高等數(shù)學(xué)中極限問(wèn)題的解法詳析(完整版)
【正文】 因?yàn)?lnu 在點(diǎn) 處連續(xù) 所以 ＝ ＝ ＝16：利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限： 無(wú)窮小量的性質(zhì)：無(wú)窮小量與有界量的乘積還是無(wú)窮小量。通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算。 例：[1] 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。如函數(shù)y＝f(x)在處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的定義，都是用極限來(lái)定義的。 (1)夾逼準(zhǔn)則：若一正整數(shù) N,當(dāng)nN時(shí)，有且則有 . 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從的表達(dá)式中，通常通過(guò)放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列和 ，使得。根據(jù)定理有極限，而且極限唯一。例：求 f(x)在x=0的左右極限 解：＝1 ＝1 5：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限。首先要選好f(x)。 例：求 解：由于 ＝ 可取函數(shù) f(x)＝區(qū)間為上述和式恰好是 在 上n等分的積分和?！窘狻坷?：(1)；(2)已知，求。【解】因?yàn)椤 ∮帧 ∷浴 。剑?2．單調(diào)有界數(shù)列的極限問(wèn)題例18：設(shè)數(shù)列滿足（Ⅰ）證明存在，并求該極限；（Ⅱ）計(jì)算. 【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來(lái)證明數(shù)列極限的存在. 【詳解】 （Ⅰ）因?yàn)?，則.可推得 ，則數(shù)列有界.于是 ，（因當(dāng)）， 則有，可見(jiàn)數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設(shè)，在兩邊令，得 ，解得，即.（Ⅱ） 因 ，由（Ⅰ）知該極限為型， (使用了羅必塔法則)故 .。例7：求極限【解】 .例8：求極限【解】6．用羅必塔法則求極限例9：求極限【說(shuō)明】或型的極限,可通過(guò)羅必塔法則來(lái)求。 例：[3] 求 解：令 則 ＝＝＝1附:各種求極限問(wèn)題及解題方法1．約去零因子求極限例1：求極限【說(shuō)明】表明無(wú)限接近，但，所以這一零因子可
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