【正文】 則 AB=3x= ， BC=5x= ， ∴ 矩形 ABCD 的面積是 AB BC= =5， 故答案為： 5． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾 股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出 x 的值，題目比較好，難度適中． 20．如圖，在矩形 ABCD 中，點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)， EF⊥ EC 交 AD 于點(diǎn) F，連接 CF（ AD＞ AE），下列結(jié)論： ①∠ AEF=∠ BCE； 第 29 頁（共 43 頁） ②AF+BC＞ CF； ③S△ CEF=S△ EAF+S△ CBE； ④若 = ，則 △ CEF≌△ CDF． 其中正確的結(jié)論是 ①③④ ．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)） 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】推理填空題． 【分析】根據(jù)同角的余角相等可得 ∠ AEF=∠ BCE，判斷出 ①正確，然后求出 △ AEF 和 △ BCE 相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得 = ，然后根據(jù)兩組邊對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似求出 △ AEF 和 △ECF，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得 ∠ AFE=∠ EFC，過點(diǎn) E 作 EH⊥ FC 于 H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得 AE=HE，利用 “HL”證明 △ AEF 和 △ HEF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 AF=FH，同理可得 BC=CH，然后求出 AF+BC=CF，判斷出 ②錯(cuò)誤；根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△ CEF=S△ EAF+S△ CBE，判斷出 ③正確；根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出 ∠ BCE=30176。=90176。﹣ 45176。 同理 ∠ DMC=45176。根據(jù)正方形的判定推出即可． 【解答】（ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AB=DC， ∠ A=∠ D=90176。陰影部分恰好能夠與空白部分重合， ∴ 陰影部分的面積等于空白部分的面積， ∴ 陰影部分的面積 = 矩形的面積， ∵ AB=2 ， BC=2 ， ∴ 陰影部分的面積 = 2 2 =2 ． 故答案為： 2 ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，主要利用了矩形的中心對(duì)稱性，判斷出陰影部分的面積等于矩形的面積的一半是解題的關(guān)鍵． 17．已知：如 圖，在矩形 ABCD 中， M， N 分別是邊 AD、 BC 的中點(diǎn)， E， F 分別是線段 BM， CM 的中點(diǎn)． （ 1）求證： △ ABM≌△ DCM； （ 2）判斷四邊形 MENF 是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論； （ 3）當(dāng) AD： AB= 2： 1 時(shí)，四邊形 MENF 是正方形（只寫結(jié)論，不需證明） 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；正方形的判定． 【分析】（ 1）求出 AB=DC， ∠ A=∠ D=90176。 ∴ EH=cos30176。 ∠ BAF+∠ AFB=90176。﹣ 90176。 ∵△ ADE 沿 AE 對(duì)折，點(diǎn) D 的對(duì)稱點(diǎn) F 恰好落在 BC 上， ∴∠ AFE=∠ D=90176。再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得 ∠ AFE=∠D=90176。 ∴∠ EBH=∠ OHD， 在 △ BEH 和 △ HDF 中， ， ∴△ BEH≌△ HDF（ ASA）， ∴ BH=HF， HE=DF，故 ③正確； ∵ HE=AE﹣ AH=BC﹣ CD， ∴ BC﹣ CF=BC﹣（ CD﹣ DF） =BC﹣（ CD﹣ HE） =（ BC﹣ CD） +HE=HE+HE=2HE．故 ④正確； ∵ AB=AH， ∠ BAE=45176。﹣ 176。=176。 ∠ ODH=176。﹣ 176。 ∠ OHE=∠ AHB（對(duì)頂角相等）， ∴∠ OHE=176。﹣ 45176。=176。﹣ 45176。） =176。 ∴△ ABE 是等腰直角三角形， ∴ AE= AB， ∵ AD= AB， ∴ AE=AD， 在 △ ABE 和 △ AHD 中， ， ∴△ ABE≌△ AHD（ AAS）， ∴ BE=DH， ∴ AB=BE=AH=HD， ∴∠ ADE=∠ AED= （ 180176。 ∠ AEB=∠ HDF=45176。 ∠ DHO=∠ ODH=176。求出 ∠ CED=176。然后利用求出 △ ABE 是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得 AE= AB，從而得到 AE=AD，然后利用 “角角邊 ”證明 △ ABE 和 △ AHD 全等， 第 19 頁（共 43 頁） 根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 BE=DH，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出 ∠ ADE=∠ AED=176。 ∴∠ AOD=∠ OBE， ∵∠ ADO=∠ OEB=90176。 ∴∠ MPC=∠ MCP=35176。﹣ 55176。 ∴∠ MCP=90176。） =55176。﹣ ∠ PBC） = （ 180176。則 ∠ MPC 的度數(shù)為何？（ ） A． 20 B． 35 C． 40 D． 55 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出 ∠ BCP，然后求出 ∠ MCP，再根據(jù)等邊對(duì)等角求解即可． 【解答】解： ∵ 以 B、 M 為圓心，分別以 BC 長(zhǎng) 、 MC 長(zhǎng)為半徑的兩弧相交于 P 點(diǎn)， ∴ BP=BC， MP=MC， ∵∠ PBC=70176。=30176。 ∴△ EFB′是等邊三角形， Rt△ A′EB′中， ∵∠ A′B′E=90176。 ∠ A=∠ A′=90176。 ∵ 把矩形 ABCD 沿 EF 翻折點(diǎn) B 恰好落在 AD 邊的 B′處， ∴∠ DEF=∠ EFB=60176。=30176。故 △ EFB′是等邊三角形，由此可得出 ∠ A′B′E=90176。 ∠ A=∠ A′=90176。由于把矩形 ABCD 沿 EF 翻折點(diǎn) B恰好落在 AD 邊的 B′處， 所以 ∠ EFB=∠ DEF=60176。 ∴△ AOB 是等邊三角形， ∴ AB=AO=4， ∴△ ABO 的周長(zhǎng)是 4+4+4=12， 故選 B． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了矩形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)角線相等且互相平分． 5．如圖，將矩形 ABCD 沿對(duì)角線 BD 折疊，使點(diǎn) C 和點(diǎn) C′重合，若 AB=2，則 C′D 的長(zhǎng)為（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得 CD=AB，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得 C′D=CD，代入數(shù)據(jù)即可得解． 【解答】解：在矩形 ABCD 中， CD=AB， ∵ 矩形 ABCD 沿對(duì)角線 BD 折疊后點(diǎn) C 和點(diǎn) C′重合， ∴ C′D=CD， ∴ C′D=AB， ∵ AB=2， ∴ C′D=2． 故選 B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的對(duì)邊相等的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 6．如圖，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，點(diǎn) B 恰好落在 AD 邊的 B′處，若 AE=2， DE=6， ∠ EFB=60176。 AC=8，則 △ ABO 的周長(zhǎng)為（ ） A． 16 B． 12 C． 24 D． 20 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)求出 AO=BO=4，得出等邊三角形 AOB，求出 AB，即可求出答案． 【解答】解： 第 11 頁（共 43 頁） ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， AC=8， ∴ AC=BD， AC=2AO， BD=2BO， ∴ AO=BO=4， ∵∠ AOD=120176。 又 ∵∠ ADC=90176。 ∴∠ OCD= ∠ AOD= 60176。然后根據(jù)直角三角形 30176。 ∴ 四邊形 ABEB1 是正方形， ∴ BE=AB=6cm， ∴ CE=BC﹣ BE=8﹣ 6=2cm． 故選 C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，判斷出四邊形 ABEB1 是正方形是解題的關(guān)鍵． 2．如圖，矩形 ABCD 的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) O， ∠ AOD=60176。 AB=AB1，然后求出四邊形 ABEB1 是正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 BE=AB，然后根據(jù) CE=BC﹣ BE，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解． 【解答】解： ∵ 沿 AE 對(duì)折點(diǎn) B 落在邊 AD 上的點(diǎn) B1 處， ∴∠ B=∠ AB1E=90176。則 ∠ MPC 的度數(shù)為何？（ ） A． 20 B． 35 C． 40 D． 55 9．如圖，矩形 ABCD 的面積為 20cm2，對(duì)角線交于點(diǎn) O；以 AB、 AO 為鄰邊做平行四邊形 AOC1B，對(duì)角線交 于點(diǎn) O1；以 AB、 AO1 為鄰邊做平行四邊形 AO1C2B； …；依此類推，則平行四邊形 AO4C5B 的面積為（ ） A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2 第 3 頁（共 43 頁） 10．如圖，已知四邊形 ABCD 是矩形，把矩形沿直線 AC 折疊，點(diǎn) B 落在點(diǎn) E 處，連接 DE．若 DE： AC=3：5，則 的值為（ ） A． B． C． D． 11．（ 2022?南京）如圖，在矩形 AOBC 中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（﹣ 2， 1），點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)是 4，則 B、 C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（ ） A．（ ， 3）、（﹣ ， 4） B．（ ， 3）、（﹣ ， 4） C．（ ， ）、（﹣ ， 4） D．（ ，）、（﹣ ， 4） 12．如圖，在矩形 ABCD 中， AD= AB， ∠ BAD 的平分線交 BC 于點(diǎn) E， DH⊥ AE 于點(diǎn) H，連接 BH 并延長(zhǎng)交 CD 于點(diǎn) F，連接 DE 交 BF 于點(diǎn) O，下列結(jié)論： ①∠ AED=∠ CED； ②OE=OD； ③BH=HF； ④BC﹣ CF=2HE； ⑤AB=HF， 其中正確的有（ ） A． 2 個(gè) B． 3 個(gè) C． 4 個(gè) D． 5 個(gè) 13．如圖，點(diǎn) E 是矩形 ABCD 的邊 CD 上一點(diǎn)，把 △ ADE 沿 AE 對(duì)折，點(diǎn) D 的對(duì)稱點(diǎn) F 恰好落在 BC 上，已知折痕 AE=10 cm，且 tan∠ EFC= ，那么該矩形的周長(zhǎng)為（ ） 第 4 頁（共 43 頁） A． 72cm B． 36cm C． 20cm D． 16cm 二、填空題（共 11 小題） 14．如圖，若將四根木條釘成的矩形 ABCD 變形為 ?FBCE 的形狀， EF 交 CD 于點(diǎn) H，已知 AB=20cm，BC=30cm，當(dāng)矩形 ABCD 的面積是 ?FBCE 面積的 2 倍時(shí)，四邊形 FBCH 的面積為 ． 15．如圖， O 是矩形 ABCD 的對(duì)角線 AC 的中點(diǎn)， M 是 AD 的中點(diǎn)．若 AB=5， AD=12，則四邊形 ABOM的周長(zhǎng)為 ． 16．如圖，矩形 ABCD 中，點(diǎn) E、 F 分別是 AB、 CD 的中點(diǎn)，連接 DE 和 BF，分別取 DE、 BF 的中點(diǎn) M、N，連接 AM， CN， MN，若 AB=2 ， BC=2 ，則圖中陰影部分的面積為 ． 17．已知：如圖，在矩形 ABCD 中， M， N 分別是邊 AD、 BC 的中點(diǎn)， E， F 分別是線段 BM， CM 的中點(diǎn)． （ 1）求證： △ ABM≌△ DCM； （ 2）判斷四邊形 MENF 是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論； （ 3）當(dāng) AD： AB= 時(shí)，四邊形 MENF 是正方形（只寫結(jié)論，不需證明） 第 5 頁（共 43 頁） 18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC 的頂點(diǎn) A、 C 的坐標(biāo) 分別為（ 10， 0），（ 0， 4），點(diǎn) D 是OA 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 在 BC 上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) △ ODP 是腰長(zhǎng)為 5 的等腰三角形時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ． 19．如圖，在矩形 ABCD 中， = ，以點(diǎn) B 為圓心