【正文】 （ 1）求證： DF為 ⊙ O的切線； （ 2）若 等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為 4，求 DF 的長(zhǎng)； （ 3）寫(xiě)出求圖中陰影部分的面積的思路．（不求計(jì)算結(jié)果） 第 6頁(yè)（共 35頁(yè)） 25．已知：拋物線 y=x2+（ 2m﹣ 1） x+m2﹣ 1經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng) x＜ 0時(shí)， y隨 x的增大而減小． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）結(jié)合圖象寫(xiě)出， 0＜ x＜ 4時(shí)，直接寫(xiě)出 y的取值范圍 ； （ 3）設(shè)點(diǎn) A是該拋物線上位于 x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A作 x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn) D，再作 AB⊥ x軸于點(diǎn) B， DC⊥ x軸于點(diǎn) C．當(dāng) BC=1時(shí)，求出矩形 ABCD的周長(zhǎng)． 26．閱讀下面材料： 如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線 y1=ax+b與雙曲線 y2= 交于 A（ 1， 3）和 B（﹣ 3，﹣ 1）兩點(diǎn)． 觀察圖象可知： ① 當(dāng) x=﹣ 3或 1時(shí)， y1=y2； ② 當(dāng)﹣ 3＜ x＜ 0或 x＞ 1時(shí)， y1＞ y2，即通過(guò)觀察函數(shù)的圖象，可以得到不等式 ax+b＞ 的解集． 有這樣一個(gè)問(wèn)題：求不等式 x3+4x2﹣ x﹣ 4＞ 0的解集． 某同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)以上知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)求不等式 x3+4x2﹣ x﹣ 4＞ 0的解集進(jìn)行了探究． 下面是他的探究過(guò)程，請(qǐng)將（ 2）、（ 3）、（ 4）補(bǔ)充完整： 第 7頁(yè)（共 35頁(yè)） （ 1）將不等式按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化： 當(dāng) x=0時(shí)，原不等式不成立； 當(dāng) x＞ 0時(shí)，原不等式 可以轉(zhuǎn)化為 x2+4x﹣ 1＞ ； 當(dāng) x＜ 0時(shí)，原不等式可以轉(zhuǎn)化為 x2+4x﹣ 1＜ ； （ 2）構(gòu)造函數(shù)，畫(huà)出圖象 設(shè) y3=x2+4x﹣ 1， y4= ，在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象． 雙曲線 y4= 如圖 2所示，請(qǐng)?jiān)诖俗鴺?biāo)系中畫(huà)出拋物線 y3=x2+4x﹣ 1；（不用列表） （ 3）確定兩個(gè)函數(shù)圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo) 觀察所畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，猜想并通過(guò)代入函數(shù)解析式驗(yàn)證可知：滿足 y3=y4的所有 x的值為 ； （ 4）借助圖象，寫(xiě)出解集 結(jié)合（ 1）的討論結(jié)果，觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象可知：不等式 x3+4x2﹣ x﹣ 4＞ 0的解集 為 ． 三．解答題（共 22分， 27 題 7分， 28題 7分， 29題 8分） 27．在 △ ABC中， ∠ ACB為銳角．點(diǎn) D為射線 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AD，將線段 AD 繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。 ， D 是 的中點(diǎn)，連接 DB， DC，則 ∠ DBC的度數(shù)為（ ） A． 30176。 第 1頁(yè)（共 35頁(yè)） 20222022學(xué)年北京 XX中 學(xué) 九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本題共 30分，每小題 3分）在下列各題的四個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是正確的． 1．二次函數(shù) y=（ x﹣ 5） 2+7 的最小值是（ ） A．﹣ 7 B． 7 C．﹣ 5 D． 5 2．下圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列語(yǔ)句中錯(cuò)誤的是（ ） A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的兩條弧 C．三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn) D．三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 4．如圖，陰影部分 組成的圖案既是關(guān)于 x軸成軸對(duì)稱的圖形又是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) O 成中心對(duì)稱的圖形．若點(diǎn) A的坐標(biāo)是（ 1， 3），則點(diǎn) M和點(diǎn) N的坐標(biāo)分別是（ ） A． M（ 1，﹣ 3）， N（﹣ 1，﹣ 3） B． M（﹣ 1，﹣ 3）， N（﹣ 1， 3） C． M（﹣ 1，﹣ 3）， N（ 1，﹣ 3） D． M（﹣ 1， 3）， N（ 1，﹣ 3） 5．若一個(gè)扇形的半徑是 18cm，且它的弧長(zhǎng)是 12π cm ，則此扇形的圓心角等于（ ） A． 30176。 B． 45176。 得到 AE，連結(jié) EC．如果 AB=AC， ∠ BAC=90176。 ， 故選： D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)的公式 l= 是解題的關(guān)鍵． 6．將拋物線 y=x2平移得到拋物線 y=x2+5，下列敘述正確的是（ ） A．向上平移 5個(gè)單位 B．向下平移 5個(gè)單位 C．向左平移 5個(gè)單位 D．向右平移 5個(gè)單位 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【專題】計(jì)算題． 【分析】按照 “ 左加右減，上加下減 ” 的規(guī)律可得答案． 【解答】解：將拋物線 y=x2向上平移 5個(gè)單位得到拋物線 y=x2+5， 故選： A． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減． 7．某汽車銷售公司 2022年盈利 1500萬(wàn)元， 2022年盈利 2160萬(wàn)元，且從 2022年到 2022年，每年盈利的年增長(zhǎng)率相同．設(shè)每年盈利的年增長(zhǎng)率為 x，根據(jù)題意，所列方程正確的是（ ） A． 1500（ 1+x） +1500（ 1+x） 2=2160 B． 1500x+1500x2=2160 第 12頁(yè)（共 35頁(yè)） C． 1500x2=2160 D． 1500（ 1+x） 2=2160 【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程． 【分析】等量關(guān)系為： 2022 年盈利 （ 1+增長(zhǎng)率） 2=2022年的盈利，把相關(guān)數(shù)值代入即可． 【解答】解： 2022年的盈利為 1500 （ 1+x）， 2022 年的盈利為 1500 （ 1+x） （ 1+x） =1500（ 1+x） 2， ∴ 列的方程為 1500 （ 1+x） 2=2160， 故選 D． 【點(diǎn)評(píng)】考查求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為 a，變化后的量為 b，平均變化率為 x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為 a（ 1177。 B． 45176。 ， ∴∠ D=∠ A=80176。 【點(diǎn)評(píng)】此題是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和靈活運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵． 13．點(diǎn) A（﹣ 3， y1）， B（ 2， y2）在拋物線 y=x2﹣ 5x上，則 y1 ＞ y2．（填 “ ＞ ” ， “ ＜ ” 或 “=” ） 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】分別計(jì)算自變量為﹣ 2時(shí)的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值的大小即可． 【解答】解：當(dāng) x=﹣ 3時(shí)， y1=x2﹣ 5x=24； 當(dāng) x=2時(shí)， y2=x2﹣ 5x=﹣ 6； ∵ 24＞ ﹣ 6， ∴ y1＞ y2． 故答案為： ＞ ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)． 14．圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)是 8cm，則該正六邊形的半徑為 8 ． 【考點(diǎn)】正多邊形和圓． 【分析】求出正六邊形的中心角，連接兩個(gè)頂點(diǎn)，可得等邊三角形，于是可得到正六邊形的邊長(zhǎng)． 【解答】解：連接 OA， OB， ∵ 正六邊形， ∴∠ AOB= =60176。 ，連接 OA． （ 1）求 OA的長(zhǎng)； （ 2）若 AF是 ⊙ O的另一條弦，且點(diǎn) O到 AF的距離為 ，直接寫(xiě)出 ∠ BAF的度數(shù)． 【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理；圓周角定理． 【分析】（ 1）根據(jù)垂徑定 理求出 AD的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理求出 ∠ AOD的度數(shù)，運(yùn)用正弦的定義解答即可； （ 2）作 OH⊥ AF于 H，根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)求出 ∠ OAF的度數(shù)，分情況計(jì)算即可． 【解答】解：（ 1） ∵ OC⊥ AB， AB= ， ∴ AD=DB=2 ， ∵∠ E=30176。 ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理、圓周角定理和勾股定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用． 24．已知：如圖，以等邊三角形 ABC一邊 AB為直徑的 ⊙ O與邊 AC、 BC分別交于點(diǎn) D、 E，過(guò)點(diǎn) D作DF⊥ BC，垂足為 F． （ 1）求證： DF為 ⊙ O的切線； （ 2）若等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為 4，求 DF 的長(zhǎng)； （ 3）寫(xiě)出求圖中陰影部分的面積的思路．（不求計(jì)算結(jié)果） 【考點(diǎn)】切 線的判定；等邊三角形的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（ 1）連接 OD，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到 ∠ A=∠ C=60176。 1和﹣ 4 ； （ 4）借助圖象，寫(xiě)出解集 結(jié)合（ 1）的討論結(jié)果，觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象可知：不等式 x3+4x2﹣ x﹣ 4＞ 0的解集為 x＞ 1或﹣ 4＜ x＜ ﹣ 1 ． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）． 【分析】（ 2）首先確定二次函數(shù)的對(duì)稱軸，然后確定兩個(gè)點(diǎn)即可作出二次函數(shù)的圖象； （ 3）根據(jù)圖象即可直接求解； 第 29頁(yè)（共 35頁(yè)） （ 4）根據(jù)已知不等式 x3+4x2﹣ x﹣ 4＞ 0即當(dāng) x＞ 0時(shí)， x2+4x﹣ 1＞ ，；當(dāng) x＜ 0時(shí)， x2+4x﹣ 1＜ ，根據(jù)圖象即可直接寫(xiě)出答案． 【解答】解：（ 2） ； （ 3）兩個(gè)函數(shù)圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 177。 ， ∴ 線段 AD繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 得到點(diǎn) N，連接 AN， CN，判斷四邊形ABCN的形狀，并證明你的結(jié)論． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（ 1）根據(jù)當(dāng) x=0和 x=5時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，可得（ 5， c），根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式； （ 2）聯(lián)