【正文】 ?2 4 , 0T?x時(shí)，單目標(biāo)線性規(guī)劃? ?2P的最優(yōu)函數(shù)值為 *220f ??。 1 。 1。 1 ] 。 線性目標(biāo)規(guī)劃 ? 線性規(guī)劃的不足之處 ? 上述使用的線性規(guī)劃方法雖然是最優(yōu)化理論與方法中發(fā)展得最完善、應(yīng)用面最廣的方法，但存在著一些不足，例如線性規(guī)劃難以妥善處理多目標(biāo)問題。 ? 在上述目標(biāo)函數(shù)設(shè)定的基礎(chǔ)上，線性目標(biāo)規(guī)劃用劃分優(yōu)先級(jí)的方法來處理多個(gè)目標(biāo)的相對(duì)重要性、能更好地適應(yīng)決策者的判斷 ? 線性目標(biāo)規(guī)劃通過變量定界的方法來解決多解問題，在線性目標(biāo)規(guī)劃中設(shè)計(jì)變量的數(shù)目往往大大超過目標(biāo)的數(shù)目，也常大于約束條件的數(shù)目，這樣在求解時(shí)就容易產(chǎn)生多解問題。 2 90x d d x x d d x x d d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 然后在求解過程中將目標(biāo)定為三個(gè)優(yōu)先級(jí)，則目標(biāo)函數(shù)可以表示為： ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 3 3 4f p d d p d p d d? ? ? ? ?? ? ? ? ? 線性目標(biāo)規(guī)劃 總結(jié)上述分析，可得該目標(biāo)規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)表達(dá)為： ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 3 3 41 2 1 12 2 21 2 3 31 2 4 4m in. 80 00 60 00 30 00 00 12 00 0040602 90, , 0 , 1 , 2 。 線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 這樣，我們對(duì)多目標(biāo)規(guī)劃問題個(gè)的諸多目標(biāo)函數(shù)可以建立起目標(biāo)函數(shù)方程如下： ??? ? ?C x D D E 1 1 1,l l ld d ed d e??????? ? ? ???? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?D D E E 是一個(gè)期望值向量，在例 中112e ?，線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)變成目標(biāo)函數(shù)方程： 1 2 1 12 3 12x x d d??? ? ? ? 線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)在線性目標(biāo)規(guī)劃中只是成為問題要達(dá)到的目標(biāo)之一，即成為一個(gè)目標(biāo) 約束。這是一個(gè)關(guān)于偏差變量達(dá)最小的單一的綜合性目標(biāo)，從而可將一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為 — 個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃。 ( 2) 權(quán)系數(shù) 權(quán)系數(shù)即達(dá)成函數(shù)中各自標(biāo)偏差變量的系數(shù)。如：ijf?與ijf?反映了同一級(jí)別下各偏差變量間的相互關(guān)系。 設(shè)計(jì)如下偏差變量： 2d? ：全體全時(shí)售貨員下月的停工時(shí)間；2d? ：全體全時(shí)售貨員下月的加班時(shí)間； 3d? ：全體半時(shí)售貨員下月的停工時(shí)問；3d? ：全體半時(shí)售貨員下月的加班時(shí)間。為此引進(jìn)下面的約束條件。 1 , 2 , 3i j jf p d p d p d d p d dx x d dx d dx d dd d dx d d d d i j? ? ? ? ? ???????? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? 線性目標(biāo)規(guī)劃的求解方法 ? 線性目標(biāo)規(guī)劃的序列法 ? 線性目標(biāo)規(guī)劃的多階段法 ? 線性目標(biāo)規(guī)劃的單純形法 序列法 ? 線性目標(biāo)規(guī)劃序列（序子）算法的基本思想是依達(dá)成函數(shù)中各目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)別，順序?qū)⒛繕?biāo)規(guī)劃模型分解為一系列的單一的線性規(guī)劃模型，用傳統(tǒng)的單純形方法逐一完成其求解過程。 于是得到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值 *10f ?。由最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值知道，因?yàn)?0d??，故2p優(yōu)先目標(biāo)已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)。 序列法 正如前面的方法所述，最終的這個(gè)線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解就是原來的目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)解。 1 , 2 , 3 , 4i j jf p d dx x d dddx x d dddx x d dx x d dx d d i j????????????????????? ? ? ???????? ? ? ??????? ? ? ??? ? ? ???? ? ?? 其中，約束條件 l 和約束條件 3 分別是1p目標(biāo)和2p目標(biāo)的目標(biāo)約束；約束條件 2 和約束條件 4 分別是1p目標(biāo)和2p目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)時(shí)該目標(biāo)方程中設(shè)計(jì)變量的值，這 4 個(gè)約束的條件的加入用于保證在求解當(dāng)前3p目標(biāo)最優(yōu)值時(shí)，1p目標(biāo)和2p目標(biāo)的最優(yōu)值不被改變。 ( 1) 建立由2p等級(jí)目標(biāo)構(gòu)成的單一目標(biāo)線性規(guī)劃模型如下： 241 2 3 3331 2 4 4m ins. t. 1 6 0 0 003 4 5 5 0 0 0, , 0 , 1 , 2 。 序列法 例 求解如下目標(biāo)規(guī)劃問題 ? ?1 3 2 4 3 1 21 2 1 11 2 2 21 2 3 31 2 4 4m in . 2 202302 3 36000160003 4 55000, , 0 , 1 , 2 。應(yīng)該指出的是上 面 的約束條件可以用不同的方式 表示 出來，即在正常工作的約 束條件的右端加上 100 ：1 4 4900x d d??? ? ? 線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 根據(jù)優(yōu)先等級(jí)的約定可以得到： 1p：1d? ； 2p：21d? ； 3p：232 dd???，除了保持全體售貨員充分就業(yè)，但加倍優(yōu)先考慮全時(shí)售貨員； 4p：323 dd??? 確定4p表達(dá)形式的理由是：全時(shí)售貨員和半時(shí)售貨員每小時(shí)生產(chǎn)率的比是 5:2 ，而每小時(shí)的加班費(fèi)分別是 9 元和 4 元。在本例中， 第 二個(gè)目標(biāo)是給全時(shí)售貨員的加班時(shí)間一個(gè)限制， 不 超過 100 小時(shí)。 線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 ① 銷售目標(biāo)約束 完成 5500 銷售目標(biāo)是全時(shí)和半時(shí)售貨員全部工作時(shí)間和其生產(chǎn)率（即每小時(shí)銷售量）的函數(shù)。 1 , 2 , 3 , 4i j jf p d p d d p d d dx x d dx x d dxxx x d dx x d dx d d i j? ? ? ? ? ????????????? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ????????? ? ? ??? ? ? ???? ? ?? 從此例中可看出，線性目標(biāo)規(guī)劃比線性規(guī)劃靈活，適用于現(xiàn)實(shí)中動(dòng)態(tài)變化的多個(gè)目標(biāo)，而且還帶有從屬目標(biāo)的規(guī)劃問題。例如1d? 減少 l 元可以認(rèn)為相當(dāng)于2d? 減少 2 元或相當(dāng)于3d? 減少 4 元 。 線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 ( 2) 系統(tǒng)約束與目標(biāo)約束 系統(tǒng)約束是指對(duì)某種資源的使用加以嚴(yán)格限制的約束。 線性目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型 工廠要盡可能地把經(jīng)營(yíng)目標(biāo)與上述三個(gè)目標(biāo)靠攏，這顯然是三個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)線性規(guī)劃，如果單純追求利潤(rùn)最大化，則就是熟悉的線性規(guī)劃問題，如果需要同時(shí)考慮三個(gè)目標(biāo)，則需要采用目標(biāo)規(guī)劃的方法，引入特殊的變量來求解。若原料 A 、 B 的庫(kù)存量分別為 60 噸及 90 噸，產(chǎn)品乙的訂貨合同為 40 噸，經(jīng)過大家探討，制訂了工廠的銷售計(jì)劃，計(jì)劃認(rèn)為銷售的目標(biāo)為如下： ( 1) 先達(dá)到 120230 元的利潤(rùn)目標(biāo)； ( 2) 完成訂貨合同； ( 3) 充分利用庫(kù)存原料，不夠時(shí)可以添購(gòu)。 ? 然而，線性目標(biāo)規(guī)劃的約束條件卻有較大的靈活性。 ? 為了討論目標(biāo)規(guī)劃的概念，必需對(duì)線性規(guī)劃比較熟悉，故先復(fù)習(xí)一下線性規(guī)劃。 0 。 多目標(biāo)規(guī)劃的 MATLAB求解 多目標(biāo)規(guī)劃的 MATLAB求解 運(yùn)行結(jié)果為 ： L o c a l m i n i m u m p o s s i b l e . Co n s t ra i n t s s a t i s f i e d . fm i n i m a x s t o p p e d b e c a u s e t h e p re d i c t e d c h a n g e i n t h e o b j e c t i v e fu n c t i o n i s l e s s t h a n t h e d e f a u l t v a l u e o f t h e f u n c t i o n t o l e ra n c e a n d c o n s t ra i n t s w e re s a t i s f i e d t o w i t h i n t h e d e f a u l t v a l u e o f t h e c o n s t ra i n t t o l e ra n c e . s t o p p i n g c ri t e ri a d e t a i l s A c t i v e i n e q u a l i t i e s (t o w i t h i n o p t i o n s . T o l Co n = 1e 0 0 6 ) : l o w e r u p p e r i n e q l i n i n e q n o n l i n 1 5 x = 4 . 0 0 0 0 4 . 0 0 0 0 fv a l = 0 . 0 0 0 0 6 4 . 0 0 0 6 1 . 9 9 9 9 8 . 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 m a x fv a l = 2 . 6 8 9 7 e 0 0 8 上述結(jié)果說明當(dāng)12 4 , 4xx ??時(shí)，目標(biāo)函數(shù)? ? , 1 , 2 , . . . , 5ifi ?x的最大值達(dá)到最小，這一組的函數(shù)值為 0. 0000 ， 64. 0006 ， 1. 9999 ， 8. 0000 ， 0. 0000 ，于是最大值為 0 。 l b =[0 。 A =[3 2 。 A =[3 2 。下面介紹最常用的兩種評(píng)分方法：線性型和指數(shù)型。 在上述定義下，轉(zhuǎn)化后的單目標(biāo)規(guī)劃問題是多目標(biāo)規(guī)劃問題的有效解或者弱有效解的條件由下面兩個(gè)定理描述： 若? ?? ?h Fx是? ?Fx的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，則轉(zhuǎn)化后的單目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)解是多目標(biāo)規(guī)劃問題的有效解。當(dāng) ???λ 時(shí)， x 可能是弱有效解。當(dāng)然我們也可以采用其他評(píng)價(jià)函數(shù)的方式，例如更一般的將 (8 7) 進(jìn)行推廣，得到評(píng)價(jià)函數(shù)為： ? ?? ? ? ?? ?1*1,1pqqiiih f f q???? ? ??????F x x 且 取 整 數(shù) 值 或者是如下形式： ? ?? ? ? ?*1m a xiiiph f f????F x x 基于加權(quán)的方法 如果p個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)12, , ...,p? ? ?滿足其和為 1 ，則稱12[ , , . . . , ]Tp? ? ??λ為一組權(quán)向量，或者將12, , ...,p? ? ?稱為一組 權(quán)系數(shù) 。 多目標(biāo)規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型 ? 目標(biāo)規(guī)范化 多目標(biāo)規(guī)劃的解集 ? 直觀理解 1A2A 3A4A5A6A7AO2f1f多目標(biāo)規(guī)劃的解集 ? 絕對(duì)最優(yōu)解 多目標(biāo)規(guī)劃的解集 ? 有效解與弱有效解 多目標(biāo)規(guī)劃的解集 ? 解集之間的關(guān)系 多目標(biāo)規(guī)劃的象集 多目標(biāo)規(guī)劃的象集 ? 有效點(diǎn)和弱有效點(diǎn)。 ? 多目標(biāo)規(guī)劃問題的發(fā)展 ? 多目標(biāo)規(guī)劃法（ Goal Programming，簡(jiǎn)稱 GP）也是最優(yōu)化理論和方法中的一個(gè)重要分支，它是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，為解決多目標(biāo)決策問題而發(fā)展起來的一種數(shù)學(xué)方法。第八章 多目標(biāo)規(guī)劃 概述 ? 什么是多目標(biāo)規(guī)劃問題 ? 在前面所述的最優(yōu)化問題，無論是線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃還是非線性規(guī)劃，其目標(biāo)函數(shù)都只有一個(gè)。其概念和數(shù)學(xué)模型是由 1961年提出的，經(jīng)過 Ijiri,，并逐步發(fā)展和成熟，它在經(jīng)濟(jì)管理與規(guī)劃、人力資源管理、政府管理、大型工程的最優(yōu)化等重要問題上都有廣泛的應(yīng)用。 多目標(biāo)規(guī)劃的象集 研究象集的作用在于： ( 1) 求出? ?RF中的有效點(diǎn)和弱有效點(diǎn)，就可