【正文】 GC1 =21 0+21 （ 41 ） +（ 21 ） (1)=83 , |EF |= 32 , ∴ cos〈 EEF , GC1 〉 = 11| |?||EF CGEF C G = 5117 即異面直線 EF與 C1G所成角的余弦值為 51 . （ 3）∵ F（ 21 ， 21 ， 0）、 H（ 0， 87 ， 21 ）， ∴ FH =（ 21 ， 38 ， 21 ）， ∴ |EF |= 2 2 21 3 1 1 4( ) ( ) ( ) =2 8 2 8? ? ? 【例 12】 在長(zhǎng)方體 OABC－ O1A1B1C1 中 ， |OA|＝ 2， |AB|＝ 3， |AA1|＝ 2， E 是 BC 的中點(diǎn) ， 建立空間直角坐標(biāo)系 ， 用向量方法解下列問(wèn)題 ： (1)求直線 AO1與 B1E 所成角的余弦值 ； (2)作 O1D⊥ AC 于 D， 求點(diǎn) O1 到點(diǎn) D 的距離 ． 解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． （ 1）由題意得 A（ 2， 0， 0）， O1（ 0， 0， 2）， B1（ 2， 3， 2）， E（ 1， 3， 0） . ∴ 1AO =（ 2， 0， 2）， EB1 =（ ? 1， 0， ? 2）， ∴ cos〈 1AO , EB1 〉 = 2 10102 10? ?? ∴ AO1與 B1E 所成角的余弦值為 1010 （ 2）由題意得 DO1 ⊥ AC ， AD ∥ AC ， ∵ C（ 0， 3， 0），設(shè) D（ x,y,0） , ∴ DO1 = (x,y, ? 2), AD = (x ? 2,y,0), AC = (? 2,3,0), ∴ 2 3 0,2,23xyxy? ? ????? ???? 解得18,1312,1。 （ 1） OP =21 (AB ? AC ) =21 (6 , 3 , ? 4 )={3,32 , ? 2}, 則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 {3， 23 ， ? 2） . (2)設(shè) P（ x,y,z）則， AP =（ x – 2 , y + 1 , z – 2 ） . 21 (AB AC ) = (3,23 ,2), 所以 x=5, y=21 , z=0, 故 P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 5， 21 ， 0） . 知識(shí)點(diǎn)八 坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用 【例 11】 在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD—A1B1C1D1中 ， E、 F 分別為 D1D、 BD 的中點(diǎn) ， G 在棱 CD 上 ， 且 CG＝ 14CD， H 為 C1G 的中點(diǎn) ， 應(yīng)用空間向量方法求解下列問(wèn)題 ． (1)求證 ： EF⊥ B1C； (2)求 EF 與 C1G 所成的角的余弦值 ； (3)求 FH 的 長(zhǎng) . 解 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系 D— xyz， D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有 E（ 0， 0， 21 ）、 F（ 21 ， 21 ， 0）、 C（ 0， 1， 0）、 C1（ 0， 1， 1）、 B1（ 1， 1， 1）、 G（ 0， 43 ， 0） . . （ 1） EF =（ 21 ， 21 ， 0） （ 0， 0， 21 ） ={21 ， 21 ， ? 21 ）， CB1 =（ 0， 1， 0） （ 1， 1， 1） =（ 1， 0， 1） . ∴ EF (2)AP = 21 (AB ? AC )。 a + 21 (|b|2 | a |2 OA1 ( b – a ) = c (b –a ) = c a = 0， 且 |a| = |b| = |c| ， 而 OA1 = AA1 +AO = AA1 +21 (AB +AD )=e + 21 (a + b), BD =AD AB = b – a , OG = OC + CG =21 (AB +AD ) + 21 1CC = 21 (a + b ) 21 c ∴ OA1 b = 0， b 將它沿對(duì)角線 AC 折起 ， 使 AB 與CD 成 60176。 c a {21 cb} =21 {21 a a=21 ， |a|=|b|=|c|=1， OE =21 (a+b),BF = 21 cb, OE b=b =41 ， 所以 EF |DC | DC =21 BD =21 , 所以 EF |BD | BA =41 , （ 2） EF cosBD |BD |BA = 21 |BD | DC . 解 (1） EF BD 。 BA 。 由向量共面的充要條件知， BA1 ， CB1 ， EF 是共面向量。 【例 3】 在四面體 ABCD 中， M 為 BC 的中點(diǎn)， Q 為△ BCD 的重心，設(shè) AB=b AC=c AD=d， 試用 b， c， d 表示向量 BD ， BC 、 CD ， BM ， DM 和 AQ 。 ④ 若空間向量 m、 n、 p滿(mǎn)足 m＝ n， n＝ p， 則 m＝ p； ⑤ 空間中任意兩個(gè)單位向量必相等 ． 其中假命題的個(gè)數(shù)是 ( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析 ① 假命題 ． 將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)將構(gòu)成一個(gè)球面，而不是一個(gè)圓； ② 假命題 ． 根據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但 ② 中向量 a 與 b 的方向不一定相同； 與 A1C1→ 與 A1C1→ 的方向相同，模也相等，應(yīng) 有 AC→ ＝ A1C1→ ； ④ 真命題 ． 向量的相等滿(mǎn)足遞推規(guī)律； ⑤ 假命題 ． 空間中任意兩個(gè)單位向量模均為 1，但方向不一定相同，故不一定相等，故 ⑤ 錯(cuò) ． 故選 C. 答案 C 知識(shí)點(diǎn)二 空間向量的 運(yùn)算 【例 2】 化簡(jiǎn)： （ AB ? CD ） ? (AC ? BD ) 解 方法一 （ AB ? CD ） ? (AC ? BD )=AB ? CD ? AC +BD =AB +DC +CA +BD =（ AB +BD ） +（ DC +CA ） =AD +DA =0。 答案 A 解析 當(dāng) OA→ 、 OB→ 、 OB→ 、 OC→ 不共面時(shí) ， PA→ ， PB→ ， PC→ 也不共面 ， PA→ ， PB→ ， PC→ 能構(gòu)成空間的一個(gè)基底 ，當(dāng) OA→ ， OB→ ， OC→ 共面時(shí) ， 則 PA→ ， PB→ ， PC→ 也共面 ， 故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底 ． 2. 設(shè) OABC 是四面體， G1 是△ ABC 的重心， G 是 OG1上的一點(diǎn)，且 OG=3GG1，若 OG ＝ xOA→ ＋yOB→ ＋ zOC→ ， 則 (x， y， z)為 ( ) A． (14， 14， 14) B． (34， 34， 34) C． (13， 13， 13) D． (23， 23， 23) 答案 A 解析 ， 因?yàn)?OG ＝ 34OG1→ ＝ 34(OA→ ＋ AG1→ )＝ 34OA→ ＋ 34 23[12(AB ＋ AC→ )]＝ 34OA→ ＋ 14[(OB→ － OA→ )＋ (OC→ － OA→ )]＝ 14OA→ ＋ 14OB→ ＋ 14OC→ ， 而 OG→ ＝ xOA→ ＋ yOB→ ＋ zOC→ ， 所以 x＝ 14， y＝ 14， z＝ A. 3． 在以下 3 個(gè)命題中 ， 真命題的個(gè)數(shù)是 ( ) ① 三個(gè)非零向量 a， b， c 不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底 ， 則 a， b， c 共面 ； ② 若兩個(gè)非零向量 a， b 與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底 ， 則 a， b 共線 ； ③ 若 a， b 是兩個(gè)不共線向量 ， 而 c＝ λa＋ μb(λ， μ∈ R 且 λμ≠ 0)， 則 {a， b， c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底 ． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 答案 C 解析 命題 ① ， ② 是真命題，命題 ③ 是假命題 ． 4． 若 {a， b， c}是空間的一個(gè)基底 ， 則下列各組中不能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是 ( ) A． a,2b,3c B． a＋ b， b＋ c， c＋ a C． a＋ 2b,2b＋ 3c,3a－ 9c D． a＋ b＋ c， b， c 答案 C 解析 － 3(a＋ 2b)＋ 3(2b＋ 3c)＋ (3a－ 9c)＝ 0. ∴ 3a－ 9c＝ 3(a＋ 2b)－ 3(2b＋ 3c) 即三向量 3a－ 9c， a＋ 2b,2b＋ 3c 共面 ∴ 選 C. 5． 已知點(diǎn) A 在基底 {a， b， c}下的坐標(biāo)為 (8,6,4)， 其中 a＝ i＋ j， b＝ j＋ k， c＝ k＋ i， 則點(diǎn) A 在基底 {i， j，k}下的坐標(biāo)是 ( ) A． (12,14,10) B． (10,12,14) C． (14,12,10) D． (4,3,2) 答案 A 解析 設(shè)點(diǎn) A 在 基底 {a， b， c}下對(duì)應(yīng)的向量為 p， 則 p＝ 8a＋ 6b＋ 4c＝ 8i＋ 8j＋ 6j＋ 6k＋ 4k＋ 4i ＝ 12i＋ 14j＋ 10k，故點(diǎn) A 在基底 {i， j， k}下的坐標(biāo)為 (12,14,10)． 二、填空題 6. 已知正方體 ABCD－ A1B1C1D1中，點(diǎn) O 為 AC1 與 BD1 的交點(diǎn)， AO ＝ xAB→ ＋ yBC→ ＋ zCC1→ ， 則 x＋ y＋ z＝ ________. 答案 32, 解析 AO ＝ 12AC1→ ＝ 12( AB ＋ BC→ ＋ CC1→ )． 7. 從空間一點(diǎn) P 引出三條射線 PA， PB， PC，在 PA， PB， PC 上分別取 PQ ＝ a， PR→ ＝ a， PR→ ＝ b， PS→ ＝ c， 點(diǎn) G 在 PQ 上 ， 且 PG＝ 2GQ， H 為 RS 的中點(diǎn) ， 則 GH→ ＝__________________. 答案 － 23a＋ 12(b＋ c) 8. 在長(zhǎng)方體 ABCD—A1B1C1D1 中，下列關(guān)于 1AC 的表達(dá)式中 ： ① 1AA ＋ A1B1→ ＋ A1D1→ ； ② AB ＋ DD1→ ＋ D1C1→ ； ③ AD ＋ DD1→ ＋ D1C1→ ； ④11(2AB ＋ CD1→ )＋ A1C1→ 正確的個(gè)數(shù)是 ________個(gè) ． 答案 3 , 解析 AB ＋ DD1→ ＋ D1C1→ ＝ AB ＋ DC1→ ＝ AB ＋ AB1→ ≠ AC1→ ， ② 不正確； 11(2AB ＋ CD1→ )＋ A1C1→ ＝11(2AB ＋ 1BA )＋ A1C1→ = 1AA ＋ A1C1→ ＝ AC1→ . ④ 正確； ① ， ③ 明顯正確 ． 三、解答題 9． 已知 {e1， e2， e3}是空間的一個(gè)基底 ， 試問(wèn)向量 a＝ 3e1＋ 2e2＋ e3， b＝－ e1＋ e2＋ 3e3， c＝ 2e1－ e2－ 4e3是否共面 ？ 并說(shuō)明理由 ． 解 由共面向量定理可知，關(guān)鍵是能否找到三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù) x， y， z，使得 xa＋ yb＋ zc＝ 0，即 x(3e1＋ 2e2＋ e3)＋ y(－ e1＋ e2＋ 3e3)＋ z(2e1－ e2－ 4e3)＝ (3x－ y＋ 2z)e1＋ (2x＋ y－ z)e2＋ (x＋ 3y－ 4z)e3＝ 0. 由于 e1， e2， e3不共面， 故得????? 3x－ y＋ 2z＝ 0 ①2x＋ y－ z＝ 0 ②x＋ 3y－ 4z＝ 0 ③ ① ＋ ② 求得 z＝－ 5x，代入 ③ 得 y＝－ 7x，取 x＝－ 1， 則 y＝ 7， z＝ 5，于是－ a＋ 7b＋ 5c＝ 0，即 a＝ 7b＋ 5c， 所以 a， b， c 三向量共面 ． 10． 在平行六面體 ABCD—A1B1C1D1 中 ， 設(shè) － *6]12(AB ＋ AC→ )＋ 13AD→ ＝ 13( AB ＋ AC→ ＋ AD→ )． 知識(shí)點(diǎn)三 求空間向量的坐標(biāo) 【例 3】 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面 ， M、 N 分別是 AB， PC 的三等分點(diǎn)且 PN＝ 2NC， AM＝2MB， PA＝ AB＝ 1， 求 MN 的坐標(biāo) ． 解 ∵ PA=AB=AD=1， 且 PA 垂直于平面 ABCD， AD⊥ AB， ∴可設(shè) AD ＝ i， AB→ ＝ i， AD ＝ j， AP→ ＝ k. 以 i， j， k 為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ． ∵ MN ＝ MA→ ＋ AP→ ＋ PN ＝－ 23 AB ＋ AP→ ＋ 23PC→ ＝－ 23AB ＋ AP→ ＋ 23(－ AP→ ＋ AD→ ＋ AB ) = 13AP ＋ 23AD→ ＝ 13k＋ 23AD