【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 揭示數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，有利于學(xué)生理解公因數(shù)、最大公因數(shù)概念的現(xiàn)實(shí)意義，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。當(dāng)然，從一開(kāi)始就出現(xiàn)公因數(shù)、最大公因數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，問(wèn)題解決與概念引入結(jié)合在一起，教學(xué)的難度自然要稍大些。二是根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》，這里不再由公因數(shù)或最大公因數(shù)，引進(jìn)互質(zhì)數(shù)的概念。這是精簡(jiǎn)數(shù)論初步知識(shí)的一個(gè)具體體現(xiàn)。
在此基礎(chǔ)上，教材通過(guò)例2教學(xué)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法。原來(lái)，這需要從分解質(zhì)因數(shù)講起。先將兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，從中找出公有的質(zhì)因數(shù)，同時(shí)要使學(xué)生理解，兩個(gè)數(shù)全部公有質(zhì)因數(shù)的積就是它們的最大公因數(shù)。然后再將兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)的短除法合起來(lái)，導(dǎo)出求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的短除法?，F(xiàn)在《標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)求最大公因數(shù)的要求是：“能找出兩個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)”。采用“找”的方法，就不再需要分解質(zhì)因數(shù)與短除法。事實(shí)上，即便在過(guò)去學(xué)了分解質(zhì)因數(shù)和短除法之后，也極少有學(xué)生在約分時(shí)運(yùn)用。所以這一改進(jìn)，不僅大大降低了學(xué)習(xí)的難度，而且也符合學(xué)生學(xué)習(xí)約分的實(shí)際需要。
內(nèi)容精簡(jiǎn)之后，出于拓展學(xué)生知識(shí)面的考慮，教材在練習(xí)十五前、后，各安排了一個(gè)“你知道嗎？”欄目，分別介紹怎樣利用分解質(zhì)因數(shù)的方法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，以及互質(zhì)數(shù)的概念。
本節(jié)教材的第二部分內(nèi)容約分，作為分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的直接應(yīng)用，它是化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的常用方法。學(xué)習(xí)約分，不但可以提高對(duì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，還為學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算打下基礎(chǔ)。約分時(shí)，還要用到公因數(shù)、最大公因數(shù)等知識(shí)，這些已在前面的教學(xué)中做好了準(zhǔn)備。要掌握約分的方法，除了要能很快看出分子、分母大于1的公因數(shù)之外，很重要的一點(diǎn)是能判定約分的結(jié)果是不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。
因此，教材首先通過(guò)例3，借助一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的判斷，引入最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的概念。然后通過(guò)例4，教學(xué)約分的一般方法。同時(shí)在學(xué)生會(huì)求兩數(shù)最大公因數(shù)的基礎(chǔ)上，啟發(fā)他們思考，有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法？即如能看出分子、分母的最大公因數(shù)，則用最大公因數(shù)一次約分比較簡(jiǎn)便，以此促使學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。在此基礎(chǔ)上，歸納約分的意義，并介紹了約分時(shí)的常用書(shū)寫(xiě)形式。
在本節(jié)教材中，安排了兩個(gè)練習(xí)，分別配合最大公因數(shù)與約分兩部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)。兩個(gè)練習(xí)的共同特點(diǎn)，一是練習(xí)形式比較多樣，有利于提高學(xué)生的練習(xí)興趣，提高練習(xí)的效率；二是加強(qiáng)了聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用練習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與能力。
教學(xué)建議
1. 用好教材資源，把握好聯(lián)系實(shí)際的“度”。
本單元教材在教學(xué)公因數(shù)和最大公因數(shù)概念時(shí)，采用了由實(shí)際問(wèn)題引入概念的方式。在練習(xí)中，也安排有應(yīng)用最大公因數(shù)的實(shí)際問(wèn)題。這些教材資源應(yīng)當(dāng)充分利用好。考慮到從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題大多具有一定的思維難度，因此教學(xué)時(shí)不宜過(guò)多地補(bǔ)充其他情境的類(lèi)似問(wèn)題，以免增加學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。
2. 適當(dāng)補(bǔ)充判斷3的倍數(shù)的練習(xí)。
對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，掌握約分的方法并不難，但要熟練進(jìn)行約分，關(guān)鍵在于能夠很快地看出分子、分母是否含有公因數(shù)3等。而且，判斷約分的結(jié)果是不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，即判斷分子、分母是否只有公因數(shù)1，也要判斷分子、分母是否含有大于1的公因數(shù)，才能得出結(jié)論。因此，教學(xué)中可以根據(jù)本班學(xué)生的實(shí)際情況，適當(dāng)補(bǔ)充一些判別3的倍數(shù)的練習(xí)。為學(xué)習(xí)約分提供必要的扎實(shí)基礎(chǔ)。
3. 適當(dāng)加強(qiáng)口算練習(xí)，幫助學(xué)生掌握約分方法。
約分是化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的基本手段，在分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算中應(yīng)用較多。為了幫助學(xué)生較為熟練地掌握約分的方法，行之有效的措施之一就是開(kāi)展經(jīng)常性的口算。這樣費(fèi)時(shí)不多，練習(xí)效率較高。
4. 本節(jié)內(nèi)容可以安排4課時(shí)教學(xué)。
具體內(nèi)容的說(shuō)明和教學(xué)建議
“做一做”。
編寫(xiě)意圖
（1）例1創(chuàng)設(shè)了用整塊的正方形地磚鋪滿(mǎn)長(zhǎng)方形地面的問(wèn)題情境，通過(guò)求方磚的邊長(zhǎng)及其最大值，抽象出公因數(shù)、最大公因數(shù)的概念。雖然在日常生活中經(jīng)常可以看到用方磚鋪地的情境，但小學(xué)生一般很少參與這類(lèi)勞動(dòng)，所以并無(wú)直接的體驗(yàn)。為此，教材以插圖的形式，提示學(xué)生在長(zhǎng)方形的紙上畫(huà)一畫(huà)，看看能畫(huà)出多少個(gè)正方形。讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖操作，找出正方形的邊長(zhǎng)以分米為單位，可以取哪些整數(shù)。進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，這些整數(shù)原來(lái)既是地面長(zhǎng)16的因數(shù)，又是地面寬12的因數(shù)。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得了感悟，就能為抽象出概念提供感性認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)。
這里，教材還采用了集合圈的圖示方式，使112各自的因數(shù)、公有的因數(shù)，更加鮮明、直觀地逐一凸現(xiàn)出來(lái)。
這一解決問(wèn)題、引出概念的過(guò)程，使公因數(shù)、最大公因數(shù)這兩個(gè)抽象的概念，變得非常具體、直觀，學(xué)生摸得著、看的見(jiàn)。從而增強(qiáng)了感知事實(shí)、建立概念的效果。
（2）例1下面的“做一做”，實(shí)際上是采用由學(xué)生演示的形式，將118的因數(shù)分成各自特有的與公有的因數(shù)三部分，正好對(duì)應(yīng)兩個(gè)集合圈中的三個(gè)部分。通過(guò)練習(xí)，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解因數(shù)和公因數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。
教學(xué)建議
（1）教學(xué)例1前，可以先復(fù)習(xí)因數(shù)的概念，并讓學(xué)生分別寫(xiě)出16與12的所有因數(shù)。
（2）教學(xué)例1時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)審題，使學(xué)生理解題意，在儲(chǔ)藏室的長(zhǎng)方形地面上鋪正方形磚；理解鋪地的要求，既要鋪滿(mǎn)，又要都用整塊的方磚。接著讓學(xué)生自己用正方形紙片拼擺，或在紙上畫(huà)一畫(huà)。如果采用拼擺的方法，需要準(zhǔn)備足夠數(shù)量的邊長(zhǎng)1厘米、2厘米、
3厘米、4厘米、5厘米的正方形厚紙片，并在一張紙上畫(huà)好長(zhǎng)16厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形，表示地面，讓學(xué)生把正方形紙片拼擺在長(zhǎng)方形內(nèi)，模擬鋪地磚?？紤]到完成拼擺比較費(fèi)時(shí)，當(dāng)紙片厚度不夠時(shí)操作起來(lái)比較困難，因此也可以制作多媒體課件，進(jìn)行演示，讓學(xué)生采用畫(huà)圖的方法，進(jìn)行探究。為了提高畫(huà)示意圖的效率，可以課前印好畫(huà)有長(zhǎng)方形的方格紙，發(fā)給學(xué)生每人一張，然后四人小組合作，每人選擇方磚的一種邊長(zhǎng)，試一試。只要畫(huà)滿(mǎn)一條長(zhǎng)邊，一條寬邊就可以了。
通過(guò)交流，使學(xué)生明確：要使所用的正方形地磚都是整塊的，地磚的邊長(zhǎng)必須既是16的因數(shù)，又是12的因數(shù)。于是從復(fù)習(xí)題已寫(xiě)出的16的因數(shù)、12的因數(shù)中找出公有的因數(shù)，得出問(wèn)題的答案；地磚的邊長(zhǎng)可以是1 dm、2 dm、4 dm，最大是4 dm。
然后，教師可以出示事先仿照課本上的集合圖，畫(huà)在透明紙上的兩個(gè)集合圈，再把它們往一起移動(dòng)，使兩個(gè)集合圈相交，并使公有的因數(shù)重合，成為課本中的圖示那樣。使學(xué)生形象地看出相交部分就是16和12的公因數(shù)。也可以出示相交集合圈（如右圖），讓學(xué)生自己把112的因數(shù)填寫(xiě)在圈內(nèi)適當(dāng)?shù)牟糠帧?br />在此基礎(chǔ)上給出公因數(shù)和最大公因數(shù)的描述。
（3）第80頁(yè)“做一做”的練習(xí)