【文章內容簡介】 取． 綜上，當或時，的長度隨著的增大而減?。驹斀狻浚?）點，4＞1，根據(jù)“友好點”定義，得到點的“友好點”的坐標是（2）點是直線上的一點，．，根據(jù)友好點的定義，點的坐標為， ①當點和點重合，．解得或． 當時，；當時，點的坐標是或． ②當點A和點B不重合，且．當或時，． 當a≤時，的長度隨著的增大而減小，取．當時， ．當時，的長度隨著的增大而減小，?。?綜上，當或時，的長度隨著的增大而減?。军c睛】本題屬于閱讀理解題型，結合二次函數(shù)的基本性質進行解題，第二問的第二小問的關鍵是求出AB的長用a進行表示，然后利用二次函數(shù)基本性質進行分類討論8．在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點D，當△CDP為等腰三角形時，求點P的坐標；（3）如圖2，拋物線的頂點為E，EF⊥x軸于點F，N是線段EF上一動點，M（m，0）是x軸一個動點，若∠MNC＝90176。，請求出m的取值范圍．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點P的坐標為（1，2）或（2，1）或（3﹣）；（3）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；（2）由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，再設P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的長，然后分三種情況討論，求點P的坐標；（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列出關系式m＝（n﹣）2﹣，然后根據(jù)n的取值得到最小值．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），∴，解得b＝2，c＝3．故該拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），設直線BC的解析式為y＝kx+b′，則，解得：k=1,b’=3故直線BC的解析式為y＝﹣x+3；∴設P（t，3﹣t），∴D（t，﹣t2+2t+3），∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45176。，當CD＝PC時，則∠CPD＝∠CDP，∵PD∥y軸，∴∠CPD＝∠OCB＝45176。，∴∠CDP＝45176。，∴∠PCD＝90176。，∴直線CD的解析式為y＝x+3，解得或∴D（1，4），此時P（1，2）；當CD＝PD時，則∠DCP＝∠CPD＝45176。，∴∠CDP＝90176。，∴CD∥x軸，∴D點的縱坐標為3，代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，解得x＝0或x＝2，此時P（2，1）；當PC＝PD時，∵PC＝t，∴t＝﹣t2+3t，解得t＝0或t＝3﹣，此時P（3﹣，）；綜上，當△CDP為等腰三角形時，點P的坐標為（1，2）或（2，1）或（3﹣，）（3）如圖2，由（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4），設N（1，n），則0≤n≤4，取CM的中點Q（，），∵∠MNC＝90176。，∴NQ＝CM，∴4NQ2＝CM2，∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，∴4[（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，整理得，m＝（n﹣）2﹣，∵0≤n≤4，當n＝時，m最小值＝﹣，n＝4時，m＝5，綜上，m的取值范圍為：﹣≤m≤5．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、平行線的性質、二次函數(shù)的最值問題、判別式的應用以及等腰直角三角形的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．9．已知點A（﹣1，2）、B（3，6）在拋物線y=ax2+bx上(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點F的坐標為（0，m）（m＞2），直線AF交拋物線于另一點G，過點G作x軸的垂線，垂足為H．設拋物線與x軸的正半軸交于點E，連接FH、AE，求證：FH∥AE；(3)如圖2，直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點．點P從點C出發(fā)，沿射線CD方向勻速運動，速度為每秒個單位長度；同時點Q從原點O出發(fā)，沿x軸正方向勻速運動，速度為每秒1個單位長度．點M是直線PQ與拋物線的一個交點，當運動到t秒時，QM=2PM，直接寫出t的值．【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣x；(2)證明見解析；(3)當運動時間為或秒時，QM=2PM．【解析】【分析】（1）（1）A，B的坐標代入拋物線y=ax2+bx中確定解析式；（2）把A點坐標代入所設的AF的解析式，與拋物線的解析式構成方程組，解得G點坐標，再通過證明三角形相似，得到同位角相等，兩直線平行；（3）具體見詳解.【詳解】．解：（1）將點A（﹣1，2）、B（3，6）代入中， ，解得： ，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x． （2）證明：設直線AF的解析式為y=kx+m，將點A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，∴k=m﹣2，∴直線AF的解析式為y=（m﹣2）x+m．聯(lián)立直線AF和拋物線解析式成方程組， ，解得： 或 ，∴點G的坐標為（m，m2﹣m）．∵GH⊥x軸，∴點H的坐標為（m，0）．∵拋物線的解析式為y=x2﹣x=x（x﹣1），∴點E的坐標為（1，0）．過點A作AA′⊥x軸，垂足為點A′，如圖1所示．∵點A（﹣1，2），∴A′（﹣1，0），∴AE=2，AA′=2．∴ =1， = =1，∴= ，∵∠AA′E=∠FOH，∴△AA′E∽△FOH，∴∠AEA′=∠FHO，∴FH∥AE． （3）設直線AB的解析式為y=k0x+b0，將A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得 ，解得： ，∴直線AB的解析式為y=x+3，當運動時間為t秒時，點P的坐標為（t﹣3，t），點Q的坐標為（t，0）．當點M在線段PQ上時，過點P作PP′⊥x軸于點P′，過點M作MM′⊥x軸于點M′，則△PQP′∽△MQM′，如圖2所示，∵QM=2PM，∴ =，∴QM′=QP39。=2，MM′=PP39。=t，∴點M的坐標為（t﹣2， t）．又∵點M在拋物線y=x2﹣x上，∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），解得：t=；當點M在線段QP的延長線上時，同理可得出點M的坐標為（t﹣6，2t），∵點M在拋物線y=x2﹣x上，∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），解得：t=．綜上所述：當運動時間秒 或 時，QM=2PM． 【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合運用，綜合能力是解題關鍵.10．綜合與探究如圖，拋物線經過點A(2,0)，B(4,0)兩點，與軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，BC，DB，DC．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求的值；(3)在(2)的條件下，若點M是軸上的一個動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M,使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法進行求解即可；(2)作直線DE⊥軸于點E，交BC于點G，作CF⊥DE，垂足為F，先求出S△OAC=6，再根據(jù)S△BCD=S△AOC，得到S△BCD =，然后求出BC的解析式為，則可得點G的坐標為，由此可得，再根據(jù)S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得關于m的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構圖，以BD為邊時，有3種情況，由點D的坐標可得點N點縱坐標為177。，然后分點N的縱坐標為和點N的縱坐標為兩種