【正文】 C1D1 中 ， 設 － *6]OC→ ＝ a， AD→ ＝ b， AA1→ ＝ c， E， F 分別是 AD1， BD 的中點 ． （ 1）用向量 a， b， c， 表示 1 ,DBEF ； （ 2）若 1DF= x a +y b +z c，求實數 x,y,z. 解 （ 1） 1DB = 1DD + DB = ? 1AA + AB ? AD = a? b? c， EF = EA + AF = 12 1DA + 12 AC = 11 1 1( ) ( ) ( )2 2 2A A A D A B A D a c? ? ? ? ? (2) 1DF = 111 ()2 A A A B A D? ? ? 111 ()2 A A A B D D? ? ? ? ＝ 12(a－ c－ b－ c)＝ 12a－ 12b－ c， ∴ x＝ 12， y＝－ 12， z＝－ 1. 五、總結 知識點一 空間向量概念的應用 【例 1】 給出下列命題 ： ① 將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點 ， 則它們的終點構成一個圓 ； ② 若空間向量 a、 b 滿足 |a|＝ |b|， 則 a＝ b； ③在正方體 ABCDA1B1C1D1中，必有 AC= 11CA 。 ④ 若空間向量 m、 n、 p滿足 m＝ n， n＝ p， 則 m＝ p； ⑤ 空間中任意兩個單位向量必相等 ． 其中假命題的個數是 ( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析 ① 假命題 ． 將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點時，它們的終點將構成一個球面，而不是一個圓； ② 假命題 ． 根據向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但 ② 中向量 a 與 b 的方向不一定相同； 與 A1C1→ 與 A1C1→ 的方向相同，模也相等，應 有 AC→ ＝ A1C1→ ； ④ 真命題 ． 向量的相等滿足遞推規(guī)律； ⑤ 假命題 ． 空間中任意兩個單位向量模均為 1，但方向不一定相同，故不一定相等，故 ⑤ 錯 ． 故選 C. 答案 C 知識點二 空間向量的 運算 【例 2】 化簡： （ AB ? CD ） ? (AC ? BD ) 解 方法一 （ AB ? CD ） ? (AC ? BD )=AB ? CD ? AC +BD =AB +DC +CA +BD =（ AB +BD ） +（ DC +CA ） =AD +DA =0。 方法二 （ AB ? CD ） ? (AC ? BD )=AB ? CD ? AC +BD =（ AB ? AC ） +（ DC ? DB ） =CB +BC =0。 【例 3】 在四面體 ABCD 中， M 為 BC 的中點， Q 為△ BCD 的重心，設 AB=b AC=c AD=d， 試用 b， c， d 表示向量 BD ， BC 、 CD ， BM ， DM 和 AQ 。 解 如圖所示 BD =BA + AD =d? b, BC =BA + AC =c? b, CD =CA +AD =d? c, DM =21 (DB +DC ) =21 (b ? d+c? d)= 21 (b+c? 2d), AQ =AD +DQ =d+32 DM , =d+31 ( b+c? 2d)=31 (b+c+d). 知識點三 證明共線問題 【例 4】 已知四邊形 ABCD 是空間四邊形 ， E、 H 分別是邊 AB、 AD 的中點 ， F、 G 分別是邊 CB、 CD 上的點 ， 且 CF =32 CB ,CG =32 CD .求證：四邊形 EFGH 是梯形 . 證 明 ∵ E、 H 分別是 AB、 AD 的中點 所以 AE =21 AB ,AH =21 AD , EH =AH AE =21 AD ? 21 AB =21 (AD ? AB )=21 BD =21 （ CD CB ） =21 {32 CG 32 CF } =43 （ CG CF ） =43 FG ,∴四邊形 EFGH 是梯形 . 知識點四 證明共面問題 【例 5】 正方體 ABCDA1B1C1D1 中， E、 F 分別為 BB1 和 A1D1的中點 . 證明：向量 BA1 ， CB1 ， EF 是共面向量 . 證明 方法一 如圖所示 . EF =EB + 1BA + FA1 =21 BB1 ? BA1 +21 11DA =21 （ CB1 ? BA1 ）。 由向量共面的充要條件知， BA1 ， CB1 ， EF 是共面向量。 方法二 連結 A1D、 BD，取 A1D 中點 G，連結 FG、 BG(如圖所示 )， 則有 FG 21 DD1 ， BE 21 DD1， ∴ FG BE. ∴四邊形 BEFG 為平行四邊形． ∴ EF∥ BG.∴ EF∥平面 A1BD. 同理， B1C∥ A1D，∴ B1C∥平面 A1BD. ∴ BA1 ， CB1 ， EF 都與平面 A1BD 平行 ∴ BA1 ， CB1 ， EF 共面 . 知識點五 數量積的運算 【例 6】 如圖所示 ， 已知空間四邊形 ABCD 的每條邊和對角線長都等于 1， 點 E， F 分別是 AB， AD 的中點 ，計算 （ 1） EF BA 。(2) EF BD 。(3) EF DC . 解 (1） EF BA = 21 BD |BD |BA = 21 |BD | |BA | cosBD BA 60 =41 , 所以EF BA =41 , （ 2） EF BD =21 |BD | |BD | cosBD ,BD =21 11cos0176。 =21 , 所以 EF BD =21 ,(3) EF DC =21 BD DC =21 |BD | |DC | cosBD ,DC =21 11cos120176。 =41 ， 所以 EF DC =41 ， 知識點六 數量積的應用 【例 7】 已知點 O 是正 △ ABC 平面外的一點 ， 若 OA＝ OB＝ OC＝ AB＝ 1， E、 F 分別是 AB、 OC 的中點 ， 試求 OE 與 BF 所成角的余弦值 ． 如圖所示，設 OA =a, OB =b, OC =c, 則 a b=b c=c a=21 ， |a|=|b|=|c|=1， OE =21 (a+b),BF = 21 cb, OE BF =21 (a+b) {21 cb} =21 {21 a c +21 b c a b |b|2 } = 21 {41 + 41 21 1 } = 21 , cos〈 OE ,BF 〉 =| || |OE BFOE BF=123322??= 32 ∴異面直線 OE與 BF所成角的余弦值為 32 . 【例 8】 如圖所示 ， 在平行四邊形 ABCD 中 ， AB＝ AC＝ 1， ∠ ACD＝ 90176。， 將它沿對角線 AC 折起 ， 使 AB 與CD 成 60176。角 ， 求 B、 D 間的距離 ． 【例 9】 在正方體 ABCD－ A1B1C1D1中 ， O 為 AC 與 BD 的交點 ， G 為 CC1的中點 ， 求證 ： A1O⊥ 平面 GBD. 證明 如圖所示，設 11BA = a ， 11DA = b， AA1 = c ， 則 a b = 0， b c = 0， c a = 0， 且 |a| = |b| = |c| ， 而 OA1 = AA1 +AO = AA1 +21 (AB +AD )=e + 21 (a + b), BD =AD AB = b – a , OG = OC + CG =21 (AB +AD ) + 21 1CC = 21 (a + b ) 21 c ∴ OA1 BD = { c + 21 a +21 b} (b –a ) = c ( b – a ) + 21 ( a + b) ( b – a ) = c b c a + 21 (|b|2 | a |2 OA1 OG = { c + 21 a +21 b} – { 21 a + 21 b 21 c} =41 ( |a|2 +21 |b|2) 21 |c|2=0 ∴ 11A O BDA O OGBD OG=O? ??? ??? ?A1O平面 BDG 知識點七 空間向量的坐標運算 【例 10】 已知 O 為坐標原點 ， A， B， C 三點的坐標分別為 (2，－ 1,2)， (4,5，－ 1)， (－ 2,2,3)， 求滿足下列條件的 P 點的坐 (1)OP = 21 (AB ? AC )。 (2)AP = 21 (AB ? AC )。 解 AB = （ 2， 6， ? 3）， AC =（ ? 4， 3， 1）。 （ 1） OP =21 (AB ? AC ) =21 (6 , 3 , ? 4 )={3,32 , ? 2}, 則 P 點的坐標為 {3， 23 ， ? 2） . (2)設 P（ x,y,z）則， AP =（ x – 2 , y + 1 , z – 2 ） . 21 (AB AC ) = (3,23 ,2), 所以 x=5, y=21 , z=0, 故 P 點坐標為（ 5， 21 ， 0） . 知識點八 坐標運算的應用 【例 11】 在棱長為 1 的正方體 ABCD—A1B1C1D1中 ， E、 F 分別為 D1D、 BD 的中點 ， G 在棱 CD 上 ， 且 CG＝ 14CD， H 為 C1G 的中點 ， 應用空間向量方法求解下列問題 ． (1)求證 ： EF⊥ B1C； (2)求 EF 與 C1G 所成的角的余弦值 ； (3)求 FH 的 長 . 解 如圖所示，建立空間直角坐標系 D— xyz， D 為坐標原點，則有 E（ 0， 0， 21 ）、 F（ 21 ， 21 ， 0）、 C（ 0， 1， 0）、 C1（ 0， 1， 1）、 B1（ 1， 1， 1）、 G（ 0， 43 ， 0） . . （ 1） EF =（ 21 ， 21 ， 0） （ 0， 0， 21 ） ={21 ， 21 ， ? 21 ）， CB1 =（ 0， 1， 0） （ 1， 1， 1） =（ 1， 0， 1） . ∴ EF CB1 = 21 (1)+ 21 0+(21 ) (1)=0, EF⊥ B1C,即 EF⊥ B1C. (2)∵ GC1 =（ 0,43 ,0） (0,1,1)=（ 0,41 ,1） . ∴ | GC1 |= 174 又 EF GC1 =21 0+21 （ 41 ） +（ 21 ） (1)=83 , |EF |= 32 , ∴ cos〈 EEF , GC1 〉 = 11| |?||EF CGEF C G = 5117 即異面直線 EF與 C1G所成角的余弦值為 51 . （ 3）∵ F（ 21 ， 21 ， 0）、 H（ 0， 87 ， 21 ）， ∴ FH =（ 21 ， 38 ， 21 ）， ∴ |EF |= 2 2 21 3 1 1 4( ) ( ) ( ) =2 8 2 8? ? ? 【例 12】 在長方體 OABC－ O1A1B1C1 中 ， |OA|＝ 2， |AB|＝ 3， |AA1|＝ 2， E 是 BC 的中點 ， 建立空間直角坐標系 ， 用向量方法解下列問題 ： (1)求直線 AO1與 B1E 所成角的余弦值 ； (2)作 O1D⊥ AC 于 D， 求點 O1 到點 D 的距離 ． 解 建立如圖所示的空間直角坐標系． （ 1）由題意得 A（ 2， 0， 0）， O1（ 0， 0， 2）， B1（ 2， 3， 2）， E（ 1， 3， 0） . ∴ 1AO =（ 2， 0， 2）， EB1 =（ ? 1， 0， ? 2）， ∴ cos〈 1AO , EB1 〉 = 2 10102 10? ?? ∴ AO1與 B1E 所成角的余弦值為 1010 （ 2）由題意得 DO1 ⊥ AC ， AD ∥ AC ， ∵ C（ 0， 3， 0），設 D（ x,y,0） , ∴ DO1 = (x,y, ? 2), AD = (x ? 2,y,0), AC = (? 2,3,0), ∴ 2 3 0,2,23xyxy? ? ????? ???? 解得18,1312,