20xx數(shù)學(xué)模型第三版)學(xué)習(xí)筆記(編輯修改稿)
2025-01-16 23:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。
，是另一種重要的求解方法，大致來(lái)說(shuō)思想就是：僅知道變量之間的制約關(guān)系（正/負(fù)相關(guān)），系數(shù)、階數(shù)均未知，即只能得出表達(dá)式的“形式”，要我們通過(guò)“量綱齊次性”（等式兩端必須保持量綱的一致）來(lái)確定具體的表達(dá)式。這是與按理論推導(dǎo)建模并列的另一種方法，這一節(jié)用
單擺、拋射等物理問(wèn)題很好地詮釋了這種方法的強(qiáng)大。 關(guān)鍵：恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度，不僅可以減少獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)，還幫助我們決定舍棄哪些次要因素。物理知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是關(guān)鍵。
第2章小結(jié)：
本章可以總結(jié)為“初等數(shù)學(xué)知識(shí)+巧妙簡(jiǎn)化技巧+思想”，10節(jié)涉及了不同類(lèi)型的問(wèn)題、數(shù)學(xué)方法，很多都是本書(shū)后面章節(jié)模型的雛形、基礎(chǔ)。
第3章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型
關(guān)鍵詞：簡(jiǎn)單優(yōu)化 微分法 建模思想
本章與第4章連續(xù)兩章都是優(yōu)化、規(guī)劃的問(wèn)題，可以看成一類(lèi)問(wèn)題——內(nèi)容上也是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜。在第3章中，主要是幾個(gè)簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型，可以歸結(jié)到函數(shù)極值問(wèn)題來(lái)求解，直接用微分法。雖然模型、數(shù)學(xué)計(jì)算難不倒，但是還是那句——建模，求解之后結(jié)果分析、結(jié)果解釋的思想，是我們要學(xué)習(xí)和引入腦中的。
分不允許、允許缺貨兩種討論，中間推出一個(gè)最小費(fèi)用的結(jié)果——經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式EOQ。 對(duì)存貯量函數(shù)q(t)作圖，觀察規(guī)律，對(duì)結(jié)果解釋。
關(guān)鍵點(diǎn)在于敏感性分析和強(qiáng)健性分析——這對(duì)于優(yōu)化模型是否實(shí)用、有效是很重要的。
亮點(diǎn)是對(duì)火勢(shì)蔓延程度dB/dt的形式作出的數(shù)條假設(shè)，以及假設(shè)對(duì)應(yīng)的實(shí)際解釋。只要合理、自圓其說(shuō)，就是一個(gè)好的對(duì)實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)化。
主要是引出邊際收入、編輯支出，以及經(jīng)濟(jì)學(xué)一條著名定律——最大利潤(rùn)在邊際收入等于編輯支持時(shí)達(dá)到。
是很有趣的一節(jié)，用數(shù)學(xué)模型研究生理問(wèn)題，我們還是只關(guān)注建模、數(shù)學(xué)的層面，而對(duì)于血管系統(tǒng)幾何形狀等生理學(xué)知識(shí)不討論過(guò)多，用合理有力的假設(shè)代之。
一個(gè)消費(fèi)者買(mǎi)兩種產(chǎn)品時(shí)，錢(qián)應(yīng)該如何分配。分配比例使他得到最大的滿(mǎn)意度的最優(yōu)比例乘務(wù)消費(fèi)者均衡，而建立消費(fèi)者均衡模型的關(guān)鍵在于確定效用函數(shù)U(q1,q1)。
也是很有趣的問(wèn)題，考慮各種因素，基于一些假設(shè)，這節(jié)研究怎樣運(yùn)輸冰山使費(fèi)用最小。其中用實(shí)際數(shù)據(jù)建立了經(jīng)驗(yàn)公式，二是假設(shè)冰山為球形，簡(jiǎn)化了融化規(guī)
律等的計(jì)算。
第4章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)規(guī)劃方法 lingo/lindo軟件 結(jié)果深入分析 變量個(gè)數(shù)
約束條件、可行域、目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)成了常說(shuō)的“數(shù)學(xué)規(guī)劃”模型。本章揭示了數(shù)學(xué)規(guī)劃的本質(zhì)，和它與傳統(tǒng)優(yōu)化數(shù)學(xué)問(wèn)題的區(qū)別：常理優(yōu)化模型屬于函數(shù)極值問(wèn)題的范疇，但實(shí)際中更多的是決策變量數(shù)、約束個(gè)數(shù)較大，且最優(yōu)解往往在邊界上取得的問(wèn)題，因此不能用傳統(tǒng)的“微分法”求解——因此要引入“數(shù)學(xué)規(guī)劃”方法。
這一章內(nèi)容不少，但都是一類(lèi)問(wèn)題，主要點(diǎn)有幾個(gè)：
1. lingo、lindo求解的使用——運(yùn)行結(jié)果中還有一些平時(shí)未留意的信息，可以作為結(jié)果分析來(lái)用，前兩節(jié)敘述較多；
2. 一些細(xì)節(jié)之處：把一句話(huà)用數(shù)學(xué)公式表達(dá)，它往往作為約束條件，如p102的式（19）；
3. 多目標(biāo)規(guī)劃的處理，p109的“選課策略”——基本思想是通過(guò)加權(quán)組合形成一個(gè)新的目標(biāo)，從而化為單目標(biāo)規(guī)劃；
4. 同前面章節(jié)一樣地，對(duì)一個(gè)問(wèn)題解出結(jié)果后，問(wèn)題雖然解決了，但分析并沒(méi)有結(jié)束——我們要學(xué)習(xí)這種further discussion的精神，發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果“恰與?相同?”之類(lèi)的，不妨多問(wèn)自己一句：“這是偶然的嗎？”然后繼續(xù)分析，得出一般的結(jié)論，這樣往往能看到更多的風(fēng)景，得出的結(jié)論更有含金量/啟發(fā)性，而不是僅僅是解決了該個(gè)問(wèn)題而已。如p109選課策略。
5. 減少變量個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)化模型、式子（簡(jiǎn)化起見(jiàn)，同時(shí)lingo對(duì)變量個(gè)數(shù)有限制），p115銷(xiāo)售的例子。
6. 求最優(yōu)解時(shí)，為了減少搜索范圍，加快速度，可以先去一個(gè)特殊情況求出一個(gè)可行解，然后讓最優(yōu)解至少優(yōu)于它。
第5章 微分方程模型
關(guān)鍵詞：動(dòng)態(tài)模型 合理假設(shè) 分析預(yù)測(cè) 控制
這一章是非常經(jīng)典的一章，對(duì)微分方程模型作了很好的詮釋、介紹，每一個(gè)模型都有豐富的價(jià)值。對(duì)于隨時(shí)間連續(xù)變化的對(duì)象或狀態(tài)，當(dāng)我們要1）分析變化規(guī)律；2）預(yù)測(cè)；3）研究如何控制它的時(shí)候，就要建立相應(yīng)的微分方程模型。 自然地，這樣的模型功能非常強(qiáng)大，也具有一般性，也自然地需要在簡(jiǎn)化假設(shè)上動(dòng)腦筋——如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言能表述的東西來(lái)刻畫(huà)一個(gè)實(shí)際動(dòng)態(tài)過(guò)程。一個(gè)方程，有時(shí)就表示著一件事，這件事有可能還持續(xù)幾十年——多么有趣而強(qiáng)大。
本節(jié)是解決“傳播”、“蔓延”微分方程問(wèn)題的典例，模型分三部分層層遞進(jìn)：SI（只分為易感染著、已感染者），
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