【正文】 i ??? xxx。 4 (4) , (5) 第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章 ,0 時(shí)?x xxx s in,3 2 都是無窮小 , 第七節(jié) 引例 . xxx 3lim20? ,0?20si nlimxxx? ,??xxx 3si nlim0?,31?但 可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 無窮小的比較 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0l i m ?? Ck??定義 . ,0lim ???若 則稱 ? 是比 ? 高階 的無窮小 , )(?? o?,lim ????若 若 若 ,1lim ???若 ?? ~?? ~,0lim ?? C??或 ??,設(shè) 是自變量同一變化過程中的無窮小 , 記作 則稱 ? 是比 ? 低階 的無窮小 。 且 有定義 , 存在 。 6 提示 : “反之” 不成立 . 第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十節(jié) 一 、最值定理 二、介值定理 *三、一致連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意 : 若函數(shù)在 開區(qū)間 上連續(xù) , 結(jié)論不一定成立 . 一 、最值定理 定理 閉區(qū)間 上連續(xù)的函數(shù) 即 : 設(shè) ,],[)( baCxf ?1? 2?則 ,],[, 21 ba?? ?? 使 )(m i n)( 1 xff bxa ????)(m a x)( 2 xff bxa ????值和最小值 . 或在閉區(qū)間內(nèi) 有間斷 在該區(qū)間上一定有最大 (證明略 ) 點(diǎn) , xya b)( xfy ?O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如 , 無最大值和最小值 22也無最大值和最小值 又如 , xy11OxyO 11目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1? 2?mM二、介值定理 由定理 1 可知有 ,)(m a x ],[ xfM bax ?? )(m i n ],[ xfm bax ??證 : 設(shè) 上有界 . 定理 2. ( 零點(diǎn)定理 ) 至少有一點(diǎn) 且 使 ( 證明略 ) 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界 . b xya)( xfy ?O? xyab)( xfy ?O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 3. ( 介值定理 ) 設(shè) ,],[)( baCxf ? 且 ,)( Aaf ?,)( BABbf ?? 則對(duì) A 與 之間的任一數(shù) C , 一點(diǎn) 證 : 作輔助函數(shù) Cxfx ?? )()(?則 ,],[)( baCx ?? 且 )()( ba ?? ))(( CBCA ???故由零點(diǎn)定理知 , 至少有一點(diǎn) 使 即 推論 : 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) C?使 至少有 必取得介于最小值與 最大值之間的任何值 . xAbya)( xfy ?BO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 O 1 x例 . 證明方程 一個(gè)根 . 證 : 顯然 又 故據(jù)零點(diǎn)定理 , 至少存在一點(diǎn) 使 即 說明 : ,21?x ,0)( 8121 ??f內(nèi)必有方程的根 。 最值定理 。 9 (2) , (3) , (6) 。上述數(shù)據(jù)基本證實(shí)同仁堂內(nèi)部資料顯示其藥酒江西銷量約 8 0 0 0萬元、湖南約 9 0 0 0 萬左右比較真實(shí)可信。 11 。 介值定理 . 3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 例 2. 設(shè)函數(shù) 在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = . 提示 : 20)c o s1(lim)0(xxafx?????2a?221~c o s1 xx?)(lnlim)0( 20xbfx?? ???bln?ba ln12 ??2 e目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有無窮間斷點(diǎn) 及可去間斷點(diǎn) 解 : 為無窮間斷點(diǎn) , ???? ?? )1)((elim0 xaxbxx所以 bxaxxx ???? e)1)((l i m0 ba??1 0?1,0 ?? ba為可去間斷點(diǎn) , )1(elim 1 ??? ? xx bxx 極限存在 0)(elim 1 ??? bxx eelim 1 ?? ? xxb例 3. 設(shè)函數(shù) 試確定常數(shù) a 及 b . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 4. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間 上 , , 若 f (x) 在 連續(xù) , 提示 : )(lim 0 xxfx ???? )]()([lim0 xfxfx ??? ??)0()( fxf ??)0( ?? xf )( xf?閱讀與練習(xí) 且對(duì)任意實(shí)數(shù) 證明 f (x) 對(duì)一切 x 都連續(xù) . P65 題 1 , 3(2) 。 ),( 4321 ? 可用此法求近似根 . 二分法 ????在區(qū)間 內(nèi)至少有 則 則 4321內(nèi)容小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三 . 一致連續(xù)性 已知函數(shù) 在區(qū)間 I 上連續(xù) , 即 : 一般情形 , ., 0 都有關(guān)與 x?? 就引出 了一致連續(xù)的概念 . 定義 : 對(duì) 任意 的 都有 在 I 上一致連續(xù) . 顯然 : 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如 , 但不一致連續(xù) . 因?yàn)? 取點(diǎn) 則 可以任意小 但 這說明 在 ( 0 , 1 ] 上不一致連續(xù) . 定理 4. 上一致連續(xù) . (證明略 ) 思考 : P74 題 *7 提示 : 設(shè) 存在 , 作輔助函數(shù) 顯然 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 在 上達(dá)到最大值與最小值 。 (3) 函數(shù) 存在 , 但 )()(lim 00xfxfxx??不連續(xù) : 設(shè) 在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形 這樣的點(diǎn) 之一 , 函數(shù) f (x) 在點(diǎn) 雖有定義 , 但 雖有定義 , 且 稱為 間斷點(diǎn) . 在 無定義 。 則稱 ? 是關(guān)于 ? 的 k 階 無窮小 。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、 兩個(gè)重要極限 一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 及夾逼準(zhǔn)則 第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則及 兩個(gè)重要極限 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則 1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 定理 1. Axfxx??)(lim0? ?:nx? ,0xx n ? 有定義 , ),(0 ??? nxx nAxf nn ??? )(lim為確定起見 , 僅討論 的情形 . 0xx ?有 )( nxf??x??nx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 1. Axfxx ?? )(li m 0)(,0 nn xfxx ?有定義 , 且 設(shè) ,)(lim0Axfxx ?? 即 ,0??? ,0??? 當(dāng) 有 .)( ??? Axf? ?:nx? )(,0 nn xfxx ? 有定義 , 且 對(duì)上述 ? , 時(shí) , 有 于是當(dāng) Nn ? 時(shí) .)( ??? Axf n故 Axf nn ??? )(l im可用反證法證明 . (略 ) .)(li m Axf nn ???有 證： 當(dāng) ??xyA? ?,N?“ ” “ ” 0xO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 1. Axfxx ?? )(lim 0)(,0 nn xfxx ? 有定義 且 .)(li m Axf nn ???有 說明 : 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 . 法 1 找一個(gè)數(shù)列 ,0xx n ?不存在 . )(l i m nn xf??使法 2 找兩個(gè)趨于 的不同數(shù)列 ? ?nx 及 ? ?,nx? 使 )(li m nn xf?? )(lim nn xf ?? ??)( ??x)( ??nx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1. 證明 不存在 . 證 : 取兩個(gè)趨于 0 的數(shù)列 π21nx n ? 及 2ππ21???nx n有 nn x1si nlim??nn x???1si nlim由定理 1 知 不存在 . ),2,1( ??n0π2sinl i m ?? ?? nn1)π2s in (lim 2π ??