【正文】 CB1 = 21 (1)+ 21 0+(21 ) (1)=0, EF⊥ B1C,即 EF⊥ B1C. (2)∵ GC1 =（ 0,43 ,0） (0,1,1)=（ 0,41 ,1） . ∴ | GC1 |= 174 又 EF OG = { c + 21 a +21 b} – { 21 a + 21 b 21 c} =41 ( |a|2 +21 |b|2) 21 |c|2=0 ∴ 11A O BDA O OGBD OG=O? ??? ??? ?A1O平面 BDG 知識點七 空間向量的坐標運算 【例 10】 已知 O 為坐標原點 ， A， B， C 三點的坐標分別為 (2，－ 1,2)， (4,5，－ 1)， (－ 2,2,3)， 求滿足下列條件的 P 點的坐 (1)OP = 21 (AB ? AC )。 ( b – a ) + 21 ( a + b) c = 0， c b |b|2 } = 21 {41 + 41 21 1 } = 21 , cos〈 OE ,BF 〉 =| || |OE BFOE BF=123322??= 32 ∴異面直線 OE與 BF所成角的余弦值為 32 . 【例 8】 如圖所示 ， 在平行四邊形 ABCD 中 ， AB＝ AC＝ 1， ∠ ACD＝ 90176。 BF =21 (a+b) DC =41 ， 知識點六 數(shù)量積的應(yīng)用 【例 7】 已知點 O 是正 △ ABC 平面外的一點 ， 若 OA＝ OB＝ OC＝ AB＝ 1， E、 F 分別是 AB、 OC 的中點 ， 試求 OE 與 BF 所成角的余弦值 ． 如圖所示，設(shè) OA =a, OB =b, OC =c, 則 a DC =21 |BD | cosBD ,BD =21 11cos0176。 BA 60 =41 , 所以EF BA = 21 BD (2) EF 解 如圖所示 BD =BA + AD =d? b, BC =BA + AC =c? b, CD =CA +AD =d? c, DM =21 (DB +DC ) =21 (b ? d+c? d)= 21 (b+c? 2d), AQ =AD +DQ =d+32 DM , =d+31 ( b+c? 2d)=31 (b+c+d). 知識點三 證明共線問題 【例 4】 已知四邊形 ABCD 是空間四邊形 ， E、 H 分別是邊 AB、 AD 的中點 ， F、 G 分別是邊 CB、 CD 上的點 ， 且 CF =32 CB ,CG =32 CD .求證：四邊形 EFGH 是梯形 . 證 明 ∵ E、 H 分別是 AB、 AD 的中點 所以 AE =21 AB ,AH =21 AD , EH =AH AE =21 AD ? 21 AB =21 (AD ? AB )=21 BD =21 （ CD CB ） =21 {32 CG 32 CF } =43 （ CG CF ） =43 FG ,∴四邊形 EFGH 是梯形 . 知識點四 證明共面問題 【例 5】 正方體 ABCDA1B1C1D1 中， E、 F 分別為 BB1 和 A1D1的中點 . 證明：向量 BA1 ， CB1 ， EF 是共面向量 . 證明 方法一 如圖所示 . EF =EB + 1BA + FA1 =21 BB1 ? BA1 +21 11DA =21 （ CB1 ? BA1 ）。OC→ ＝ a， AD→ ＝ b， AA1→ ＝ c， E， F 分別是 AD1， BD 的中點 ． （ 1）用向量 a， b， c， 表示 1 ,DBEF ； （ 2）若 1DF= x a +y b +z c，求實數(shù) x,y,z. 解 （ 1） 1DB = 1DD + DB = ? 1AA + AB ? AD = a? b? c， EF = EA + AF = 12 1DA + 12 AC = 11 1 1( ) ( ) ( )2 2 2A A A D A B A D a c? ? ? ? ? (2) 1DF = 111 ()2 A A A B A D? ? ? 111 ()2 A A A B D D? ? ? ? ＝ 12(a－ c－ b－ c)＝ 12a－ 12b－ c， ∴ x＝ 12， y＝－ 12， z＝－ 1. 五、總結(jié) 知識點一 空間向量概念的應(yīng)用 【例 1】 給出下列命題 ： ① 將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點 ， 則它們的終點構(gòu)成一個圓 ； ② 若空間向量 a、 b 滿足 |a|＝ |b|， 則 a＝ b； ③在正方體 ABCDA1B1C1D1中，必有 AC= 11CA 。AB AD AA??) ＋ (AD→ ＋ AA′→ )] ＝ 12(2AB ＋ 2AD→ ＋ 2AA′→ )＝ 12a＋ b＋ c； (4) AQ ＝ AC→ ＋ CQ→ ＝ AC→ ＋ 45(AA′→ － AC→ ) ＝ 15AB ＋ 15AD→ ＋ 45AA′→ ＝ 15a＋ 15b＋ 45c. 【反思感悟】 利用空間的一個基底 {a， b， c}可以表示出所有向量．注意結(jié)合圖形，靈活應(yīng)用三角形法則、平行四邊形法則． 【跟蹤訓(xùn)練】 已知三棱錐 A—BCD. (1)化簡 12(AB ＋ AC→ － AD→ )并標出化簡結(jié)果的向量 ； (2)設(shè) G 為 △ BCD 的重心 ， 試用 AB ， AC→ ， AD→ 表示向量 AG→ . 解 (1)設(shè) AB， AC， AD 中點為 E， F， H， BC 中點為 P. 1(2AB ＋ AC→ － AD→ )＝ AE→ ＋ AF = AP － AH→ ＝ HP→ . （ 2） AG ＝ AP→ ＋ PG→ = AP→ ＋ 13PD→ = AP→ ＋ 13(AD→ － AP→ )＝ 23AP→ ＋ 13AD→ ＝ 23)2 AC AA? = 1 ( 39。AC→ ＝ 0，可能是 BC→ | 39。5c ＝ 16＋ 0＋ 9＋ 4AC ＝ (a＋ b＋ c)AC ＝85＋ 25－ 252AA ) = 42 + 32 + 52 +2（ 0+10+） = 85. ∴ | 39。 AD + AB AA , ∴ | 39。 ∠ BAA′＝ ∠ DAA′ ＝ 60176。c＋ bc＝ c m⊥ n， 則 λ＝ ________. 答案 － 32 解析 由 mBD→ － 2AB b－ |a|2＝ 0，所以 2|a||b|a＝ 0 且 cCD→ 0， CD→ b＝ ab＝ 0， 則 a＝ 0 或 b＝ 0 B． 若 λa＝ 0， 則 λ＝ 0 或 a＝ 0 C． 若 a2＝ b2， 則 a＝ b 或 a＝－ b D． 若 a 那么 |a＋ 3b|等于 ( ) A. 7 B. 10 C. 13 D． 4 答案 C 解析 |a＋ 3b|2＝ (a＋ 3b)2 ＝ a2＋ 6a|b|， 求兩直線的夾角 ． (3)利用 |a|2＝ ab＝ 0證線線垂直 (a， b 為非零向量 )． (2)利用 aAB ＝ BC→ CB→ =OB ( AC→ + CB ) = OB g＝ 0, 所以 l⊥ l⊥ g. 這就證明了直線 l 垂直于平面 α 內(nèi)的任意一條直線， 所以 l⊥ α. 【反思感悟】 證明兩直線垂直可轉(zhuǎn)化為證明兩直線的方向向量垂直，即證明兩向量數(shù)量積為零． 【跟蹤訓(xùn)練】 已知 ： 在空間四邊形 OABC 中 ， OA⊥ BC， OB⊥ AC， 求證 ： OC⊥ AB. 證明 ∵ OA⊥ BC， OB⊥ AC，∴ OA m＋ ylAP→ ＝ 12a2， | AP |＝ |AD→ |＝ a， | MN |＝ (12AD→ ＋ 12AP→ )2＝ 14AD→ 2＋ 14AP→ 2＝ 22 a， ∴ cos AP , MN ＝ AB ＝ 0， AP→ 16 2 24,?? ? cos〈 OA , BC 〉 = OA→ BC = OA (12b＋ a)＝ 12(－ a＋ b＋ c)［ 12 （ c ? a ） +b］ = | b |2 = 42 = 16 .. (2) BF b＝ b. 【跟蹤訓(xùn)練】 已知長方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， AB＝ AA1＝ 2， AD＝ 4， E 為 AB1 的中點 ， F 為 A1D1 的中點 ，試計算 ： （ 1） BC CA , = a2cos120176。 AB )24D A A B B C C C? ? ? = 13( ) ( 39。DF = EF 方法二 取 AB 的三等分點 P 使得 23PB AB? , 取 CC′的中點 Q,則 12 39。AA + BC +23 AB = 39。 39。23A A B C A B?? (2) 設(shè) M 是底面 ABCD 的中心 ,N 是 側(cè) 面 BCC ′ B ′ 對 角 線 BC ′ 上 的 34 分點 , 設(shè)39。AB AD AA??,該結(jié)論可以認為向量加法的平行四邊形法則在空間的推廣 (即平行六面體法則 ). 【跟蹤訓(xùn)練】 在長方體 ABCDA1B1C1D1 中，畫出表示下列向量的有向線段 . （ 1） AB ＋ AD→ ＋ 1AA 。AC AB AD? ? ?( 39。A C A B A D A C? ? ? 證明 ∵ 平行六面體的六個面均為平行四邊形， ∴ ,AC AB AD?? 39。 39。 39。AA BC? = 39。 39。 解 （ 1） 11AA BB? = 1AB . （ 2）11 1 11122A B A D?? 11 1 11 ()2 A B A D??1 1 112 A C A M? （ 3）11 1 1 11122A A A B A D?? 11AA A M AM? ? ? （ 4） 1 1 1 0A B B C C C C A? ? ? ? 【 反思感悟 】 向量的加法利用平行四邊形法則或三角形法則，同平面向量相同，封閉圖形，首尾連續(xù)向量的和為 0.. 【跟蹤訓(xùn)練】 已 知長方體 ABCD— A′ B′ C′ D′ ,化簡下列向量表達式 : (1) 39。AA CB? (2) 39。 39。 39。 39。A B B C C D A D? ? ? 知識點三 向量加減法則的應(yīng)用 【例 3】 在如圖所示的平行六面體中，求證 ： 39。 39。)AD AA? ? ?( ) ( 39。 ； （ 2） 11AB CC DD??。M N AB AD AA? ? ?? ? ?,試求α ,β ,γ的值 . 解 (1)方法一 取 AA′的中點為 E,則 1 39。,BC A D? 39。EA + 39。AA + BC +23 AB =12 239。)24A D A B A D A A? ? ? ?= 1 1 3 39。 OC = AB ? a2cos120176。 1ED ； （ 2） BF c＝ c 1AB = （ c ? a +12 b ）(12b＋ a)＝－ 12|a|2＋ 14|b|2＝ 2. 知識點二 利用數(shù)量積求角 【例 2】 如圖 ， 在空間四邊形 OABC 中 ， OA＝ 8， AB＝ 6， AC＝ 4， BC＝ 5， ∠ OAC＝ 45176。 AC ? OA BC→|OA→ ||BC→ |. ＝ 24－ 16 28 5 ＝ 3－ 2 25 . 即 OA 與 BC 所成角的余弦值為 3－ 2 25 . 【反思感悟】 在異面直線上取兩個向量，則兩異面直線所成角的問題可轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角問題 ．需注意的是：轉(zhuǎn)化前后的兩個角的關(guān)系可能相等也可能互補． 【跟蹤訓(xùn)練】 在二面角 α－ l－ β 中 ， A， B∈ α， C， D∈ l， ABCD 為矩形 ， P∈ β， PA⊥ α， 且 PA＝ AD， M、N 依次是 AB、 PC 的中點 ． (1)求二面角 α－ l－ β 的大小 ； (2)求證 ： MN⊥ AB； (3)求異面直線 PA 與 MN 所成角的大小 ． (1)解 ∵ PA⊥α， l? α ∴ PA⊥ l，又∵ AD⊥ l， PA∩ AD=A， ∴ l⊥平面 PAD，∴ l⊥ PD， 故∠ ADP 為二面角α lβ的平面角， 由 PA=AD 得∠ ADP=45176。 AB ＝ 0， ∴ MN⊥ AB. (3)解 設(shè) AP＝ a， 由 (2)得 MN ＝ 12AD ＋ 12AP→