【正文】 a , BBD = b , 則 AF 等于 ________． 答案 23a＋ 13b 三、解答題 9 如圖所示， E， F， G， H 分別為正方體 ABCD— A1B1C1D1 的棱 A1B1， A1D1， B1C1， D1C1 的中點． 求證： (1)E， F， D， B 四點共面； (2)平面 AEF∥平面 BDHG. 證明 （ 1）∵ 11ED EB BD EB B D? ? ? ?, ∴ ,ED EB EF 共面且具有公共點 E， ∴ E， F， D， B 四點共面 . (2)∵ E， F， G， H 分別是 A1B1， A1D1， B1C1， D1C1的中點 ， EF ＝ 12B1D1→ ＝ GH→ ， 11AF AA A F?? ＝ BB1→ ＋ B1G→ ＝ BG→ ， ∴ EF∥ GH， AF∥ BG， ∴ EF∥ 平面 BDHG， AF∥ 平面 BDHG， 又 AF∩ EF＝ F， ∴ 平面 AEF∥ 平面 BDHG. 10． 對于任何空間四邊形 ， 試證明它的一對對邊中點的連線與另一對邊平行于同一平面 ． 證明 . 如圖，利用多邊形加法法則可得， EF EA AD DF? ? ? , EF ＝ EB→ ＋ BC→ ＋ CF→ ① 又 E， F 分別是 AB， CD 的中點，故有 EA ＝ － EB→ ， DF→ ＝－ CF→ ， ② 將 ② 代入 ① 后， 兩式相加得 2EA ＝ AD→ ＋ BC→ ， ∴ 1122E F A D B C?? ， 即 EB→ 與 BC→ ， AD→ 共面， ∴ EF 與 AD， BC 平行于同一平面 ． 三、 空間向量的數(shù)量積運算 知識梳理 知識點一 求兩向量的數(shù)量積 【例 1】 如圖所示，已知正四面體 OABC 的棱長為 a，求 AB 39。39。)A B A D A B A A? ? ?=2( 39。 39。 39。 39。 39。AA A D AD??A (2) 39。 2 39。),AB AD AA?? 又由于 AB ＝ CC′→ ， AD→ ＝ BC→ ， ∴ AB ＋ AD→ ＋ AA′→ = AB ＋ BC→ ＋ CC′→ =AC ＋ CC′→ ＝ AC′→ ， ∴ AC ＋ AB′→ ＋ AD′→ ＝ 2AC′→ . 【反思感悟】 在本例的證明過程中 ,我們應(yīng)用了平行六面體的對角線向量 AC′→ = 39。2 AA EA? 又 39。AD + 39。 OC . . 解 由題意知 | AB | = |AC | = | AO | = a，且〈 AB ， AO 〉 = 120 AB ， CA 〉 = 120176。時，〈 AB ， CA→ 〉＝ 120176。 1ED = b 求OA 與 BC 所成角的余弦值 ． 解 . 因 BC AC AB??, 所以 OA . （ 2）證明 PC ＝ PD→ ＋ DC→ ， PN ＝ 12PC→ ＝ 12PD→ ＋ 12DC→ ＝ 12(AD→ － AP→ )＋ 12DC→ ， AN ＝ PN→ － PA→ ＝ PN→ ＋ AP→ ， ∴ AN ＝ 12AD ＋ 12AP→ ＋ 12DC→ ， MN ＝ AN→ － AM→ = 12AD ＋ 12AP→ ＋ 12DC→ － 12DC→ = 12AD ＋ 12AP→ ， ∵ AD⊥ AB， AP⊥ AB ∴ AD→ g＝ xlAB ＝ (OB +BC )CB→ ＋ BC→ b|a|＋ 9＝ 13. 3． 對于向量 a、 b、 c 和實數(shù) λ， 下列命題中真命題是 ( ) A． 若 aBC→ 0， BC→ (2b－ a)＝ 0. 即 2a＝ a2＋ b2＋ c2＋ ab. |CD |＝ a2＋ b2＋ c2＋ ab.＝ a2＋ b2＋ c2＋ ab. 8． 已知 |a|＝ 3 2， |b|＝ 4， m＝ a＋ b， n＝ a＋ λb，〈 a， b〉＝ 135176。(c＋ 12a) ＝ aAC = AB + AD + 39。 39。AC ＋ 3AC→ ＝ 0 D． 任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基底 答案 B 解析 使用排除法 ． 因為空間中的任何一個向量都可用其他三個不共面的向量來表示，故 A 不正確；△ ABC 為直角三角形并不一定是 AB )2 A B A D A A?? ＝ 12a＋ b＋ 12c； (3) AN = 12(AC′→ ＋ AD′→ ) ＝ 12[( 39。 【例 3】 在四面體 ABCD 中， M 為 BC 的中點， Q 為△ BCD 的重心，設(shè) AB=b AC=c AD=d， 試用 b， c， d 表示向量 BD ， BC 、 CD ， BM ， DM 和 AQ 。 DC . 解 (1） EF |BD | =41 ， 所以 EF c a (b –a ) = c （ 1） OP =21 (AB ? AC ) =21 (6 , 3 , ? 4 )={3,32 , ? 2}, 則 P 點的坐標為 {3， 23 ， ? 2） . (2)設(shè) P（ x,y,z）則， AP =（ x – 2 , y + 1 , z – 2 ） . 21 (AB AC ) = (3,23 ,2), 所以 x=5, y=21 , z=0, 故 P 點坐標為（ 5， 21 ， 0） . 知識點八 坐標運算的應(yīng)用 【例 11】 在棱長為 1 的正方體 ABCD—A1B1C1D1中 ， E、 F 分別為 D1D、 BD 的中點 ， G 在棱 CD 上 ， 且 CG＝ 14CD， H 為 C1G 的中點 ， 應(yīng)用空間向量方法求解下列問題 ． (1)求證 ： EF⊥ B1C； (2)求 EF 與 C1G 所成的角的余弦值 ； (3)求 FH 的 長 . 解 如圖所示，建立空間直角坐標系 D— xyz， D 為坐標原點，則有 E（ 0， 0， 21 ）、 F（ 21 ， 21 ， 0）、 C（ 0， 1， 0）、 C1（ 0， 1， 1）、 B1（ 1， 1， 1）、 G（ 0， 43 ， 0） . . （ 1） EF =（ 21 ， 21 ， 0） （ 0， 0， 21 ） ={21 ， 21 ， ? 21 ）， CB1 =（ 0， 1， 0） （ 1， 1， 1） =（ 1， 0， 1） . ∴ EF (2)AP = 21 (AB ? AC )。 a = 0， 且 |a| = |b| = |c| ， 而 OA1 = AA1 +AO = AA1 +21 (AB +AD )=e + 21 (a + b), BD =AD AB = b – a , OG = OC + CG =21 (AB +AD ) + 21 1CC = 21 (a + b ) 21 c ∴ OA1 {21 cb} =21 {21 a |DC | BA =41 , （ 2） EF BD 。 ④ 若空間向量 m、 n、 p滿足 m＝ n， n＝ p， 則 m＝ p； ⑤ 空間中任意兩個單位向量必相等 ． 其中假命題的個數(shù)是 ( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析 ① 假命題 ． 將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點時，它們的終點將構(gòu)成一個球面，而不是一個圓； ② 假命題 ． 根據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但 ② 中向量 a 與 b 的方向不一定相同； 與 A1C1→ 與 A1C1→ 的方向相同，模也相等，應(yīng) 有 AC→ ＝ A1C1→ ； ④ 真命題 ． 向量的相等滿足遞推規(guī)律； ⑤ 假命題 ． 空間中任意兩個單位向量模均為 1，但方向不一定相同，故不一定相等，故 ⑤ 錯 ． 故選 C. 答案 C 知識點二 空間向量的 運算 【例 2】 化簡： （ AB ? CD ） ? (AC ? BD ) 解 方法一 （ AB ? CD ） ? (AC ? BD )=AB ? CD ? AC +BD =AB +DC +CA +BD =（ AB +BD ） +（ DC +CA ） =AD +DA =0。)2 A B A D A A??＝ 12(a＋ b＋ c)； (2)AM→ ＝ 12(AC→ ＋ 39。 |?||AC ACAC AC= 852855 85 39。. (1)求 AC′的長 (如圖所示 )； (2) 求 39。a＝ 0. 又∵ 11AC ＝ A1B1→ ＋ B1C1→ ＝ AB ＋ AD→ ＝ a＋ b， DE ＝ DD1→ ＋ D1E→ ＝ DD1→ ＋ 12D1C1→ ＝ c＋ 12a. ∴ 11AC AC→ － 2BD→ b＝ 0 是 l⊥ α的 ( ) A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 答案 B 二、填空題 6． 已知向量 a、 b 滿足條件 ： |a|＝ 2， |b|＝ 2， 且 a 與 2b－ a 互相垂直 ， 則 a 與 b 的夾角為 ________． 答案 45176。c，不一定有 b＝ c. 4． 已知四邊形 ABCD 滿足 ：－ *6]b＋ 9b2＝ 1＋ 6b＝ |a| CB→ ＋ BC→ BC = 0， OB | |?||AP ANAP AN＝ 22 ， 即異面直線 PA 與 MN 所成角為 45176。BC→|OA→ ||BC→ |. ＝ 24－ 16 28 5 ＝ 3－ 2 25 . 即 OA 與 BC 所成角的余弦值為 3－ 2 25 . 【反思感悟】 在異面直線上取兩個向量，則兩異面直線所成角的問題可轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角問題 ．需注意的是：轉(zhuǎn)化前后的兩個角的關(guān)系可能相等也可能互補． 【跟蹤訓(xùn)練】 在二面角 α－ l－ β 中 ， A， B∈ α， C， D∈ l， ABCD 為矩形 ， P∈ β， PA⊥ α， 且 PA＝ AD， M、N 依次是 AB、 PC 的中點 ． (1)求二面角 α－ l－ β 的大小 ； (2)求證 ： MN⊥ AB； (3)求異面直線 PA 與 MN 所成角的大小 ． (1)解 ∵ PA⊥α， l? α ∴ PA⊥ l，又∵ AD⊥ l， PA∩ AD=A， ∴ l⊥平面 PAD，∴ l⊥ PD， 故∠ ADP 為二面角α lβ的平面角， 由 PA=AD 得∠ ADP=45176。(12b＋ a)＝－ 12|a|2＋ 14|b|2＝ 2. 知識點二 利用數(shù)量積求角 【例 2】 如圖 ， 在空間四邊形 OABC 中 ， OA＝ 8， AB＝ 6， AC＝ 4， BC＝ 5， ∠ OAC＝ 45176。c＝ c ? a2cos120176。)24A D A B A D A A? ? ? ?= 1 1 3 39。EA + 39。M N AB AD AA? ? ?? ? ?,試求α ,β ,γ的值 . 解 (1)方法一 取 AA′的中點為 E,則 1 39。)AD AA? ? ?( ) ( 39。A B B C C D A D? ? ? 知識點三 向量加減法則的應(yīng)用 【例 3】 在如圖所示的平行六面體中，求證 ： 39。 39。AA CB? (2) 39。 39。 39。A C A B A D A C? ? ? 證明 ∵ 平行六面體的六個面均為平行四邊形， ∴ ,AC AB AD?? 39。AB AD AA??,該結(jié)論可以認為向量加法的平行四邊形法則在空間的推廣 (即平行六面體法則 ). 【跟蹤訓(xùn)練】 在長方體 ABCDA1B1C1D1 中，畫出表示下列向量的有向線段 . （ 1） AB ＋ AD→ ＋ 1AA 。 39。DF = EF 方法二 取 AB 的三等分點 P 使得 23PB AB? , 取 CC′的中點 Q,則 12 39。 AB . 【跟蹤訓(xùn)練】 已知長方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， AB＝ AA1＝ 2， AD＝ 4， E 為 AB1 的中點 ， F 為 A1D1 的中點 ，試計算 ： （ 1） BC ［ 12 （ c ? a ） +b］ = | b |2 = 42 = 16 .. (2) BF BC = OA AB ＝ 0， AP→ m＋ yl ( AC→ + CB ) = OB AB ＝ BC→ |b|， 求兩直線的夾角 ． (3)利用 |a|2＝ ab＝ 0， 則 a＝ 0 或 b＝ 0 B． 若 λa＝ 0， 則 λ＝ 0 或 a＝ 0 C． 若 a2＝ b2， 則 a＝ b 或 a＝－ b D． 若 aCD→ 0， C