【正文】 現(xiàn)任阿里巴巴集團主席和首席執(zhí)行官，他是 《 福布斯 》 雜志創(chuàng)辦 50多年來成為封面人物的首位大陸企業(yè)家，曾獲選為未來全球領袖。 常用等價無窮小 : 4. 兩個重要極限 6. 判斷極限不存在的方法 ~sin x x ~c o s1 x? 221x~a rc sin x x~1e ?x x ~1)1( ?? ?x x?5. 求極限的基本方法 或 注 : 代表相同的表達式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 7. 求下列極限： )s in1(s inlim)1( xxx ?????xxx si n π112lim)2( ?? ? ?xxxxc o t110l i m)3( ???提示 : xx s in1s in)1( ??21c o s21sin2 xxxx ?????21c o s)1(21sin2 xxxx?????無窮小 有界 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令 1lim)2( ?x1?? xt0lim?? t )1(sin π)2(???ttt0lim?? t tttsinπ)2( ?0lim?? t tttπ)2( ?π2?xxsinπ12?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0lim)3( ?x? ? xxx c o t11 ??0lim?? xxxx c o t)121(??e?xxxx ??? 1212 ~)1(ln2e?則有 ? ? )()(1lim0xvxx xu??復習 : 若 ,0)(l i m0?? xuxx ,)(lim0??? xvxxe?e?)()(lim0xuxvxx ?)(lim 12s inc o s0 xxxxx ?? ??1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 8. 確定常數(shù) a , b , 使 解 : 原式可變形為 0)1(lim 3 1 3 ?????? xbxx ax0)1(lim 3 1 3 ????? ?? xbxx a故 ,01 ??? a 于是 ,1??a 而 23 33 23 1)1(1limxxxxx ?????? ???目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 9. 當 0?x 時 , 3 2 xx ?是 的幾階無窮小 ? 解 : 設其為 x 的 k 階無窮小 , 則 kx xxx3 20lim ?? 0?? C因 kx xxx3 20lim ??3320l i m kx xxx ???3 30)1(lim 2321 xx kx?? ??故 61?k目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 閱讀與練習 1. 求 的間斷點 , 并判別其類型 . 解 : )1)(1( s i n)1(l i m 1 ????? xxx xxx 1sin21? x = –1 為第一類 可去間斷點 ??? )(lim 1 xfx x = 1 為第二類 無窮間斷點 ,1)(lim 0 ???? xfx 1)(lim 0 ??? xfx x = 0 為第一類 跳躍間斷點 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 求 解 : ????????????? xxxxxsi ne1e2l i m 410 ???????????????? ? xxxxxxsin1ee2lim4340e1?????????????? xxxxxsi ne1e2l i m 410 ?????????????? xxxxxsi ne1e2lim 410 1?原式 = 1 (2022考研 ) 注意此項含絕對值 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè) P75 4 (1) , (4) 。 在 在 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 任給一張面積為 A 的紙片 (如圖 ), 證明必可將它 思考與練習 一刀剪為面積相等的兩片 . 提示 : 建立坐標系如圖 . xOy??則面積函數(shù) ],[)( ??? CS ?因 ,0)( ??S AS ?)(?故由介值定理可知 : ,),(0 ??? ?? .2)( 0 AS ??使)(?S?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則 證明至少存在 使 提示 : 令 則 易證 2. 設 作業(yè) P74 (習題 1－ 10） 2 。 ,1 時當 ??x ?? xx1 ,?? 0)( ?? xf,1 時當 ??x ?? xx1 ,?? 1)( ?? xf故 1?x 為跳躍間斷點 . ,1,0 處在 ?x .)( 連續(xù)xf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、連續(xù)函數(shù)的運算法則 第九節(jié) 二、初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的運算與 初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 2. 連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增 . 在其定義域內(nèi)連續(xù) 一、連續(xù)函數(shù)的運算法則 定理 1. 在某點連續(xù)的 有限個 函數(shù)經(jīng) 有限次 和 , 差 , 積 , ( 利用極限的四則運算法則證明 ) 商 (分母不為 0) 運算 , 結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù) . 例如 , 例如 , xy sin? 在 上連續(xù)單調(diào)遞增， 其反函數(shù) xy a rc s in?(遞減 ) (證明略 ) 在 [?1, 1]上也連續(xù)單調(diào) (遞減 ) 11?xOy2π2π?遞增 . xsinxarcsin目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 3. 連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的 . 在 上連續(xù) 其反函數(shù) 在 上也連續(xù)單調(diào)遞增 . 證 : 設函數(shù) .)( 00 ux ??于是 )(li m0ufuu ? )]([ 0xf ??故復合函數(shù) 又如 , 且 即 xyOxy ln?exy ?11單調(diào) 遞增 , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如 , 是由連續(xù)函數(shù)鏈 *R?x因此 在 *R?x 上連續(xù) . 復合而成 , xy1si n?xyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1 . 設 均在 上連續(xù) , 證明函數(shù) 也在 上連續(xù) . 證 : )()( xgxf ?)()( xgxf ??根據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則 , 可知 也在 上 連續(xù) . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù) 一切初等函數(shù)在 定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 例如 , 21 xy ?? 的連續(xù)區(qū)間為 (端點為單側(cè)連續(xù) ) xy s inln? 的連續(xù)區(qū)間為 1c o s ?? xy 的定義域為 因此它無連續(xù)點 而 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 2. 求 解 : 原式 例 3. 求 解 : 令 ,1?? xat 則 ,)1(lo g tx a ??原式 )1(l o glim 0 ttat ???說明 : 由此可見當 時 , 有 ~)1ln ( x? ~1e ?xx x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 4. 求 解 : 原式 )21l n (si n3 xx ?x3說明 : 若 ,0)(lim0?? xuxx 則有 ? ? ??? )()(1l i m0xvxx xu,)(lim0??? xvxxee?)()(lim0xuxvxx ?x2?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ???????1,41,)(xxxxx?例 5. 設 解 : 討論復合函數(shù) 的連續(xù)性 . ?1,2 ?xx1,2 ??? xx故此時連續(xù) 。 ～ xxarc sin ～ x20c o s1l i mxxx??220si n2lim xx ??又如 ， 22)(4 x 21?故 時 是關于 x 的二階無窮小 , xcos1? 221x～ 且 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1. 證明 : 當 時 , ～ 證 : ～ ?? nn ba )( ba ? 1( ?na ba n 2?? )1??? nb?例 2. 證明 : 證 : 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此 即