相似三角形模型講一線三等角問(wèn)題講義解答(存儲(chǔ)版)
【正文】 F=MF根據(jù)第（1）問(wèn)中已證△BME∽△MFC，∴=，即MF=FC，∴∠FMC=∠C，又∵∠B=∠C，∴∠FMC=∠B，∴MF∥AB延長(zhǎng)BA和CD相交于點(diǎn)G，又點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴MF是△GBC的中位線，∴MF=GB，又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴===，∴=1，即AG=AB=6，∴GB=12，∴MF=EF=6②BM=BE=3，∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，又△MEF∽△BEM，∴==1，即MF=ME，∴EF是梯形ABCD的中位線，∴EF=（AD+BC）=（3+6）=；（3）∵EF⊥CD，∴∠EFC=90176?！撸嘣O(shè)AC=3k，BC=4k，∴AB=5k=5，∴k=1，∴AC=3，BC=4；（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H．易得△EHB∽△ACB設(shè)EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC∵∠FDE=∠C=90176。當(dāng)△DEF和△ABC相似時(shí)，BE的長(zhǎng)為或．19. 解答：（1）證明：如圖2，連接DC．∵∠ACB=90176?！螩=90176。AC=6，∴BC=8，AB=10，∴CD=DB=4．過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CB于H．則可求得EH=x．∴y=4x=x（0＜x≤或5＜x≤10）．（2）取AE的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于G，連接OD．則OG=OB==（10+x），GD=CD﹣CG=4﹣（10﹣x）=x，∴OD=．若兩圓外切，則可得BC+AE=OD，∴（BC+AE）2=4OD2，∴（8+10﹣x）2=4[（10+x）2+x2] 解得x=．若兩圓內(nèi)切，得|BC﹣AE|=OD，∴（BC﹣AE）2=4OD2，∴（8﹣10+x）2=4[（10+x）2+x2]解得x=﹣（舍去），所以兩圓內(nèi)切不存在．所以，線段BE的長(zhǎng)為．（3）由題意知∠BEF≠90176?！螦=∠B=45176。∴∠EDC=∠FDB，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DE=DF；（2）解：如圖1，作DP⊥AC，DQ⊥BC，垂足分別為點(diǎn)Q，P．∵∠B=∠A，∠APD=∠BQD=90176。∴，即解得，∴．綜合1176。∴∠BEF=∠AME，∴△BEF∽△AME；解：（3）（i）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)M、N在線段AC上時(shí)，如圖，∵△BEF∽△AME，∴BE：AM=BF：AE，即：x：AM=2：（3﹣x），∴AM=，同理可證△BEF∽△CFN；∴BE：CF=BF：CN，即：x：1=2：CN，∴CN=，∵AC=AM+MN+CN，∴3=+y+，∴y=（1≤x≤3）；（ii）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)G在△ABC內(nèi)時(shí)，如備用圖一，同上可得：AM=，CN=，∵AC=AM+CN﹣MN，∴3=+﹣y，∴y=﹣（0＜x≤1）；（iii）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如備用圖二，AM=，CN=，∵AC=MN+CN﹣AM，∴3=y+﹣，∴y=（x＞3）；綜上所述：y=﹣（0＜x≤1），或∴y=（x≥1）；（4）（i）當(dāng)AE=1時(shí)，△GMN是邊長(zhǎng)為1等邊三角形，∴S△GMN=1=；（1分）（ii）當(dāng)AE=1時(shí)，△GMN是有一個(gè)角為30176。∴△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，即5：（5﹣BP）=BP：1，解得：，或，②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上，則點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP﹣5）=BP：1，解得：，③當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，則點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP+5）=BP：1，解得：．：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180176?！摺螮DF=60176?！螮+∠CAE=60176?！螦=∠A，∴△ADP∽△ABC，∴==，∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴==．∴AE=2PE．（2）由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE，∴AE=2PE=4DE，作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，∵AP=x，∴PD=x，∵PD∥HE，∴==．∴HE=x．又∵AB=2，y=（2﹣x）?x，即y=﹣x2+x．定義域是0＜x＜．另解：由△EPD∽△EAP，得==，∴PE=2DE．∴AE=2PE=4DE．∴AE=x=x，∴S△ABE=x2=x，∴=，即=，∴y=﹣x2+x．定義域是0＜x＜．（3）由△PEH∽△BAC，得=，∴PE=x?=x．當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，只有兩種情形：∠BEP=∠C=90176。EF交射線BC于點(diǎn)F．設(shè)BE=x，△BED的面積為y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）如果以線段BC為直徑的圓與以線段AE為直徑的圓相切，求線段BE的長(zhǎng)；（3）如果以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BED相似，求△BED的面積． 21．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90176。BC=2，AC=
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