、相似多邊形的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造相似三角形或直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．9．小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是：①對折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平；②沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處，再折出PB、PC，最后用筆畫出△PBC(圖1)．（1）求證：圖1中的 PBC是正三角形： （2）如圖2，小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求證：IH=IJ②請求出NJ的長； （3）小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長為6cm，當另一邊的長度a變化時，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同．請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說明問題即可)，并直接寫出對應的a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②126（3）3＜a＜4，a＞4【解析】分析：（1）由折疊的性質和垂直平分線的性質得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）①利用“HL”證Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一點Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15176。，繼而可得∠NQJ=30176。，設NJ=x，則IQ=QN=2x、QJ=x，根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等邊三角形的性質、直角三角形的性質、勾股定理進行計算，畫出圖形即可．（1）證明：∵①對折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC是正三角形：（2）證明：①如圖∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90176。∵△MNJ是等邊三角形∴MI=NI在Rt△MHI和Rt△JNI中 ∴Rt△MHI≌Rt△JNI（HL）∴HI=IJ②在線段IJ上取點Q，使IQ=NQ∵Rt△IHM≌Rt△IJN，∴∠HIM=∠JIN，∵∠HIJ=90176。、∠MIN=60176。，∴∠HIM=∠JIN=15176。，由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15176。，∴∠NQJ=30176。，設NJ=x，則IQ=QN=2x，QJ=x，∵IJ=6cm，∴2x+x=6，∴x=126，即NJ=126（cm）．（3）分三種情況：①如圖：設等邊三角形的邊長為b，則0＜b≤6，則tan60176。=，∴a=，∴0＜b≤=；②如圖當DF與DC重合時，DF=DE=6，∴a=sin60176。DE==，當DE與DA重合時，a=，∴＜a＜；③如圖∵△DEF是等邊三角形∴∠FDC=30176?！郉F=∴a＞點睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質、等邊三角形的判定與性質、旋轉的性質、直角三角形的性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，難度較大．10．如圖1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠ACP的平分線上一點，若∠AMN=60176。，求證：AM=MN．（2）若將（1）中“正三角形ABC”改為“正方形ABCD”，N是∠DCP的平分線上一點，若∠AMN=90176。，則AM=MN是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由．（3）若將（2）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形A1A2…An“，其它條件不變，請你猜想：當∠An﹣2MN=_____176。時，結論An﹣2M=MN仍然成立．（不要求證明） 【答案】【解析】