20xx數(shù)學模型第三版)學習筆記(編輯修改稿)
2025-01-16 23:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 。
，是另一種重要的求解方法，大致來說思想就是：僅知道變量之間的制約關系（正/負相關），系數(shù)、階數(shù)均未知，即只能得出表達式的“形式”，要我們通過“量綱齊次性”（等式兩端必須保持量綱的一致）來確定具體的表達式。這是與按理論推導建模并列的另一種方法，這一節(jié)用
單擺、拋射等物理問題很好地詮釋了這種方法的強大。 關鍵：恰當?shù)剡x擇特征尺度，不僅可以減少獨立參數(shù)的個數(shù)，還幫助我們決定舍棄哪些次要因素。物理知識和經(jīng)驗是關鍵。
第2章小結：
本章可以總結為“初等數(shù)學知識+巧妙簡化技巧+思想”，10節(jié)涉及了不同類型的問題、數(shù)學方法，很多都是本書后面章節(jié)模型的雛形、基礎。
第3章 簡單的優(yōu)化模型
關鍵詞：簡單優(yōu)化 微分法 建模思想
本章與第4章連續(xù)兩章都是優(yōu)化、規(guī)劃的問題，可以看成一類問題——內(nèi)容上也是由簡單到復雜。在第3章中，主要是幾個簡單的優(yōu)化模型，可以歸結到函數(shù)極值問題來求解，直接用微分法。雖然模型、數(shù)學計算難不倒，但是還是那句——建模，求解之后結果分析、結果解釋的思想，是我們要學習和引入腦中的。
分不允許、允許缺貨兩種討論，中間推出一個最小費用的結果——經(jīng)濟訂貨批量公式EOQ。 對存貯量函數(shù)q(t)作圖，觀察規(guī)律，對結果解釋。
關鍵點在于敏感性分析和強健性分析——這對于優(yōu)化模型是否實用、有效是很重要的。
亮點是對火勢蔓延程度dB/dt的形式作出的數(shù)條假設，以及假設對應的實際解釋。只要合理、自圓其說，就是一個好的對實際問題的簡化。
主要是引出邊際收入、編輯支出，以及經(jīng)濟學一條著名定律——最大利潤在邊際收入等于編輯支持時達到。
是很有趣的一節(jié)，用數(shù)學模型研究生理問題，我們還是只關注建模、數(shù)學的層面，而對于血管系統(tǒng)幾何形狀等生理學知識不討論過多，用合理有力的假設代之。
一個消費者買兩種產(chǎn)品時，錢應該如何分配。分配比例使他得到最大的滿意度的最優(yōu)比例乘務消費者均衡，而建立消費者均衡模型的關鍵在于確定效用函數(shù)U(q1,q1)。
也是很有趣的問題，考慮各種因素，基于一些假設，這節(jié)研究怎樣運輸冰山使費用最小。其中用實際數(shù)據(jù)建立了經(jīng)驗公式，二是假設冰山為球形，簡化了融化規(guī)
律等的計算。
第4章 數(shù)學規(guī)劃模型
關鍵詞：數(shù)學規(guī)劃方法 lingo/lindo軟件 結果深入分析 變量個數(shù)
約束條件、可行域、目標函數(shù)，構成了常說的“數(shù)學規(guī)劃”模型。本章揭示了數(shù)學規(guī)劃的本質(zhì)，和它與傳統(tǒng)優(yōu)化數(shù)學問題的區(qū)別：常理優(yōu)化模型屬于函數(shù)極值問題的范疇，但實際中更多的是決策變量數(shù)、約束個數(shù)較大，且最優(yōu)解往往在邊界上取得的問題，因此不能用傳統(tǒng)的“微分法”求解——因此要引入“數(shù)學規(guī)劃”方法。
這一章內(nèi)容不少，但都是一類問題，主要點有幾個：
1. lingo、lindo求解的使用——運行結果中還有一些平時未留意的信息，可以作為結果分析來用，前兩節(jié)敘述較多；
2. 一些細節(jié)之處：把一句話用數(shù)學公式表達，它往往作為約束條件，如p102的式（19）；
3. 多目標規(guī)劃的處理，p109的“選課策略”——基本思想是通過加權組合形成一個新的目標，從而化為單目標規(guī)劃；
4. 同前面章節(jié)一樣地，對一個問題解出結果后，問題雖然解決了，但分析并沒有結束——我們要學習這種further discussion的精神，發(fā)現(xiàn)這個結果“恰與?相同?”之類的，不妨多問自己一句：“這是偶然的嗎？”然后繼續(xù)分析，得出一般的結論，這樣往往能看到更多的風景，得出的結論更有含金量/啟發(fā)性，而不是僅僅是解決了該個問題而已。如p109選課策略。
5. 減少變量個數(shù)，簡化模型、式子（簡化起見，同時lingo對變量個數(shù)有限制），p115銷售的例子。
6. 求最優(yōu)解時，為了減少搜索范圍，加快速度，可以先去一個特殊情況求出一個可行解，然后讓最優(yōu)解至少優(yōu)于它。
第5章 微分方程模型
關鍵詞：動態(tài)模型 合理假設 分析預測 控制
這一章是非常經(jīng)典的一章，對微分方程模型作了很好的詮釋、介紹，每一個模型都有豐富的價值。對于隨時間連續(xù)變化的對象或狀態(tài)，當我們要1）分析變化規(guī)律；2）預測；3）研究如何控制它的時候，就要建立相應的微分方程模型。 自然地，這樣的模型功能非常強大，也具有一般性，也自然地需要在簡化假設上動腦筋——如何用數(shù)學語言能表述的東西來刻畫一個實際動態(tài)過程。一個方程，有時就表示著一件事，這件事有可能還持續(xù)幾十年——多么有趣而強大。
本節(jié)是解決“傳播”、“蔓延”微分方程問題的典例，模型分三部分層層遞進：SI（只分為易感染著、已感染者），
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