【正文】 F⊥ EC 交 AD 于點(diǎn) F，連接 CF（ AD＞ AE），下列結(jié)論： ①∠ AEF=∠ BCE； ②AF+BC＞ CF； ③S△ CEF=S△ EAF+S△ CBE； ④若 = ，則 △ CEF≌△ CDF． 其中正確的結(jié)論是 ．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)） 第 6 頁（共 43 頁） 21．如圖，矩形 ABCD 中， AD= ， F 是 DA 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， G 是 CF 上一點(diǎn)，且 ∠ ACG=∠ AGC， ∠ GAF=∠ F=20176。 ∴∠ OCD= ∠ AOD= 60176。由于把矩形 ABCD 沿 EF 翻折點(diǎn) B恰好落在 AD 邊的 B′處， 所以 ∠ EFB=∠ DEF=60176。 ∵ 把矩形 ABCD 沿 EF 翻折點(diǎn) B 恰好落在 AD 邊的 B′處， ∴∠ DEF=∠ EFB=60176。則 ∠ MPC 的度數(shù)為何？（ ） A． 20 B． 35 C． 40 D． 55 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出 ∠ BCP，然后求出 ∠ MCP，再根據(jù)等邊對(duì)等角求解即可． 【解答】解： ∵ 以 B、 M 為圓心，分別以 BC 長(zhǎng) 、 MC 長(zhǎng)為半徑的兩弧相交于 P 點(diǎn)， ∴ BP=BC， MP=MC， ∵∠ PBC=70176。﹣ 55176。求出 ∠ CED=176。） =176。 ∠ OHE=∠ AHB（對(duì)頂角相等）， ∴∠ OHE=176。﹣ 176。﹣ 90176。根據(jù)正方形的判定推出即可． 【解答】（ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AB=DC， ∠ A=∠ D=90176。 由勾股定理得： AE=4x， 則 DE=5x﹣ 4x=x， ∵ AE?ED= ， ∴ 4x?x= ， 解得： x= （負(fù)數(shù)舍去）， 則 AB=3x= ， BC=5x= ， ∴ 矩形 ABCD 的面積是 AB BC= =5， 故答案為： 5． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾 股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出 x 的值，題目比較好，難度適中． 20．如圖，在矩形 ABCD 中，點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)， EF⊥ EC 交 AD 于點(diǎn) F，連接 CF（ AD＞ AE），下列結(jié)論： ①∠ AEF=∠ BCE； 第 29 頁（共 43 頁） ②AF+BC＞ CF； ③S△ CEF=S△ EAF+S△ CBE； ④若 = ，則 △ CEF≌△ CDF． 其中正確的結(jié)論是 ①③④ ．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)） 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】推理填空題． 【分析】根據(jù)同角的余角相等可得 ∠ AEF=∠ BCE，判斷出 ①正確，然后求出 △ AEF 和 △ BCE 相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得 = ，然后根據(jù)兩組邊對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似求出 △ AEF 和 △ECF，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得 ∠ AFE=∠ EFC，過點(diǎn) E 作 EH⊥ FC 于 H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得 AE=HE，利用 “HL”證明 △ AEF 和 △ HEF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 AF=FH，同理可得 BC=CH，然后求出 AF+BC=CF，判斷出 ②錯(cuò)誤；根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△ CEF=S△ EAF+S△ CBE，判斷出 ③正確；根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出 ∠ BCE=30176。 在 △ CEF 和 △ CDF 中， ， ∴△ CEF≌△ CDF（ AAS），故 ④正確， 綜上所述，正確的結(jié)論是 ①③④． 故答案為： ①③④． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn) 在于求出 △ AEF 和 △ ECF 相似并得到 ∠ AFE=∠ EFC． 第 31 頁（共 43 頁） 21．如圖，矩形 ABCD 中， AD= ， F 是 DA 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， G 是 CF 上一點(diǎn)，且 ∠ ACG=∠ AGC， ∠ GAF=∠ F=20176。 ∵∠ ACG=∠ AGC， ∴∠ CAG=180176。 在 Rt△ ABC 中， AC=2BC=2AD=2 ， 由勾股定理， AB= = = ． 故答案為： ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形 30176。﹣ ∠ OBC=90176。 第 37 頁（共 43 頁） ∵∠ A=90176。及平行四邊形的判定定理． 第 40 頁（共 43 頁） 29．如圖，將一張矩形紙片 ABCD 沿直線 MN 折疊，使點(diǎn) C 落在點(diǎn) A 處，點(diǎn) D 落在點(diǎn) E 處，直線 MN 交BC 于點(diǎn) M，交 AD 于點(diǎn) N． （ 1）求證： CM=CN； （ 2）若 △ CMN 的面積與 △ CDN 的面積比為 3： 1，求 的值． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；勾股定理；翻折變換（折疊問題）． 【分析】（ 1）由折疊的性質(zhì)可得： ∠ ANM=∠ CNM，由四邊形 ABCD 是矩形，可得 ∠ ANM=∠ CMN，則可證得 ∠ CMN=∠ CNM，繼而可得 CM=CN； （ 2）首先過點(diǎn) N 作 NH⊥ BC 于點(diǎn) H，由 △ CMN 的面積與 △ CDN 的面積比為 3： 1，易得 MC=3ND=3HC，然后設(shè) DN=x，由勾股定理，可 求得 MN 的長(zhǎng)，繼而求得答案． 【解答】（ 1）證明：由折疊的性質(zhì)可得： ∠ ENM=∠ DNM， 即 ∠ ENM=∠ ENA+∠ ANM， ∠ DNM=∠ DNC+∠ CNM， ∵∠ ENA=∠ DNC ∴∠ ANM=∠ CNM， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ ANM=∠ CMN， ∴∠ CMN=∠ CNM， ∴ CM=CN； （ 2）解：過點(diǎn) N 作 NH⊥ BC 于點(diǎn) H， 則四邊形 NHCD 是矩形， ∴ HC=DN， NH=DC， ∵△ CMN 的面積與 △ CDN 的面積比為 3： 1， 第 41 頁（共 43 頁） ∴ = = =3， ∴ MC=3ND=3HC， ∴ MH=2HC， 設(shè) DN=x，則 HC=x， MH=2x， ∴ CM=3x=CN， 在 Rt△ CDN 中， DC= =2 x， ∴ HN=2 x， 在 Rt△ MNH 中， MN= =2 x， ∴ = =2 ． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用． 30．如圖，在矩形 ABCD 中， E 是 CD 邊上的點(diǎn)，且 BE=BA，以點(diǎn) A 為圓心、 AD 長(zhǎng)為半徑作 ⊙ A 交 AB于點(diǎn) M，過點(diǎn) B 作 ⊙ A 的切線 BF，切點(diǎn)為 F． （ 1）請(qǐng)判斷直線 BE 與 ⊙ A 的位置關(guān)系，并說明 理由； （ 2）如果 AB=10， BC=5，求圖中陰影部分的面積． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算． 【專題】幾何綜合題． 第 42 頁（共 43 頁） 【分析】（ 1）直線 BE 與 ⊙ A 的位置關(guān)系是相切，連接 AE，過 A 作 AH⊥ BE，過 E 作 EG⊥ AB，再證明AH=AD 即可； （ 2）連接 AF，則圖中陰影部分的面積 =直角三角形 ABF 的面積﹣扇形 MAF 的面積． 【解答】解：（ 1）直線 BE 與 ⊙ A 的位置關(guān)系是相切， 理由如下：連接 AE，過 A 作 AH⊥ BE，過 E 作 EG⊥ AB，則四邊形 ADEG 是矩形． ∵ S△ ABE= BE?AH= AB?EG， AB=BE， ∴ AH=EG， ∵ 四邊形 ADEG 是矩形， ∴ AD=EG， ∴ AH=AD， ∴ BE 是圓的切線； （ 2）連接 AF， ∵ BF 是 ⊙ A 的切線， ∴∠ BFA=90176。．（ 1 分） ∴∠ ADE=∠ DEC，（ 1 分） ∴∠ DEC=∠ AED． 又 ∵ DF⊥ AE， ∴∠ DFE=∠ C=90176。 AB=CD， AB∥ CD， ∴∠ ABD=∠ CDB， ∴∠ EBD=∠ FDB， ∴ EB∥ DF， ∵ ED∥ BF， ∴ 四邊形 BFDE 為平行四邊形 ． （ 2）解： ∵ 四邊形 BFDE 為菱形， ∴ BE=ED， ∠ EBD=∠ FBD=∠ ABE， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD=BC， ∠ ABC=90176。 ∠ AEO=∠ BOE+∠ ABO， ∴∠ BOE+∠ ABO+∠ EAO=90176。=120176。+20176。 ∴△ AEF∽△ ECF， 第 30 頁（共 43 頁） ∴∠ AFE=∠ EFC， 過點(diǎn) E 作 EH⊥ FC 于 H， 則 AE=HE， 在 △ AEF 和 △ HEF 中， ， ∴△ AEF≌△ HEF（ HL）， ∴ AF=FH， 同理可得 △ BCE≌△ HCE， ∴ BC=CH， ∴ AF+BC=CF，故 ②錯(cuò)誤； ∵△ AEF≌△ HEF， △ BCE≌△ HCE， ∴ S△ CEF=S△ EAF+S△ CBE，故 ③正確； 若 = ，則 cot∠ BCE= = = = =2 = ， ∴∠ BCE=30176。=90176。陰影部分恰好能夠與空白部分重合， ∴ 陰影部分的面積等于空白部分的面積， ∴ 陰影部分的面積 = 矩形的面積， ∵ AB=2 ， BC=2 ， ∴ 陰影部分的面積 = 2 2 =2 ． 故答案為： 2 ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，主要利用了矩形的中心對(duì)稱性，判斷出陰影部分的面積等于矩形的面積的一半是解題的關(guān)鍵． 17．已知：如 圖，在矩形 ABCD 中， M， N 分別是邊 AD、 BC 的中點(diǎn)， E， F 分別是線段 BM， CM 的中點(diǎn)． （ 1）求證： △ ABM≌△ DCM； （ 2）判斷四邊形 MENF 是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論； （ 3）當(dāng) AD： AB= 2： 1 時(shí)，四邊形 MENF 是正方形（只寫結(jié)論，不需證明） 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；正方形的判定． 【分析】（ 1）求出 AB=DC， ∠ A=∠ D=90176。 ∵△ ADE 沿 AE 對(duì)折，點(diǎn) D 的對(duì)稱點(diǎn) F 恰好落在 BC 上， ∴∠ AFE=∠ D=90176。=176。﹣ 45176。 ∴△ ABE 是等腰直角三角形， ∴ AE= AB， ∵ AD= AB， ∴ AE=AD， 在 △ ABE 和 △ AHD 中， ， ∴△ ABE≌△ AHD（ AAS）， ∴ BE=DH， ∴ AB=BE=AH=HD， ∴∠ ADE=∠ AED= （ 180176。然后利用求出 △ ABE 是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得 AE= AB，從而得到 AE=AD，然后利用 “角角邊 ”證明 △ ABE 和 △ AHD 全等， 第 19 頁（共 43 頁） 根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 BE=DH，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出 ∠ ADE=∠ AED=176。 ∴∠ MCP=90176。=30176。=30176。 ∴△ AOB 是等邊三角形， ∴ AB=AO=4， ∴△ ABO 的周長(zhǎng)是 4+4+4=12， 故選 B． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了矩形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)角線相等且互相平分． 5．如圖，將矩形 ABCD 沿對(duì)角線 BD 折疊，使點(diǎn) C 和點(diǎn) C′重合，若 AB=2，則 C′D 的長(zhǎng)為（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D．