【文章內(nèi)容簡介】 x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，則y＝﹣22+6＝2，∴點P的坐標為（2，2）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運用待定系數(shù)法是解題的關鍵．7．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．①求線段PM的最大值；②當△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標．【答案】（1）二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3，2﹣4）．【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；（2）①根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；②根據(jù)等腰三角形的定義，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式，得，解得，這個二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）設BC的解析式為y=kx+b，將B，C的坐標代入函數(shù)解析式，得，解得，BC的解析式為y=x﹣3，設M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，當n=時，PM最大=；②當PM=PC時，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合題意，舍），n2=2，n2﹣2n﹣3=3，P（2，3）；當PM=MC時，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合題意，舍），n2=3+（不符合題意，舍），n3=3，n2﹣2n﹣3=24，P（3，24）；綜上所述：P（2，﹣3）或（3，2﹣4）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰三角形等知識，綜合性較強，解題的關鍵是認真分析，弄清解題的思路有方法.8． 閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經(jīng)過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部．（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線；（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當點A′在平行于坐標軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？【答案】（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）拋物線向下平移或距離，其頂點落在OP上．【解析】試題分析：（1）根據(jù)特征線直接求出點D的特征線；（2）由點D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點D的坐標，從而求出拋物線解析式；（2）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計算即可．試題解析：解：（1）∵點D（m，n），∴點D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）點D有一條特征線是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵拋物線解析式為，∴，∵四邊形OABC是正方形，且D點為正方形的對稱軸，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，將n=m+1帶入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴拋物線解析式為．（3）①如圖，當點A′在平行于y軸的D點的特征線時：根據(jù)題意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60176。，∴∠A′OP=∠AOP=30176。，∴MN==，∴拋物線需要向下平移的距離==．②如圖，當點A′在平行于x軸的D點的特征線時，設A′（p，3），則OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，設P（4，c）（c＞0），在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直線OP解析式為y=x，∴N（2，），∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=．綜上所述：拋物線向下平移或距離，其頂點落在OP上．點睛：此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是用正方形的性質(zhì)求出點D的坐標．9．我們知道，經(jīng)過原點的拋物線解析式可以是。（1）對于這樣的拋物線：當頂點坐標為（1，1）時，a= ；當頂點坐標為（m，m），m≠0時，a 與m之間的關系式是 ；（2）繼續(xù)探究，如果b≠0，且過原點的拋物線頂點在直線上，請用含k的代數(shù)式表示b；（3）現(xiàn)有一組過原點的拋物線，頂點A1，A2，…，An在直線上，橫坐標依次為1，2，…，n（n為正整數(shù)，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1，B2，B3，…，Bn，以線段AnBn為邊向右作正方形AnBnCnDn，若這組拋物線中有一條經(jīng)過點Dn，求所有滿足條件的正方形邊長?！敬鸢浮浚?）－1；（2）（3）3，6，9【解析】解：（1）－1；。（2）∵過原點的拋物線頂點在直線上，∴?！遙≠0，∴。（3）由（2）知，頂點在直線上，橫坐標依次為1，2，…，n（n為正整數(shù)，且n≤12）的拋物線為：，即。對于頂點在在直線上的一點Am（m，m）（m為正整數(shù)，且m≤n），依題意，作的正方形AmBmCmDm邊長為m，點Dm坐標為（2 m，m），若點Dm在某一拋物線上，則，化簡，得?！適，n為正整數(shù)，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。∴所有滿足條件的正方形邊長為3，6，9。（1）當頂點坐標為（1，1）時，由拋物線頂點坐標公式，有，即。當頂點坐標為（m，m），m≠0時。（2）根據(jù)點在直線上，點的坐標滿足方程的關系，將拋物線頂點坐標代入，化簡即可用含k的代數(shù)式表示b。由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點坐標。（3）將依題意，作的正方形AmBmCmDm邊長為m，點Dm坐標為（2 m，m），將（2 m，m）代入拋物線求出m，n的關系，即可求解。10．（2017南寧，第26題，10分）如圖，已知拋物線與坐標軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N．（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；（3）證明：當直線l繞點D旋轉時，均為定值，并求出該定值．【答案】（1）a=，A（﹣，0），拋物線的對稱軸為x=；（2）點P的坐標為（，0）或（，﹣4）；（3）．【解析】試題分析：（1）由點C的坐標為（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關于x的方程，解關于x的方程可得到點A和點B的坐標，最后利用拋物線的對稱性可確